Методическая разработка практической работы по теме: «Решение систем уравнений методом Гаусса»

Тема Методы решения систем линейных уравнений

Практическое занятие «Решение систем уравнений методом Гаусса»

Цель работы:

- знать метод Гаусса для решения систем линейных уравнений;

- уметь решать системы линейных уравнений с двумя и тремя переменными методом. Гаусса.

Справочные сведения.

Метод Гаусса

Пусть в системе (1) (этого всегда можно добиться, поменяв уравнения местами). Разделим обе части первого уравнения на и вычтем полученное уравнение из каждого из остальных уравнений системы, умножив его предварительно на где i – номер очередного уравнения. Как известно, полученная при этом новая система будет равносильна исходной. Коэффициенты при во всех уравнениях этой системы, начиная со второго, будут равны 0, т.е. система выглядит так:

.

Если новые коэффициенты при х₂ не все равны нулю, можнотаким же образом исключить из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приведем систему к так называемому треугольному виду:

. (2)

Здесь символами и обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.

Из последнего уравнения системы (2) единственным образом определяется , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.

Пример с решением.

Решить систему методом Гаусса:

.

Решение:Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Для удобства его применения поменяем местами 1-е и 2-е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при х равнялся единице:

.

Теперь исключим х из второго и третьего уравнений. Для этого вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 3, а из третьего – первое, умноженное на 2:

.

Далее можно легко исключить z из третьего уравнения, если прибавить к нему второе:

.

Из последнего уравнения получаем, что у = 0. Подставляя это значение в первое и второе уравнения, находим остальные неизвестные: z = 3, х = 1.

Итак, х = 1, у = 0, z = 3.

Ответ: х=1, у=0, z=3

ЗАДАНИЯ:

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

1. 2. 3^*.

4^*.

Контрольные вопросы:

Как решить систему линейных уравнений?

Сколько решений может иметь система линейных уравнений?

Что такое расширенная матрица системы?

Пояснения

Теория: Система трех линейных уравнений с тремя переменными. Решение систем линейных уравнений с использованием матриц. Метод Гаусса.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/91721-metodicheskaja-razrabotka-prakticheskoj-rabot