Повышение квалификации

Курс-практикум «Педагогический драйв: от выгорания к горению»
Продолжительность: от 16 часов
«Труд (технология): специфика предмета в условиях реализации ФГОС НОО»
Продолжительность: от 36 часов
«ФАООП УО, ФАОП НОО и ФАОП ООО для обучающихся с ОВЗ: специфика организации образовательного процесса по ФГОС»
Продолжительность: от 36 часов
«Специфика работы с детьми-мигрантами дошкольного возраста»
Продолжительность: от 36 часов
«Учебный курс «Вероятность и статистика»: содержание и специфика преподавания в условиях реализации ФГОС ООО и ФГОС СОО»
Продолжительность: от 36 часов
«Центр «Точка роста»: создание современного образовательного пространства в общеобразовательной организации»
Продолжительность: от 36 часов

«Навыки успешного разрешения споров»
Продолжительность: от 16 часов
«Здоровьесберегающие технологии в системе дополнительного образования»
Продолжительность: от 16 часов
«Каллиграфия: основы формирования и развития навыков письменной выразительности»
Продолжительность: от 16 часов
«Основы конфликтологии и урегулирования споров с помощью процедуры медиации»
Продолжительность: от 36 часов
«Медиация: техники и приемы урегулирования споров»
Продолжительность: от 16 часов

Свидетельство о регистрации
СМИ: ЭЛ № ФС 77-58841
от 28.07.2014

Почему стоит размещать разработки у нас?

Бесплатное свидетельство – подтверждайте авторство без лишних затрат.
Доверие профессионалов – нас выбирают тысячи педагогов и экспертов.
Подходит для аттестации – дополнительные баллы и документальное подтверждение вашей работы.

Свидетельство о публикации
в СМИ

Дождитесь публикации материала и скачайте свидетельство о публикации в СМИ бесплатно.

Диплом за инновационную
профессиональную
деятельность

Опубликует не менее 15 материалов в методической библиотеке портала и скачайте документ бесплатно.

26.03.2015

Элективный курс по алгебре «Иррациональные уравнения»

Муравлева Татьяна Юрьевна

учитель математики

Элективный курс по алгебре «Иррациональные уравнения» — это полноценный учебно-методический комплекс для учителей и учащихся. В материалы входит пояснительная записка, подробная программа курса и формулировки ожидаемых результатов. Для эффективного закрепления знаний предусмотрены дифференцированные задания, позволяющие учесть разный уровень подготовки школьников. Завершает курс готовый итоговый контроль для проверки усвоения материала. Все необходимое для глубокого изучения сложной темы и подготовки к экзаменам.

Оценить

1440 0

Содержимое разработки

Государственное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №3

города Новокуйбышевск Самарской области

Программа элективного курса по математике

«Иррациональные уравнения»

Автор: учитель математики высшей категории

Муравлева Татьяна Юрьевна.

Директор школы: Иванушкина Тамара Александровна

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс посвящён одному из разделов математики - решению иррациональных уравнений. Иррациональные уравнения играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры школьников.

Данный элективный курс направлен на систематизацию и расширение знаний учащихся, способствует более осознанному освоению базового курса алгебры 10 -11 классов.

Курс поможет учащимся обогатить свой опыт новыми приемами в классификации различных иррациональных уравнений, в том числе и задач повышенного уровня сложности, научит рационализации поиска их решения, подбору наиболее удачных способов их решения, выстраиванию алгоритмов.

Многоуровневая система задач по теме «Решение иррациональных уравнений», предлагаемая в курсе, поможет старшеклассникам получить более высокую оценку при сдаче ЕГЭ по математике.

Цели курса

углубление знаний учащихся о методах и приёмах решения иррациональных уравнений;

развитие познавательной активности учащихся при изучении различных методов решения иррациональных уравнений;

формирование навыков анализа и систематизации, полученных ранее знаний в результате их применения в незнакомой ситуации;

подготовка к ЕГЭ по математике.

Задачи курса

сформировать у учащихся навыки решения иррациональных уравнений, основанных на применении методов сведения уравнения к системе, возведения в степень обеих частей уравнения, замены переменой, функционального метода, а также исследовании областей определения и множеств значений функций, входящих в данное уравнение;

продолжить формирование опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении иррациональных уравнений, используя геометрический подход.

Учебно-методический комплект содержит набор заданий разного уровня, предназначенных, как для индивидуальной, так и для групповой работы. Это позволяет учителю выстроить для каждого учащегося индивидуальную образовательную траекторию.

Текущий контроль уровня достижений осуществляется по результатам выполнения любых работ, предлагаемых учителем.

Исходя из того, что данный элективный курс в практическом отношении направлен на подготовку к письменному конкурсному экзамену или ЕГЭ, то форму оценки уровня достижений целесообразно приблизить к практике конкурсных экзаменов (проводить в виде тестов в формате ЕГЭ или контрольных работ).

Существенная особенность подготовки к конкурсным экзаменам – выработка готовности к разного рода неожиданным по формулировке и содержанию заданиям. Также подобраны задачи по курсу. Важно, что решение таких задач не должно служить только проверке уровня достижений: предлагаемые задачи являются неотъемлемой частью процесса обучения, поэтому большое значение имеет разбор и комментирование решений (анализ ошибок, оригинальных идей и т. п.)

Полезно проводить и достаточно простые работы на знание методов решения иррациональных уравнений, но важно, чтобы они были не оценивающими, а обучающими.

В данном курсе не предусматривается проверка знания учащимися теоретического материала, главное – научиться решать уравнения, освоить методы решения иррациональных уравнений.

В организации процесса обучения в рамках рассматриваемого курса используются две взаимосвязанные и взаимодополняющие формы: урочная и внеурочная (домашние практические самостоятельные работы).

Изучение материала опирается на использование следующих методов:

1.Методы объяснительно-иллюстрированного обучения:

лекции

семинары

рассказ

беседа

самостоятельная работа над учебным материалом.

2.Методы репродуктивного обучения:

упражнения

практикум

тренинг навыков.

3.Методы проблемно-поискового обучения:

проблемное обучение

частично-поисковый

исследовательский

мозговой штурм

4.Коммуникативные методы обучения:

диалог

5.Иммитационно-ролевые методы обучения:

организационно-мыслительные игры

анализ конкретной ситуации

Форма проведения занятий лекционно-семинарская. Школьники должны иметь возможность вести чёткий конспект для использования при выполнении домашних и тренировочных контрольных работ.

Курс планируется на одно учебное полугодие, поэтому программа рассчитана на 17 часов. Курс предназначен учащимся 11-х классов.

Предполагаемые результаты:

курс даёт возможность учащимся овладеть различными методами

решения иррациональных уравнений, техникой решения иррациональных уравнений;

повысить уровень математической культуры, творческого развития, познавательной активности.

Содержание программы

Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Решение уравнения с квадратными радикалами методом замены переменной.

Метод исследования области определения функций, входящих в данное иррациональное уравнение.

Метод исследования множества значений функций, входящих в данное иррациональное уравнение (Метод оценки).

Сведение иррациональных уравнений к системам.

Использование однородности.

Использование функционального подхода к решению уравнений.

Геометрический подход при решении иррациональных уравнений.

Учебно-тематический план

Номер занятия	Содержание	Кол-во часов	Технология реализации, контроль
1-2	Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень	2 ч.	Лекция, беседа, практикум
3-4	Решение уравнения с квадратными радикалами методом замены переменной.	2 ч.	Беседа, практикум
5-6	Метод исследования области определения функций, входящих в данное иррациональное уравнение	2 ч.	Практику, проблемное изложение.
7-8	Метод исследования множества значений функций, входящих в данное иррациональное уравнение (Метод оценки)	2 ч.	Практикум, промежуточный контроль знаний (самостоятельная работа №1)
9-10	Сведение иррациональных уравнений к системам	2 ч.	Лекция, беседа, практикум.
11-12	Использование однородности	2 ч.	Практикум, дискуссия, промежуточный контроль знаний (самостоятельная работа №2)
13-14	Использование функционального подхода к решению уравнений	2 ч.	Лекция, беседа, практикум, промежуточный контроль знаний (самостоятельная работа №3)
15-16	Геометрический подход при решении иррациональных уравнений	2 ч.	Лекция, практикум, промежуточный контроль знаний (самостоятельная работа №4)
17	Зачётное занятие по всему курсу (игра)	1 ч.	Организационно-мыслительная игра.
	Итого	17 ч.

Матричное представление системы задач.

Знания

Умения

Применение задач в знакомой, модифицированной и незнакомой ситуациях

Первая ключевая задача:

Решение иррациональных уравнений
методом возведения в одну и ту же степень обеих частей уравнения (2 ч.)

Знания:

1) определения иррационального уравнения;

2) формулы сокращённого умножения (x±y)², (x±y)³, x²y²;

3) сопряжённого выражения для

- ,

Действия:

1) возводить в некоторую степень, формально избавляясь от радикала;

2) получить рациональное уравнение и решить его;

3) проверить возможность появления посторонних корней

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

(«уединить» корень)

Расширение для углублённого уровня

Знания:

1) формулы сокращённого умножения (x±y)ⁿ, xⁿyⁿ;

2)определение модуля числа

Действия:

1) нахождение области допустимых значений переменной

2) применение свойств квадратного корня

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

Расширение для конкурсного уровня

Знания:

1) формулы сокращённого умножения ,;

2) определение модуля числа;

3) сопряжённого выражения для ;

4) понятие «параметр»

Действия:

1) преобразовывать выражение, содержащее параметр

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

Вторая ключевая задача:

Решение иррациональных уравнений методом замены переменной (2 ч.)

Знания:

1) Свойств элементарных функций

2) Формул сокращённого умножения

Действия:

1) Преобразовывать иррациональные выражения

2) Проводить замену одного выражения на другое или переменную

3) Работать с полученным уравнением

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

Расширение для углублённого уровня

Знания:

1) Свойств элементарных функций

2) Формул сокращённого умножения

3) Определение модуля числа

Действия:

1) Преобразовывать иррациональные выражения

2) Проводить замену одного выражения на другое или переменную

3) Работать с полученным уравнением

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

Расширение для конкурсного уровня

Знания:

1) Свойств элементарных функций

2) Формул сокращённого умножения

3) Определение модуля числа

Действия:

1) Преобразовывать иррациональные выражения

2) Проводить замену одного выражения на другое или переменную

3) Работать с полученным уравнением

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

Третья ключевая задача:

Метод исследования областей определения функций,
входящих в иррациональное уравнение (2 ч.)

Знания:

1) Понятие функции и ООФ

2) Свойств элементарных функций

Действия:

1) Находить область определения функций, входящих в уравнение

2) Находить ОДЗ переменной, входящей в уравнение

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

Расширение для углублённого уровня

Знания:

1) Формул сокращённого умножения, тригонометрических формул

2) Свойств элементарных функций

Действия:

1) Преобразовывать подкоренные выражения

2) Использовать при решении известные приёмы решения иррациональных уравнений: возведение в степень, замена.

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

Расширение для конкурсного уровня

Знания:

1) Формул сокращённого умножения, тригонометрических формул

2) Свойств элементарных функций

3) Понятие параметра

4)Определение и свойства обратных тригонометрических функций

5) Свойства корней чётной степени

6)Определение модуля числа

Действия:

1) Преобразовывать подкоренные выражения

2) Использовать при решении известные приёмы решения иррациональных уравнений: возведение в степень, замена.

Знакомая задача: :

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

Даны два уравнения

И. Значение р 3 выбирается так, что число различных корней первого уравнения равно сумме числа р+2 и числа корней второго уравнения. Решить второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.

Четвёртая ключевая задача:

Метод исследования множества значений функций,
входящих в данное иррациональное уравнение. (Метод оценки). (2 ч.)

Знания:

1) определения иррационального уравнения;

2) формул сокращённого умножения (x±y)²,

3) свойства элементарных функций;

4) МЗ функции вида

Действия:

1) строить схематично графики функций
и

2)сделать проверку

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

х+5=3

Незнакомая задача:

Расширение для углублённого уровня

Знания:

1) формулы сокращённого умножения

2) определение модуля числа

3)понятие квадратного трёхчлена

4)свойства числовых неравенств

5)квадратного уравнения

6)свойства квадратичной функции

Действия:

1) выделение полного квадрата двучлена;

2) решение квадратного уравнения

3) оценка выражения, содержащего квадратный трёхчлен

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

Расширение для конкурсного уровня

Знания:

1)неравенств второй степени

2) свойств элементарных функций

Действия:

1) решать неравенства второй степени.

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

Найти все значения х, которые не могут быть корнями уравнения.

Пятая ключевая задача:

Сведение иррационального уравнения к системе

Расширение для углублённого уровня

Знания:

1) ОДЗ переменной

2) Свойства функций, входящих в уравнение

3) Формул сокращённого умножения

Действия:

1) Ввести новое обозначение в уравнение (переобозначить)

2) Использовать формулы сокращённого умножения

3) Перейти от уравнения к системе

4) Решить систему

5) Вернуться к уравнению

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

Расширение для конкурсного уровня

Знания:

1) ОДЗ переменной

2) Свойства функций, входящих в уравнение

3) Формул сокращённого умножения

4) Методы решения уравнений с модулем

Действия:

1) Ввести новое обозначение в уравнение (переобозначить)

2) Использовать формулы сокращённого умножения

3) Перейти от уравнения к системе

4) Решить систему

5) Вернуться к уравнению

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

Шестая ключевая задача:

Использование однородности при решении иррационального уравнения. (2 ч.)

Расширение для углублённого уровня

Знания:

1) Определение однородного уравнения

2) Метод решения однородного уравнения

3) Способа разложения на множители квадратного трёхчлена

4) Метод замены переменной

Действия:

1) Применить метод решения однородного уравнения

2) Разложить подкоренное выражение на множители

3) Ввести новую переменную

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

Расширение для конкурсного уровня

Знания:

1) Определение однородного уравнения

2) Метод решения однородного уравнения

3) Способа разложения на множители квадратного трёхчлена

4) Метод замены переменной

5) Формул n-х степеней многочлена

Действия:

1) Применить метод решения однородного уравнения

2) Разложить подкоренное выражение на множители

3) Ввести новую переменную

4) Применить формулу n-х степеней

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

Седьмая ключевая задача:

Использование функционального метода
при решении иррациональных уравнений. (2 ч.)

Знания:

1) Определение монотонной функции

2) Понятие ограниченности функции

Действия:

1) Найти ООФ

2) Применить свойство суперпозиции монотонных функций

Незнакомая задача:

Расширение для углублённого уровня

Знания:

1) Определение монотонной функции

2) Понятие ограниченности функции

3) Теоремы- утверждения о характере поведения функции на промежутке, о единственности корня, о замене на соответствующую функцию и т.д.

Действия:

1) Найти ООФ

2) Применить свойство суперпозиции монотонных функций

3) Подобрать подходящую функцию

4) записать уравнение в терминах функции

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

;

Расширение для конкурсного уровня

Знания:

1) Определение монотонной функции

2) Понятие ограниченности функции

4) Свойств введенной функции

( ограниченность и монотонность)

Действия:

1) Найти ООФ

2) Применить свойство суперпозиции монотонных функций

3) Подобрать подходящую функцию

4) Записать уравнение в терминах функции

5) Использовать свойства введённой функции для решения уравнения

6) Упрощать уравнение с опорой на теоремы о свойствах функции

7) Решать более простые уравнения

8) Доказывать однозначность решения

Знакомая задача:

Модифицированная задача:

Незнакомая задача:

Восьмая ключевая задача:

Решение иррациональных уравнений с использованием геометрического подхода. (2 ч.)

Расширение для конкурсного уровня

Знания:

1) Расстояние между точками на координатной прямо, координатной плоскости

2) Уравнения окружности, прямой в декартовых координатах

3) Определение модуля числа

4) Понятие параметра

Действия:

1) Находить длину отрезка, расстояния между двумя точками на координатной прямой и координатной плоскости

2) Составлять уравнения прямой и окружности в декартовых координатах

3) Строить заданные фигуры в системе координат

4) Соотносить полученные результаты с условием задачи

Знакомая задача:

Найти наименьшее значение функции

Модифицированная задача:

Решить уравнение

Незнакомая задача:

Найти значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

Задания для самостоятельной работы

№

Задание

Ответ

C-1

C-2

C-3

C-4

Зачетное занятие по всему курсу.

(Математическая регата)

Время – 1урок.

Место – учебный кабинет.

Жюри – 2 учителя, 1 старшеклассник.

2 помощника (хронометраж, принимают ответы, фиксируют результаты).

В ходе игры решаются следующие задачи:

Образовательные.Научить применять теоретические знания, практическиеумения и навыки, полученные при изучении курса.

Воспитательные.Совершенствовать навыки коллективной работы;

создавать ситуации, в которых необходимо проявить

умение брать инициативу на себя; учить собранности.

Развивающие.Развивать умения анализировать ситуацию, выделять

главное, обобщать.

Ход игры.

Ι. Этап. Организация и начало.

Команды занимают свои места. Учитель настраивает на игру.

На доске – таблица для выставления результатов.

ΙΙ. Этап. Постановка целей и задач.

«Учиться можно только весело…Чтобы переварить знания, надо

поглощать их с аппетитом». Анатоль Франс.

Последуем совету писателя: будем на игре активны, внимательны,

будем «поглощать» знания с большим желанием!

Перед нами стоит задача: повторить иррациональные уравнения и

некоторые приёмы их решения.

ΙΙΙ. Этап. Обобщение, повторение, систематизация материала.

Ι тур – 5 минут

Цель тура. Отработка навыка быстрого и правильного выполнения

решения уравнения по определению; использование приёма

возведения в степень.

№ 1 ( 1 балл ) Решить уравнение:

№ 2 ( 2 балла ) Найти корни :

№ 3 ( 2 балла ) Вычислить сумму корней уравнения:

ΙΙ тур – 15 минут

Цель тура. Отработка навыка решения с помощью соответствующей

замены.

№ 1 ( 3 балла ) Решить уравнение:

№ 2 ( 3 балла ) Найти произведение корней уравнения:

№ 3 ( 3 балла ) Решить уравнение :

ΙΙΙ тур – 15 минут

Цель тура. Отработка навыка решения с помощью свойства монотонности функции.

№ 1 ( 4 балла ) Решить уравнение :

№ 2 ( 4 балла ) Найти корни уравнения :

№ 3 ( 4 балла ) Решить уравнение :

ΙV. Этап. Подведение итогов игры.

V. Этап. Домашнее задание.

Цель тура. Развитие творческого мышления, использование

нестандартного подхода (геометрический метод, замена).

№ 1Решить уравнение :

№ 2Решить систему уравнений:

№ 3Используя геометрический подход ,

решить систему уравнений:

Правила проведения математической регаты

1. Участвуют команды учеников 10 или 11 классов.

В составе команды 5 человек, число команд – 4.

2. Соревнование проводится в 4 тура.

Каждый тур представляет собой коллективное письменное решение

трёх задач.

Любая задача оформляется и сдаётся жюри на отдельном листочке.

Команда сдаёт только один вариант решения.

3. Учитель организует раздачу заданий и сбор листов с решениями ,

проводит разбор решения после каждого тура.

Наблюдатель обеспечивает связь с жюри и своевременное появление

информации об итогах на доске.

4. Время, отведённое командам для решения и «стоимость» задач в баллах

указано на листах с условиями задач, которые команда получает

непосредственно перед началом каждого тура.

5. Команды – победители определяются по сумме баллов, набранных каждой

командой во всех турах.

Указания и ответы к задачам.

Ι тур.

№ 1.№ 2.№ 3

ΙΙ тур.

№1№ 2

Решение:Решение :

№ 3

Решение :

Разделим на

ΙΙΙ тур.

№ 1№ 2№ 3

Ответ: 3Ответ: - 1Ответ: 1

ΙV тур.

№ 1

Решение:

Пусть 1)

Все корни без первого будут равны у.

2) Отсюда

Ответ:.

№ 2

Решение:

1) Рассмотрим слагаемые левой части второго уравнения:

а)

Пусть это расстояние между точками М (х;у) и А (2;-1)

б)

Пусть это расстояние между точками М (х;у) и В (10;5).

2) Вычислим

3) Таким образом, второе уравнение рассматриваем как АМ + ВМ = АВ, т.е. мы можем утверждать, что М принадлежит АВ, точнее отрезку АВ, т.е. и .

4) Составим уравнение прямой АВ:

5) Вернёмся к системе: х=6 ; у=2.

Ответ: (6 ; 2)

№ 3

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой х и катетами у и

2) По теореме Пифагора

3) Площадь треугольника равна 24, периметр треугольника равен 24, тогда r = 2.

4) Т.к. то

5) Из второго уравнения х = 10, тогда у = 6 или 8.

Ответ: (10; 6) или (10; 8).

Литература

Белобрысова, Т.С. Математика в школе. / Т.С.Белобрысова // Алгебра и начала анализа, тематические зачёты. – 2007. - №6 – с. 21-24.

Белошистая, А.В. Математика: Тематическое планирование уроков подготовки к экзамену. / А.В. Белошистая. – Москва: Экзамен, 2005. – 256 с.

Днепров, Э.Д. Сборник нормативных документов. Математика. / Э.Д. Днепров, А.Г. Аркадьев. – Москва: Дрофа, 2004. – 128 с.

Егерев, В.К. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. / В.К. Егерев, В.В Зайцев, Б.А. Кордемский, Т.Н. Маслова. - Москва: ОНИКС 21 век, 2000. – 608с.

Кочагин В.В. Интенсивная подготовка к ЕГЭ. Тематические тренировочные задания. / В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина. – Москва: Эксмо, 2008. – 216 с.

Литвиненко, В.Н. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. / В.Н. Литвиненко, А.Г.Мордкович. - Москва: Просвещение,1991.-352 с.

Манвелов, С.Г. Математика в школе./ С.Г.Манвелов // Строение базовой системы уроков математики. – 2006. - №6. – с. 23-26.

Саакян С.М. Задачи по алгебре и началам анализа. / С.М. Саакян, А.М. Гольдман. – Москва: Просвещение, 2003. – 286 с.

А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Алгебраический тренажер. Пособие для школьников и абитуриентов. «ИЛЕКСА» Москва, 2001.

О.Н.Доброва. Задания по алгебре и математическому анализу. Пособие для учащихся 9-11 классов общеобразовательных учреждений. Москва «Просвещение» 1996.

Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов. Составители: Г.И.Ковалева, кандидат педагогических наук; Т.И,Бузулина, кандидат педагогических наук; О.Л.Безрукова, учитель высшей категории. Издательство «Экзамен».

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/118494-jelektivnyj-kurs-po-algebre-irracionalnye-ura

Рецензия на методическую разработку

Опубликуйте материал и закажите рецензию на методическую разработку.

Подробнее

Рабочая программа по математике для 6 класса по УМК Никольского С. М Урок-игра «Маркетинг» по теме «Умножение одночлена на многочлен» (урок закрепления в 7 классе)

Также вас может заинтересовать

Свидетельство участника экспертной комиссии

Оставляйте комментарии к работам коллег и получите документ
БЕСПЛАТНО!

Подробнее

У вас недостаточно прав для добавления комментариев.

Чтобы оставлять комментарии, вам необходимо авторизоваться на сайте. Если у вас еще нет учетной записи на нашем сайте, предлагаем зарегистрироваться. Это займет не более 5 минут.

Для скачивания материалов с сайта необходимо авторизоваться на сайте (войти под своим логином и паролем)

Если Вы не регистрировались ранее, Вы можете зарегистрироваться.
После авторизации/регистрации на сайте Вы сможете скачивать необходимый в работе материал.

Рекомендуем Вам курсы повышения квалификации и переподготовки

Курсы повышения квалификации