Конспект урока

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Примечание

Орг. Момент

Определяет готовность учащихся. Сосредоточивает внимание учащихся.

Цитирует девиз урока и эпиграф к уроку.

Слушают, отвечают на вопросы, делают выводы

Слайд №1,2,3.

Проверка домашнего задания.

Устная работа.

Координирует деятельность учащихся, задаёт вопросы.

Отвечают на вопросы, называют способы решения уравнений, которые им известны.

Слайд №4,5.

Актуализация и систематизация знаний.

Постановка проблемы.

Предлагает примеры различных целых уравнений. Мотивирует учащихся.

Ставит проблемные вопросы.

Объясняют способы решения целых уравнений, ученики по очереди решают уравнения у доски. Видят уравнение, которое нельзя решить известным способом, ставят проблему.

Слайд №6,7

Целеполагание и мотивация.

Мотивирует учащихся. Сообщает цели урока.

Ставят перед собой свою цель урока.

Слайд №8

Объяснение нового материала.

Знакомит учащихся с теоремами, которые применяются при решении целых уравнений.

Слушают, работают совместно с учителем, составляют алгоритм решения уравнения, ученик решает уравнение у доски.

Слайд №9,10

Закрепление полученных знаний

Предлагает учащимся решить уравнение с применением теорем.

Ученик решает уравнение у доски, остальные записывают решение в тетрадях.

Слайд №11

Физкультминутка

Комментирует комплекс упражнений для глаз.

Учащиеся повторяют упражнения.

Слайд №12

Углубление и расширение знаний.

Знакомит с новыми видами уравнений (возвратными и симметричными), объясняет алгоритм их решения.

Записывают в тетрадях новые виды уравнений и алгоритмы их решений.

Слайд №13,14

Закрепление полученных знаний.

Организует и контролирует деятельность учащихся.

Учащиеся самостоятельно выполняют задание, предложенное учителем. Проверяют полученные ответы.

Слайд №15,16

Подведение итогов урока. Рефлексия.

Мотивирует учащихся на подведение итогов урока.

Обобщают изученный материал.

Делают вывод.

Записывают домашнее задание.

Оценивают свою работу

Слайд №17.18.

Деятельность учителя.

Деятельность ученика.

1.Организационный момент.

Ребята!Вам предстоит итоговая аттестация по математике в форме ГИА и ЕГЭ. Чтобы успешно сдать экзамены, вы должны знать математику не только на минимальном уровне, но и применить ваши знания в нестандартных ситуациях. В экзаменационных заданиях очень часто можно встретить уравнения. В прошлой четверти мы уже с вами повторили линейные и квадратные уравнения и способы их решения. А сегодня на уроке мы рассмотрим с вами целые уравнения с одной переменной выше второй степени и способы их решения. Запишите тему урока: «Целые уравнения высших степеней и способы их решения». Девиз нашего урока: «Чем больше я знаю, тем больше я умею». А эпиграфом к уроку я взяла следующие слова: «Кто ничего не замечает, тот ничего не изучает. Кто ничего не изучает, тот вечно хнычет и скучает!» (поэт Р.Сеф.). Я думаю, что у нас сегодня на уроке скучно не будет, потому что вас ждёт много нового и интересного.

2.Проверка домашнего задания.

На дом вам было задано повторить тему уравнения и вспомнить известные способы их решения. Проверим, как вы подготовились.

Ответьте на следующие вопросы:

1).Что такое уравнение?

2).Какое уравнение называется целым?

3).Что называется корнем уравнения?

4).Что значит решить уравнения?

5).Сколько корней может иметь целое уравнение n-ой степени.

6). Назовите уже известные вам способы решения целых уравнений выше второй степени.

3.Актуализация и систематизация знаний.

Посмотрите на уравнения, представленные на слайде.

1. х⁴-2х²-8=0

2. х³-4х²-9х+36=0

3. (х²-7)²-4(х²-7)-45=0

4. х³-3х-2=0

5. х³-8х²+13х-2=0

Назовите степень каждого уравнения и способ его решения. Решите эти уравнения.

Ребята, при решении пятого уравнения графическим способом, мы получили приближённые корни. Хорошо ли это? Какая перед нами стоит проблема?

Можно ли найти точные корни известными вам способами?

Как же нам быть?

Целеполагание и мотивация.

Итак, ребята, что тогда будет целью нашего урока? Можете ли вы их сформулировать?

Как вы думаете, по силам ли это вам?

Объяснение нового материала.

Ребята! Это уравнение можно решить применяя теоремы о корне многочлена и о целых корнях уравнения. Сейчас я вас познакомлю с ними.

Теорема 1. Если уравнение a₀xⁿ + a₁x^n-1+ … +a_n-1x+ a_n= 0 имеет целые коэффициенты, причём свободный член отличен от нуля, то целыми корнями такого уравнения могут быть только делители свободного члена.

Теорема 2.(теорема Безу). Если число а является корнем многочлена Р(х)=a₀xⁿ + a₁x^n-1+ … +a_n-1x+ a_n= 0, то этот многочлен можно без остатка разделить на двучлен (х-а) и представить его в виде произведения (х-а)Р₁(х),где Р₁(х)-многочлен n-1ой степени.

Эта теорема позволяет решение целого уравнения n-ой степени для которого известен один из корней, свести к решению уравнения n-1ой степени.

Давайте теперь попробуем решить наше уравнение, используя данные теоремы. А для этого попытаемся составить алгоритм решения. А так же вспомним деление многочлена «уголком».

Закрепление полученных знаний.

Мы решили уравнение третьей степени.

Предлагаю вам решить следующее уравнение четвёртой степени, применяя полученные знания: 3х⁴-2х³-8х²-х+2=0

Ребята! Понятен ли вам этот способ? Будите ли вы его применять?

Физкультминутка!

Давайте немного отдохнём и сделаем небольшую зарядку для глаз!

Углубление и расширение знаний.

Продолжаем работу. Вы видите на слайде два уравнения. Посмотрите на них внимательно, что общего у этих уравнений?

2х⁴+х³-6х²+х+2=0

х⁴-5х³+6х²-5х+1=0

Ребята, уравнение такого вида, когда коэффициенты, равноудалённые от концов совпадают, называются возвратными. Это уравнение сводиться к квадратному с помощью подстановки. Предлагаю вам следующий алгоритм их решения. Давайте решим последнее уравнение по алгоритму.

Алгоритм решения возвратных уравнений.

1.Разделить обе части уравнения на х² .

2.Сгруппировать слагаемые (первый с последним, второй с четвёртым).

Привести уравнение к виду а + с = 0

3. Ввести новую переменную t = , тогда выполнено t² =  , т.е.  = t² – 2.

4. Выполнить подстановку и решить квадратное уравнение.

5.Вернуться к замене и решить получившиеся уравнения.

6.Записать ответ.

Ребята, и ещё одно уравнение я хочу вам сегодня предложить, я его взяла из сборника задач для подготовки к ГИА.

(х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40

Если бы вы встретили такое уравнение, то как бы вы начали его решать?

Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = А, где а + d = c + bназываются симметрическими. Методика решения подобных уравнений заключается в частичном раскрытии скобок, а затем введении новой переменной.

Показать решение этого примера на слайде.

Закрепление полученных знаний.

Я вам предлагаю по аналогии самостоятельно решить следующее уравнение

(х-1)(х-3)(х+5)(х+7) = 297

Проверим ваше решение.

Подведение итогов урока. Рефлексия.

И так ребята, наш урок подошёл к концу. Давайте подведём итоги нашего урока.

Что нового мы узнали на уроке?

Какую цель мы ставили в начале урока?

Наша цель достигнута?

Как вы можете оценить свою работу?

Сегодня вы хорошо поработали, особенно активны были…..

Кто работал у доски, получают оценки.

Запишите домашнее задание.

А закончить урок мне хочется словами великого учёного Эйнштейна А. :

« Мне приходиться делить своё время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по – моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнение будет существовать вечно».

Спасибо за урок!

Учащиеся готовы к началу работы.

Записывают тему урока.

Отвечают на поставленные вопросы.

1).Уравнение – это равенство, содержащее переменную.

2).Это уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями.

3).Это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

4).Это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

5).Не более n корней.

6).Разложение на множители (вынесение за скобки, группировка, формулы сокращённого умножения); подстановка (введение новой переменной); графический способ.

Ученики называют способ решения уравнения, решают уравнения на доске.

1.Биквадратное (введение новой переменной).

2. Разложение на множители (группировка).

3.Введение новой переменной.

4.Графический способ.

5.Пытаються решить графическим способом, но получают не точные корни, а приближённые. Это не очень хорошо.

Определяют проблему – как найти точные корни уравнения? Можно ли это сделать? Нам не хватает знание известных способов.

Нам нужно узнать новые способы, которые помогут решить уравнения такого вида.

Формулируют цели урока - узнать новые способы решения целых уравнений высших степеней и научиться применять их при решении уравнений.

Да, если Вы поможете, мы справимся.

Слушают объяснение учителя.

Составляют алгоритм решения уравнения, записывают его в тетради.

Алгоритм:

1. Найти делители свободного члена.

2.Среди делителей найти корень а уравнения путем проверки.

3.Разделить многочлен правой части уравнения на выражение ( х - а).

4.Разложить многочлен на множители.

5. Найти корни уравнения.

6.Записать ответ.

По алгоритму решают уравнение.

Делают вывод о нахождении точных корней.

Ученик решает уравнение у доски, остальные записывают решение в тетради.

Делают вывод о необходимости знания этого способа.

Учащиеся повторяют упражнения за учителем!

Внимательно смотрят на уравнения и делают вывод, что в этих уравнениях коэффициенты равноудалённые от концов равны.

Ребята изучают алгоритм.

Ученик у доски по алгоритму и с помощью учителя решает уравнение, остальные пишут в тетрадях.

Предлагают свои способы решения.

Записывают определение в тетрадь.

Разбирают решение примера.

Решают уравнение самостоятельно.

Затем сверяют своё решение и готовое решение на слайде.

Подводят итоги урока, делают выводы.