Развитие математической грамотности учащихся. Решение текстовых задач

Обозначим длину окружности р м, а скорости первого и второго тел за х м/с и у м/с соответственно.

Кроме того, будемсчитать, что x > y (рис. 2

Пусть t секунд – время, за которое тела прошли путь от точки А до пункта их встречи – точки В, тогда (хt) метров и (уt) метров – расстояние, которое прошло первое и второе тела от точки А до точки В соответственно. С другой стороны, (9х) метров и (16у) метров – это расстояние, которые прошли тела от В до А уже после встречи, то есть хt = 16y и yt = 9х.

Имеем: t = 16у/х и t = 9х/у, значит, 16у/х = 9х/у или 16у² = 9х².

Извлечем корень из обеих частей равенства, получим: 4х = 3у, х = 4у/3.

Так как, путь, пройденный первым телом до встречи, на 10 метров больше, чем путь, пройденный вторым телом до встречи, то 16у – 9х = 10.

Зная зависимость х = 4у/3, имеем: 6у – 9 · 4у/3 = 10; 16у – 12у = 10; 4у = 10; у = 2,5.

Тогда х = 4/3 · 2,5 = 10/3.

Найдем длину окружности: р = 16у + 9х = 16 · 2,5 + 9 · 10/3 = 8 · 5 + 3 · 10 = 40 + 30 = 70 (метров).

Ответ: 70 метров.

Решение задач на движение

Задача 1.  Лодка проплыла некоторое расстояние от пристани по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 8ч. Собственная скорость лодки 8 км/ч, а скорость течения реки 2 км/ч. Определите, сколько времени плыла лодка по течению реки и все расстояние, которое она проплыла.

Решение.  Пусть расстояние от пристани по течению равно х км (расстояние обратно тоже равно х км). Скорость по течению 8+2=10 км/час, время по течению х/10 часов. Скорость против течения 8-2=6 км/час, время против течения х/6 часов. Общее время 8 часов.

х/10+х/6=8        / приведем дроби к общему знаменателю 30 /

3х/30 + 5х/30 = 8 8х/30 = 8 8х = 8*30 Х = 240:8

х = 30 (км) - расстояние по течению (такое же обратно против течения

30 * 2 = 60 км - все расстояние 30 : 10 = 3 часа - время по течению

Задача 2.  В 19 часов от двух пристаней, расстояние между которыми 3 км, одновременно в одном направлении отошли два быстроходных катера. Скорость одного из них была 48км/ч, а другой догонял его со скоростью 54км/ч. В котором часу второй катер догонит первый? (вырази скорости катеров в метрах в минуту, а расстояние в метрах.)

Решение.  Пусть скорость течения х км/час. Тогда скорость по течению 6+х, скорость против 6-х. Расстояние по течению (6+х)*9 равно расстоянию против течения (6-х)*18.

(6+х)*9=(6-х)*18 54+9х=108-18х 27х=54 х=2 км/час - скорость течения

Задача 3.  За 9 часов лодка проходит такое же расстояние по течению, что за 18 часов против. Найти скорость течения, если скорость лодки 6 км/ч.

Решение.  Пусть скорость течения х км/час. Тогда скорость по течению 6+х, скорость против 6-х. Расстояние по течению (6+х)*9 равно расстоянию против течения (6-х)*18.

(6+х)*9=(6-х)*18 54+9х=108-18х 27х=54 х=2 км/час - скорость течения

Задачи на работу

К этой группе задач относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: работе А, времени t, в течение которого производится работа, производительности Р – работе, произведенной в единицу времени. Эти три величины связаны с уравнением А=Р* t. К задачам на работу относят и задачи, связанные с наполнением и опорожнением резервуаров (сосудов, баков, бассейнов и т.п.) с помощью труб, насосов и других приспособлений. В качестве произведенной работы в этом случае рассматривают объем перекачанной воды.

Задачи на работу, вообще говоря, можно отнести к группе задач на движение, так как в задачах такого типа можно считать, что вся работа или объем резервуара играют роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. Однако по фабуле эти задачи естественным образом различаются, причем часть задач на работу имеют свои специфические приемы решения. Так, в тех задачах, в которых объем выполняемой работы не задан, вся работа принимается за единицу.

Задача 1. Две бригады должны были выполнить заказ за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая бригада заканчивала выполнение заказа еще 7 дней. За сколько дней могла бы выполнить заказ каждая из бригад, работая отдельно.

Решение. Пусть первая бригада выполняет задание за х дней, вторая бригада – за у дней. Примем всю работу за единицу. Тогда 1/х – производительность первой бригады, а 1/у – второй. Так как две бригады должны выполнить заказ за 12 дней, то получим первое уравнение

12(1/х+ 1/у)=1

Из второго условия следует, что вторая бригада работала 15 дней, а первая - только 8 дней. Значит, второе уравнение имеет вид

8/х+15/у=1

Таким образом, имеем систему: 12/x+12/y=1, 8/x+15/y=1

Вычтем из второго уравнения первое, получим: 21/у=1 ? у=21. Тогда 12/х+12/21=1 ? 12/х=3/7 ? х=28.

Ответ: за 28 дней выполнит заказ первая бригада, за 21 день – вторая.

Задача 2. В бассейн проведены две трубы – подающая и отводящая, причем через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую вода из бассейна выливается. При заполненном на одну треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов через одну первую трубу может наполниться бассейн, и за сколько времени через одну вторую трубу может осушиться полный бассейн?

Решение: Пусть V м³ – объем бассейна, х м³ /ч – производительность подающей трубы, у м³ /ч - отводящей. Тогда V/x ч – время, необходимое подающей трубе для заполнения бассейна, V/у ч – время, необходимое отводящей на осушение бассейна. По условию задачи

V/x- V/у=2.

Так как производительность отводящей трубы больше производительности наполняющей, то при включенных обеих трубах будет происходить осушение бассейна и одна треть бассейна осушится за время (V/3)(у-х), которое по условию задачи равно 8 ч. Итак, условие задачи может быть записано в виде системы двух уравнений с тремя неизвестными:

В задаче необходимо найти V/х и V/у. Выделим в уравнениях комбинацию неизвестных V/х и V/у, записав систему в виде: V/x-V/y=2, V/(y-x)=24 или V/x-V/y=2, y/V-x/V=1/24

Вводя новые неизвестные V/х=а и V/у=b, получаем следующую систему: a-b=2, 1/b-1/a=1/24

Подставляя во второе уравнение выражение a=b+2, имеем уравнение относительно b:   1/b-1/(b+2)=1/24

решив которое найдем b₁=6, b₂=-8. Условию задачи удовлетворяют первый корень b₁=6(ч). Из первого уравнения последней системы находим а=8(ч), т.е. первая труба наполняет бассейн за 8ч.

Ответ: через первую трубу бассейн наполнится через 8 ч, через вторую трубу бассейн осушится через 6 ч.

Задача 3. Одна тракторная бригада должна вспахать 240 га, а другая на 35% больше, чем первая. Первая бригада, вспахивая ежедневно на 3 га меньше второй, закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая бригада. Сколько гектаров вспахивала каждая бригада ежедневно?

Решение. Найдем 35% от 240 га: 240 га ? 35%/100%=84 га. Следовательно, вторая бригада должна была вспахать 240 га+84 га=324 га. Пусть первая бригада вспахивала ежедневно х га. Тогда вторая бригада вспахивала ежедневно (х+3) га; 240/х – время работы первой бригады; 324/(х+3) – время работы второй бригады. По условию задачи первая бригада закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая, поэтому имеем уравнение 324/(x+3)-240/x=2

которое после преобразовании можно записать так: 324x-240x-720=2x²+6x

2x²-78x+720=0 X²-39x+360=0

Решив квадратное уравнение, находим х₁=24, х₂=15. Это норма первой бригады. Следовательно, вторая бригада вспахивала в день 27 га и 18 га соответственно. Оба решения удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 24 га в день вспахивала первая бригада, 27 га – вторая; 15 га в день вспахивала первая бригада, 18 га – первая.

Решение задач на смеси и сплавы с помощью схем и таблиц

Решение задач целесообразно проводить по схеме.

1. Изучение условия задачи. Выбор неизвестных величин (их обозначаем буквами х, у и т.д.), относительно которых составляем пропорции. Выбирая неизвестные параметры, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.

2. Поиск плана решения. Используя условия задачи, определяем все взаимосвязи между данными величинами.

3. Осуществление плана, т.е. оформление найденного решения – переход от словесной формулировки к составлению математической модели.

4. Изучение полученного решения, критический анализ результата.

При решении задач на смеси часто путают проценты и доли, раствор и растворенное вещество. Необходимо помнить, что массовая доля   находится делением значения процентной концентрации на 100%, а масса растворенного вещества m(в-ва) равна произведению массы раствора m(р-ра) на массовую долю:

m(в-ва) = m(р-ра)• .

В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы, иллюстративные рисунки или вспомогательные таблицы.

Задача 1. В каких пропорциях нужно смешать а%-й и b%-й растворы кислоты (a < b), чтобы получить с%-й раствор?

Возьмем х г а%-го раствора и у г b%-го раствора кислоты. Составим таблицу:

Составим и решим уравнение:

0,01ах + 0,01by = 0,01c(x + y),

(b – с)у = (с – а)х,

x : у = (b – с) : (с – а).

Воспользуемся диагональной схемой*:

В этой схеме а и b – концентрации исходных растворов, с – требуемая концентрация кислоты в процентах, а «крест-накрест» – записаны их разности (b – с) и (с – а), соответствующие отношению масс растворов а и b.

Задача 2. Сколько по массе 90%-го и 60%-го растворов фосфорной кислоты надо взять, чтобы получить 5,4 кг 80%-го раствора фосфорной кислоты?

РешениеСоставим диагональную схему:

Получаем: х : у = 20 : 10 = 2 : 1.

Значит, 90%-го раствора фосфорной кислоты надо взять в 2 раза больше, чем 60%-го, т.е. х = 2y.

Составим уравнение: 2y + y = 5,4. Отсюда y = 1,8 кг.

Ответ. 3,6 кг 90%-го и 1,8 кг 60%-го растворов фосфорной кислоты.

Задача 3. Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава.

Решение

Пусть проба сплава равна х.

Составим диагональную схему:

Получаем: (864 – х) : (х – 600) = 75 : 150 = 1 : 2; 1728 – 2х = х – 600; х = 776.

Ответ. Получили сплав 776-й пробы.

Задача 4. Смешали некоторые количества 72%-го и 58%-го растворов кислоты, в результате получили 62%-й раствор той же кислоты. Если бы каждого раствора было взято на 15 л больше, то получился бы 63,25%-й раствор. Сколько литров каждого раствора было взято первоначально для составления первой смеси?

Решение

Дважды используем диагональную схему:

Получаем:

х : у = 4 : 10 = 2 : 5.

Получаем:

(х + 15) : (y + 15) = 5,25 : 8,75 = 3 : 5.

Составим систему уравнений и решим ее:

Ответ. В первой смеси было 12 л 72%-го раствора и 30 л 58%-го раствора.

Задача 5. Сколько граммов 9%-го раствора спирта можно получить из 200 г 70%-го раствора спирта?

Решение

9%-й раствор спирта получают из 70%-го, разбавляя его водой. В воде 0% спирта. Применим диагональную схему:

Получаем:

х : у = 63 : 9 = 7 : 1.

Значит, 1 часть 70%-го раствора спирта надо разбавить 7 частями воды. Поэтому 200 г 70%-го раствора спирта надо разбавить 200•7 = 1400 г воды.

Всего получим: 200 + 1400 = 1600 г 9%-го раствора спирта.

Ответ. Из 200 г 70%-го раствора спирта можно получить 1 кг 600 г 9%-го раствора спирта.

Задача 6. Имеются три смеси (I–III), составленные из трех элементов А, В и С. В первую смесь входят только элементы А и В в массовом отношении 1 : 2, во вторую смесь входят только элементы В и С в массовом отношении 1 : 3, в третью смесь входят только элементы А и С в массовом отношении 2 : 1. В каком соотношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в массовом отношении 11 : 3 : 8?

Решение

Для решения задачи составим схему 1:

Схема 1

По условию задачи в полученной смеси соотношение масс А : В : С = 11 : 3 : 8. Поэтому

Составим систему уравнений и решим ее:

Пусть  = а,  = b, тогда система примет вид:

Значит, х : z = 1 : 5 = 3 : 15, х : у = 3 : 4,

поэтому х : у : z = 3 : 4 : 15.

Ответ. Чтобы элементы А, В и С содержались в массовом отношении 11 : 3 : 8, смеси I, II, III
надо взять в соотношении 3 : 4 : 15 по массе.

Задача 7. Имеется два сплава меди, никеля и железа, причем первый из них содержит 4% меди. Если сплавить их в равных количествах, получится сплав, содержащий 66% железа, а если взять 3 кг первого сплава и 7 кг второго, получится сплав, содержащий 0,4 кг меди. Определить процентное содержание никеля во втором сплаве, если известно, что оно в 2 раза выше, чем в первом сплаве.

Решение

Пусть во втором сплаве массовая доля никеля равна x, а железа – у. Для решения задачи составим схему 2. Исходя из схемы 2, составим и решим систему уравнений:

Схема 2

Во втором сплаве массовая доля никеля равна 0,4, т.е. 40%.

Ответ. 40%.

Задача 8. Значения процентного содержания (по объему) спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в объемном отношении 2 : 3 : 4, то получится 32%-й раствор спирта. Если смешать их в объемном отношении
3 : 2 : 1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?

Решение

Пусть в первом растворе х% спирта, во втором – у%, в третьем – z%. Согласно условию задачи процентное содержание спирта в трех растворах образует геометрическую прогрессию, потому справедливо уравнение:

у₂ = xz.   (1)

На основании данных задачи составим таблицы и математические выражения.

Таблица 1

Смешивание трех растворов в объемном отношении 2 : 3 : 4

2х/100 + 3y/100 + 4z/100 = 288/100,

2х + 3y + 4z = 288.          (2)

Таблица 2

Смешивание трех растворов в объемном отношении 3 : 2 : 1

3х/100 + 2y/100 + z/100 = 132/100,

3х + 2y + z = 132.             (3)

Составим и решим систему из трех уравнений (1–3):

При z₁ = 48, x = 1₂, y = 24;

при z₂ = 100, x = 64, y = –80, решение не имеет смысла.

Ответ. В первом растворе 12% спирта,
во втором – 24%, в третьем – 48%.

 При решении задач на смешивание растворов разных концентраций используются диагональные схемы («правило креста»). На диагональной схеме в точке пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси. Например, далее в задаче 2 – это 80%. У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают концентрации составных частей смеси, а справа – разности концентраций смеси и ее составных частей:

Из этой схемы следует, что, например, для приготовления 30 г 80%-го раствора H₃PO₄ требуется взять 20 г 90%-го и 10 г 60%-го растворов кислоты.

Решение задач на растворы и концентрацию

Концентрация раствора - это часть, которую составляет масса растворённого вещества от массы всего раствора.

9%-я концентрация раствора соли - это 9 грамм соли в 100 граммах раствора.

Задача 1.Килограмм соли растворили в 9 л воды. Чему равна концентрация полученного раствора? (Масса 1 л воды составляет 1 кг)

Используя определение концентрации данное выше, решим задачу следующим образом.

1 кг - масса растворённого вещества (соли)

9 кг - масса воды в растворе (не путать с общей массой раствора)

9 + 1 = 10 кг - общая масса раствора.

Ответ: 10% - концентрация раствора.

Задача 2.Сколько соли получится при выпаривании 375 граммов 12%-го раствора?

Чтобы найти массу выпаренной соли из раствора, умножим общую массу раствора на процент концентрации. Не забудем предварительно перевести процент в десятичную дробь.

Ответ: 45 г соли.

Сложная задача на растворы

Задача 3. В растворе 40% соли. Если добавить 120 г соли, то процентное содержание соли станет равным 70. Сколько грамм соли было первоначально в растворе?

Для составления пропорции обозначим за x первоначальную массу соли в растворе, а за y массу воды в растворе. Так как концентрация соли в исходном растворе 40%, то соответственно вода составляет 

100% - 40%= 60% 

Изобразим графически условия задачи.

Составим пропорцию, связывающую эти величины до добавления соли.

Для решения задачи нам надо определить какая из неизвестных (x или y) остаётся неизменной после добавления соли.

Этой величиной является масса воды в растворе (y).

Выразим её, учитывая изменения в растворе после добавления соли.

(x + 120) г - масса соли в новом растворе

100% - 70% = 30% - процентное содержание воды в новом растворе.

Составим пропорцию аналогично предыдущей, но с учётом изменений произошедших после добавления соли.

Так как масса воды осталось неизменной после добавления соли, приравняем её значения до и после добавления соли и решим уравнение.

Ответ: 48 г - масса соли в первоначальном растворе.

Задачи по вкладам

Люди кладут деньги в банк (открывают вклад), с целью получения прибыли. Банк предлагает следующее: вы кладёте в банк определённую сумму на определённый срок. Например, на год. В течение года вы не сможете воспользоваться своими деньгами (ими будет пользоваться банк), но за это банк вам заплатит, вернув через год не только вложенную вами сумму, но и небольшое вознаграждение.

Какова будет сумма вознаграждения? Для её нахождения банк устанавливает процент годовых. Если вы умножите сумму вашего вклада на процент годовых, вы найдёте, какое вознаграждение добавит банк к вашему вкладу.

Задача. Вкладчик внес в банк 1200 тенге. В какую сумму вклад превратится через год, если банк начисляет доход в размере 4 % годовых?

Решение:

Найдем какое вознаграждение банк доложит вкладчику. Для этого умножим 1200 тенге. на процент годовых 4%. 4% = 0,04

1200 • 0, 04 = 48 тенге. - такое вознаграждение доложит банк вкладчику через год.

Теперь найдем общую сумму, которую заберет вкладчик через год.

1200 + 48 = 1248 тенге. - в такую сумму превратится вклад через год.

Ответ: 1248тенге. - в такую сумму превратится вклад через год.

Задачи на скидку (уценку)

Скидка - это понижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах. Поэтому, чтобы найти на сколько в рублях понизилась цена товара, нужно цену товара умножить на процент скидки.

Задача .Цена изделия составляет 5000 р. На изделие предложена скидка 10%. Найти цену товара с учетом скидки.

Решение: Найдем скидку в рублях.

10% = 0,1 5000 • 0,1 = 500 р. - скидка в рублях.

Теперь найдем цену товара с учетом скидки. 5000 - 500 = 4500 р. - цена товара с учетом скидки.

Ответ: 4500 р. - цена товара с учетом скидки.

Задача 2.Через две трубы , открытые одновременно , бассейн наполняется               за 6 часов. Если открыта только  первая  труба, то бассейн  наполняется    на 5 часов быстрее, чем если будет открыта  только вторая  труба  За сколько часов можно  наполнить бассейн , если открыта только вторая труба

Задача 3.В бассейн проведены 2 трубы - большая и маленькая. Обе трубы вместе могут наполнить бассейн за 5 часов, а одна большая - за 6 часов. За сколько времени наполнится 2/3 бассейна через одну маленькую трубу?

Задача4. Из трёх кранов, открытых одновременно, бассейн наполняется за 3ч45мин. Один первый кран наполняет бассейн в 2,6раза быстрее, чем второй, а тот наполняет бассейн на 3ч медленнее, чем третий. за сколько часов наполняет бассейн третий кран?

Задача5.Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется столько же времени, сколько при наполнении через вторую и третью трубы одновременно. Сколько времени потребуется для наполнения бассейна через каждую трубу, если через первую наполняют бассейн на 16 часов быстрее, чем через третью, и на 4 часа быстрее, чем через вторую?

Задача6.Бассейн заполняется водой за 6 часов с помощью 3 насосов, работающих вместе. Производительности первого и второго относятся как 3:5 причем первый и второй насосы, работая вместе заполняют бассейн в 4 раза быстрее чем 3 насос работая один. На сколько процентов будет заполнен бассейн за 3 часа 36 минут совместной работы первого и третьего насоса?

Задача7.Первая труба может заполнить бассейн за 3ч,а вторая за 5ч. за какое время бассейн наполнится, если работают одновременно обе трубы

Задача8.К бассейну подведены 3 трубы. Первая и вторая труба заполняют бассейн за 12часов, первая и третья - за 15часов, вторая и третья - за 20часов. За сколько часов заполнят бассейн три трубы, работая вместе.

Задача9.Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она наполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров?

Задача10.Первая трубка пропускает на 3 литра меньше воды в минуту меньше, чем вторая! Сколько литров воды в минуту пропускает вторая трубка, если резервуар объемом 340 литров она заполняет на 3 минуты быстрее, чем первая труба?

Рассмотрим три основных типа задач на проценты.

Нахождение процента от числа.

Чтобы найти процент от числа, нужно число умножить на процент.

Задача. Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

Решение:

Найдем 60 % от 500 (общее количество насосов). 60 % = 0,6
500 • 0,6 = 300 насосов высшей категории качества.

Ответ: 300 насосов высшей категории качества.

Нахождение числа по его проценту

Чтобы найти число по его проценту, нужно его известную часть разделить на то, сколько процентов она составляет от числа.

Так как задачи «процент по числу» и «число по его проценту» очень похожи и часто не сразу понятно какой тип задачи перед нами, старайтесь внимательно читать текст. Если вам встречаются слова «который», «что составляет» и «который составляет», скорее всего перед вами задача «число по его проценту»

Задача. Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение:

Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге. Но мы знаем, что часть, которую прочитал ученик (138 страниц) составляет 23 % от общего количества страниц в книге. Так как 138 стр. - это всего лишь часть, само количество страниц, естественно, будет больше 138. Это поможет нам при проверке.

Проверка: 600 > 138 (это означает, что 138 является частью 600).

Ответ: 600 (стр.) - общее количество страниц в книге.

Сколько процентов одно число составляет от другого

Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно ту часть, о которой спрашивается, разделить на общее количество и умножить на 100 %.

Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов составили незрелый арбузы?

Решение:

О чем спрашивают? О незрелых арбузах. Значит, 16 делим на общее количество арбузов и умножаем на 100 %.

Ответ: 8 % - составляют незрелые арбузы от всех арбузов.