Учебно-методические материалы по организации и проведению самостоятельной работы по алгебре в 7 классе во внеурочное время

казенное общеобразовательное учреждение

«Средняя школа №4 (очно-заочная)»

Учебно-методические

материалы

по организации и проведению

самостоятельной работы

по алгебре в 7 классе

во внеурочное время.

СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО КУРСА.

ГЛАВА I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Числовые выражения. Алгебраические выражения. Алгебраические равенства. Формулы. Свойства арифметических действий. Правила раскрытия скобок.

ГЛАВА II. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Уравнение и его корни. Решение уравнений с одним неизвестным, сводящихся к линейным. Решение задач с помощью уравнений.

ГЛАВА III. ОДНОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ
Степень с натуральным показателем. Свойства степени с натуральным показателем. Одночлен. Стандартный вид одночлена. Умножение одночленов. Многочлены. Приведение подобных членов. Сложение и вычитание многочленов. Умножение многочлена на одночлен. Умножение многочлена на многочлен. Деление одночлена и многочлена на одночлен.

ГЛАВА IV. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
Вынесение общего множителя за скобки. Способ группировки. Формула разности квадратов. Квадрат суммы. Квадрат разности. Применение нескольких способов разложения многочлена на множители.

ГЛАВА V. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Умножение и деление алгебраических дробей. Совместные действия над алгебраическими дробями.

ГЛАВА VI. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ГРАФИК

Прямоугольная система координат на плоскости. Функция. Функция у = kx и её график. Линейная функция и её график.

ГЛАВА VII. СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Системы уравнений. Способ подстановки. Способ сложения. Графический способ решения систем уравнений. Решение задач с помощью систем уравнений.

ГЛАВА VIII. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Различные комбинации из трёх элементов. Таблица вариантов и правило произведения. Подсчёт вариантов с помощью графов.

ГЛАВА I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ.

Знать: какие числа являются целыми, дробными, рациональными, положительными,

отрицательными и др.; свойства действий над числами; правила раскрытия скобок;

уметь: осуществлять в буквенных выражениях числовые подстановки и выполнять

соответствующие вычисления; сравнивать значения буквенных выражений при заданных

значениях входящих в них переменных; применять свойства действий над числами при нахождении значений числовых выражений.

Краткая теория

Числовым выражением называют всякую запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, составленную со смыслом.

Например: 3+5⋅(7−4) - числовое выражение

3+:−5 - не числовое выражение, а бессмысленный набор символов

Очень часто вместо конкретных чисел употребляются буквы, тогда получается алгебраическое выражение. 

Алгебраическим выражением называется запись из букв, знаков арифметических действий, чисел и скобок, составленная со смыслом.   

Например: a2−3b - алгебраическое выражение. 

Поскольку буквам, входящим в состав алгебраического выражения, можно придавать различные числовые значения (т.е. можно менять значения букв), эти буквы называют переменными.

Алгебраические выражения могут быть очень громоздкими и алгебра учит их упрощать, используя правила, законы, свойства, формулы.

При упрощении вычислений часто используются законы сложения и умножения.

Законы сложения.

1)  От перемены мест слагаемых сумма не изменяется, т.е.

a+b=b+a - переместительный закон сложения

2) Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемых, т.е.

(a+b)+c=a+(b+c) - сочетательный закон сложения

Законы умножения.

1) От перемены мест множителей произведение не меняется, т.е.

a⋅b=b⋅a - переместительный закон умножения

2) Произведение не зависит от группировки его сомножителей, т.е.

(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c) - сочетательный закон умножения

3) Произведение суммы нескольких чисел на какое-нибудь число равно сумме произведений каждого слагаемого на это число, т.е.

(a+b)⋅c=ac+bc - распределительный закон умножения относительно сложения

В результате упрощений числового выражения получается число, которое называют значением числового выражения.

 Алгебраическая сумма – запись, состоящая из нескольких алгебраических выражений, соединённых знаками « + » и « - ».

Из буквенных выражений с помощью знаков действий и скобок составляют другие буквенные выражения. Возьмем, например, выражения 2а и 3х – у. Тогда

2а + (3х – у ) – сумма выражений, 2а – (3х – у ) – разность выражений,

2а (3х – у ) – произведение выражений.

Правила раскрытия скобок

Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма, заключённая в скобки, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы.

a +( b – c – d ) = a + b – c – d

Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма, заключённая в скобки, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный.

a - ( b – c – d ) = a - b + c +d

Образец выполнения заданий.

№1. Найти значение числового выражения: 3+5⋅(7−4)=18

Решение: 1) 7-4=3; 2) 5*3=15; 3)  3+15=18.

№2. Найти значение алгебраического выражения: 2a−3b при a=−16 и b=−14 

 Решение:2a−3b=(−16)2−3⋅(−14)=256+42=298,

 №3. Найти значение выражения: 3a + 2ab -1

Еслиa=2 , b= 3, тогда 3 · 2 + 2 · 2 · 3 – 1 =17

Еслиa=-1 , b= 5, тогда 3 ·(-1) + 2· (-1)· 5 – 1 = -14.

№4. Раскройте скобки: а) 14 + ( 7 - 23 + 21 ) = 14 + 7 – 23 + 21;

б) 14 – (7 - 23 + 21 ) = 14 – 7 + 23 – 21; в) -3 (4x – 5) = -12x + 15;

Выполни по образцу:

№1. Найдите значение выражения:

а) 6х *8у при х=2/3, у=5/8. б) 29*0,45+0,45*11.

№2. Упростите выражение:

а) 2х-3у-11х+8у; б) 5*(2а+1) -3

№3.Две команды играли в баскетбол. В одной команде каждый из 3 игроков забросил а мячей. В другой каждый из 2 игроков - в мячей. Сколько мячей было забито за время игры? Вычислите при а=15, в=20.

№4. Составьте выражение для решения задачи и решите ее.

Площадь прямоугольника равна 42 см², а одна из его сторон равна х см. Чему равен периметр прямоугольника?

ГЛАВА II. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ.

Знать определение линейного уравнения, корня уравнения, области определения

уравнения;

уметь решать линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним; составлять

уравнение по тексту задачи.

Краткая теория

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.

Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частьюуравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства, называется правой частью уравнения.

Каждое слагаемое левой или правой части уравнения называется членом уравнения.

Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство.

Уравнение может иметь бесконечно много корней.

Уравнение может и не иметь корней.

9 х -23 = 5х- 11

9х-5х=23-11

4х=12÷4

х=3 Ответ: х=3

Любой член уравнения можно перенести из одно части в другую, изменив его знак на противоположный.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Алгоритм решения уравнения:

Переносят члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а члены, не содержащие неизвестного, в правую часть.

Приводят подобные слагаемые.

Делят обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю.

Алгоритм решения задач с помощью уравнения:

Составить уравнение по условию задачи.

Решить полученное уравнение.

Образец выполнения заданий. Пример 1..Решите уравнение:

1)2 – (13 – х ) = - 4 2)-3 (х – 2 ) = 3

13 – х = 2 – (-4) х – 2 = 3 : (-3)

13 – х = 2 + 4 х – 2 = -1

13 – х = 6 х = -1 + 2

х = 13 – 6 х = 1

х = 7 Ответ: 1.

Ответ: 7.

3)2х-4+х-2х+х=-5; 4) 5у-8=2у-5

-4+2х=-5 5у-2у=-5+8

2х=-5-(-4) 3у=3

2х=-5+4 у=3:3

2х=-1

Х=-1/2 у=1, Ответ: у=1.

Х=-0,5

Ответ: - 0,5

Пример 2:На одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой. Когда с одной полки сняли 8 книг, а на другую поставили 32 книги, то на полках стало книг поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

Решение

I полкаII полка

Было3хх

Стало3х-8х + 32

На полках книг стало поровну, значит:

3х - 8 = х + 32

3х - x = 32 + 8

2х = 40

х = 20

Значит 20 • 3 = 60 (книг) было на первой полке. О т в е т: 60 книг, 20 книг.

Пример3. Запишите выражение, при помощи которого можно найти:
периметр прямоугольника, одна сторона которого равна а см, а вторая – на 3см больше.

Решение: Р-периметр, а-первая сторона, а+3 (см)- вторя сторона, тогда: Р=2*( а+а+3)=2*( 2а+3).

Выполни по образцу

№1. Решите уравнение:

а) 0,5х=-4,5; б) 4-3х=3;

в) 3х-7=х-11; г) х/2+х/3=10. д) 5(х-3)+4х=6(х-8)

№2. Запишите выражение, при помощи которого можно найти:
расстояние, которое преодолевает велосипедист за 3 часа, двигаясь со скоростью V км/ч;
№3. Упростите выражение и найдите его значение:

-4(2,5а-1.5)+5.5а-8, при а=-2 9.

№4. Решите задачу: В баке в 2 раза больше молока, чем в ведре.

Если из бака перелить в ведро 2л молока, то в баке будет на 5 л молока больше,

чем в ведре. Сколько молока в ведре и сколько в баке?

ГЛАВА III. ОДНОЧЛЕНЫ И МНОГОЧЛЕНЫ

Знать определение степени с натуральным показателем, одночлена и многочлена, понимать формулировку заданий: «упростить выражение»;

уметь использовать свойства степени с натуральным показателем; приводить одночлены и многочлены к стандартному виду, выполнять действия с многочленами.

Глава 2.Свойства степеней

Знать: определение степени с натуральным показателем, свойства степени.

Уметь: использовать при решении задач.

Краткая теория.

Определение 1.Степенью числа а с натуральным показателем n , большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а:

= а·а·а·а·…·а

n раз

а – основание степени, n-показатель степени.

Определение 2. Степенью числа а с показателем 1 называют само это число: а¹=а

1.При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели складываются.aⁿ*a^m=a^n+m

2.При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели вычитаются. . aⁿ :a^m=a^n-m

3.При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели степеней перемножаются.

)^m=

4.При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель.

5.При возведении в степень дроби в эту степень возводится числитель и знаменатель.

, где b

Произведение числовых и буквенных множителей называютодночленом.

abc, (-4)a3ab, 2,5xу – одночлены.

Одночлены, которые содержат только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и степени с различными буквенными основаниями, называют одночленами стандартного вида.

3,5abc, -5ху³ - одночленами стандартного вида.

Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.

Приведением подобных слагаемых называют упрощение многочлена, при котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется одним одночленом.

Алгоритм умножения многочленов:

1 шаг: каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго многочлена;

2 шаг: найти произведения полученных одночленов;

3 шаг: привести подобные слагаемые;

4 шаг: полученный многочлен записать в стандартном виде.

Результаты действий с одночленами и многочленами:

Образец выполнения заданий.

Пример 1. Записать в виде степени произведение 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 .Решение. Поскольку дано произведение шести одинаковых множителей, каждый из которых равен 5, имеем:  5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 5⁶; 5⁶ — степень;  5 — основание степени; 6 — показатель степени.

Пример 2. Вычислить -2⁴

Решение. -2⁴ = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) =16. Ответ: 16. 

Пример 3. Вычислить 7¹ *3² * (-2)³ =7*9 *(-8) =-504.

Пример 4 .а) 6а(ав)²в³ = 6аававв³ = 6а³в⁵ ; б) (ху)²∙(ху)³ = xyxyxyxyxy = х⁵у⁵;

в) а(-ас)² = а(-ас)(-ас) = а³с²; г) –с(cd)² = -ccdcd = -c³d²; д) -z(-x²)(-xz) = -x³z² ; е) ав²(ав)² = ав²авав = а³в⁴

Пример5.- 0,125a²(-4b)(-2a) = -0,125 · (-4) · (-2) · (a² · a) · b= -1a³ b= -a³b

Пример6.4k + (4k + 53) + (4k : 2) = 10k + 53.

Пример7.(х – 3)(х + 5) = х² + 5х – 3х – 15 = х² + 2х – 15.

Выполни по образцу:

№1 Найти значение выражения: 1) 0,25⁶ ∙ 4⁶; 2) ; 3) .

№2. Упростите выражение: а) ; б)

№3. Представьте выражение в виде степени с основанием 2: (

№4.Привести к стандартному виду многочлен: -х+5х²+3х³+4х-х²

№5.Выполнить действие: а)3х²(2х-0,5у); б) (3х+10у) – (6х+3у).

№6.Вычислить значение выражения:

-1∙ 3², (-1 ∙ 3)² 1∙(-3)², - (2 ∙ 3)², 1² ∙ (-3)²

Если все члены многочлена содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, нужно:

Найти общий множитель.

Вынести его за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:

Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена.

Вынести этот общий множитель за скобки

Формулы сокращённого умножения

Формула разность квадратов

( a – b )(a + b ) = a² – b²

Формула квадрата суммы

(a + b )² = a² + 2ab + b²

Формула квадрата разности

(a - b )² = a²-2ab + b²

Формула куба суммы

(a+b)³=a³ + 3 a² b + 3 a b² + b³

Формула куба разности

(a -b)³=a³ - 3 a² b + 3 a b² - b³

Формула суммы кубов

a³ + b³ = ( a + b )(a² – ab + b²)

Формула разности кубов

a³ - b³ = ( a - b )(a² + ab + b²)

Образец выполнения заданий

Пример1. Вынеси общий множитель за скобку: 2 х³ + 8 х² у – 6 х = 2 х ( х² + 4 ху – 3).

Пример2. Найдите квадрат суммы, квадрат разности и представьте в виде многочлена: (х+3у)²= х² + 6ху + 9у²; (х – 3у)² = х² – 6ху + 9у²

Пример3.Упроститьвыражение:

7 a² - (2a – b) (b +2a) = 7a – (4a² - b²) = 7a²- 4a²+ b² = 3a²+ b²

Пример4. Представить в виде разности квадратов: а)(3а – 2b) (3a +2b) = (3a)² - (2b)² = 9a² - 4b²; б) (2x³ - 6c²) (2x³ + 6c²) = (2x³)² - (6c²)² = 4x⁶ - 36c⁴; в)(2x – 7y) (2x +7y) = 4x² - 49 y².

Пример5. Вычислите: 41²-31²= (41-31) *(41+31) =10*72=720.

Выполни по образцу:

№1. Вычислите:

№2.Раскрыть скобки: а) (2а+9)(2а-9); б) (5а+0,1)(0,1-5а).

№3.Разложить трехчлен на множители методом группировки:

а)

№4. Пользуясь формулами квадрата разности и суммы, преобразуйте выражение в многочлен: а) б)

№5. Упростите выражение: _.

ГЛАВА V. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ

Знать правила сокращения дроби, приведение дробей к общему знаменателю,

арифметических действий над алгебраическими дробями;

уметьвыполнять действия салгебраическими дробями.

^{Краткая теория.}

Выражение называюталгебраической дробью.

Чтобысократитьалгебраическую дробь, нужно числитель и знаменатель разделить на их общий множитель.

При использовании формул квадрата суммы или квадрата разности учитывайте, что

(– а – b)²= (а + b)²;

(b – а)² = (а – b)².

Это следует из того, что (– а)² = а².

Дляприведения алгебраических дробей к общему знаменателю нужно:

Найти общий знаменатель данных дробей.

Для каждой дроби найти дополнительный множитель .

Умножить числитель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Записать каждую дробь с найденным числителем и общим знаменателем.

Длясложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями нужно:

Найти общий знаменатель дробей.

Привести дроби к общему знаменателю.

Сложить или вычесть полученные дроби.

Упростить результат, если возможно.

Умножение и деление алгебраических дробей выполняется по тем же правилам, что и умножение, и деление обыкновенных дробей:

Образец выполнения заданий

Пример1. Сократить дробь: а) = ;

б) == .

Пример2. Выполнить действия:

Пример 3. Выполнить действия:

Пример 4. Выполнить действия:

Решение.

Пример5. Выполнить действия: ( - ) : ( - )

Решение:

- = = = = ;

+ == = ;

: = .

Ответ: .

Выполни по образцу:

№1. Сократите дробь: а); б) , в) .

№2. Выполните действия:

+ ; б) , в) + , г) - ,

№3. Выполните умножение: а) ∙ , б) ∙ , в) ∙

№4. Выполните деление: а) : , б) : , в) : .

№5.Представьте в виде дроби:

ГЛАВА VI. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ГРАФИК

Знать: определения функции, области определения функции, области значений; способы задания функций; определение линейной функции.

Уметь: правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции,

аргумент, график функции, область определения, область значений); находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком; решать обратную задачу; строить графики

линейной функции, прямой и обратной пропорциональности.

Краткая теория.

у

ось ОХ – ось абсциссПрямоуголь-

01 х ось ОУ – ось ординатная система

О – начало координат координат

О1 –единичный отрезок

2. Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллионов людей, живущих на Земле.

Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и ноги, уши и рот.

Точно так же облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.

о способах заданий функции.

1) Словесный.

Здесь уместно вспомнить о пословицах. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа. Определить зависимые и независимые величины. “Чем дальше в лес, тем больше дров”. Количество дров нарастает по мере продвижения в глубь леса – от опушек, где все давным-давно собрано, до чащоб, куда еще не ступала нога заготовителя. “Каши маслом не испортишь”.

2) Таблицей.

3) Функция может быть задана формулой:

у = 2х; f(х) = х²; S = 50t.

4) Графиком. 

Понятие области определения функции.

Если построить графическую иллюстрацию к вышесказанным пословицам.

По оси ОХ мы откладывали множество значений независимой величины (аргумента). Такое множество называется областью определения функции.

Если функция задана формулой и не указано никаких ограничений, ее областью определения считается множество всех значений аргумента, при которых выполнимы все операции, участвующие в этой формуле.

Например: у = х + 3 х – любое число. f(х) = 1/х-3 х – все числа, кроме 3.

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где x-независимая переменная, k-не равное нулю число.

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

Для построения графика прямой пропорциональности достаточно отметить какую-либо точку графика отличную от начала координат и провести через эту точку и начало координат прямую.

Числоk называется угловым коэффициентом прямой – графика функции y=kx.

Если k>0, то график функции y=kx расположен в 1 и 3 четверти координатной плоскости;

Если k<0, то график функции y=kx расположен во 2 и43 четверти координатной плоскости.

Линейной функцией называется функция вида у = kx + b, где k и b – заданные числа.

Графиком линейной функции у = kx + b является прямая.

Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Расположение графика функции y=kx+b на координатной плоскости зависит от коэффициентов k и b.

График функции y=kx+b, где k 0, есть прямая, параллельная прямой y=kx.

Если k=0, то формула y=kx+b принимает вид y = b. Графиком функции y = kx + b является прямая, параллельная оси х при b 0 или сама ось х при b = 0.

График функции у = kx + b получается сдвигом графика функции у = kx на bединиц вдоль оси ординат. Графиками функцийу = kxиу = kx + b являются параллельные прямые.

Числоk называется угловым коэффициентом прямой – графика функции у = kx + b.

Еслиk>0, то угол наклона прямойу=kx+b к оси х острый;

если k<0, то этот угол тупой.

График функции у=кх+в получается сдвигом графика функции у =кх на в единиц вдоль оси ординат (ОУ), ( Если в>0 вверх, если в<0 вниз) Графики функций у=кх и у=кх+в являютсяпараллельные прямые. (графики двух линейных функций пересекаются, если коэффициенты при х различны). ( графики двух линейных функций являются параллельными прямыми, если коэффициенты при х одинаковы). - Графики пересекаются если угловые коэффициенты различны.

- Графики пересекаются в точке (0:l), если равны числа l.

- Графики параллельны, если угловые коэффициенты равны.

- Графики совпадают, если угловые коэффициенты равны и если равны числа l.

Образец выполнения заданий.

Пример 1. Принадлежат ли графику функции y= - 0,5х точки С (2;-1), Д (4;-20).

Решение: -1=-0,5*2; -1=-1 –верное, значит точки С (2;-1) принадлежит графику функцииy= - 0,5х.

Пример 2. Построитьграфики функций: у = 2 х + 3 и у = 2 х.

Решение: Для построения графика функций достаточно построить две точки этого графика.

у = 2 х + 3 у = 2 х

у

у = 2 х + 3

у = 2 х

х

Пример 3. Как расположены графики функций: у= 1,7х и у= - 3,1х

Решение: График функции у= 1,7х , расположен в 1и 3 координатных четвертях, т.к.

1,7 >0. График функции у= - 3,1х, расположен во 2и 4 координатных четвертях , т.к. – 3,1 < 0.

Пример 4. Построить график функции у= 2.

Решение: Еслиk=0, b=2, прямая проходит через точку (0;2)

Пример 5. Прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции приb = 0. Возьмем графики функции y = 0,5x и у = 0,5х + 2.Составим таблицы соответственных значений переменных х и у для некоторых значений аргумента х: у= 0,5х. у= 0,5х + 2

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых помещены в таблице.

Выполни по образцу:

№1.а)Среди перечисленных функций у= 2х+3; у= 2х; у= 2+х; у= 1+2х; у= -х+3, укажите те, графики которых параллельны графику функции у=2 х-3.

б) Задайте формулой линейную функцию, график которой проходит через начало координат и параллелен прямой у= 7х-3.

№2..а) Известно, что график функции у=kх+b параллелен графику функции у= -х+5 и расположен ниже его. Что можно сказать о коэффициентах kиb?

б ) Известно, что график функции у=kх+b проходит через ту же точку на оси ординат, что и график функции у= 2х-3.. Что можно сказать о коэффициентах kиb?

№3. у 2

6

Н а координатной плоскости нарисованы 4

шесть прямых - графиков функций:

у=k₁ х+b₁ , 2) у=k₂ х+b₂ ,… 6)у=k₆ х+b₆

Известно, что прямые 2) и 3) параллельны. 1 х

а) Определите знаки коэффициентов: k₁иb₁ ,…, k₆иb₆ .

б) Выпишите коэффициенты k₁,k₂ …k₆ в порядке возрастания. 5

в) Выпишите коэффициенты b₁,b₂ …b₆ в порядке возрастания.

№4. Построить графики функций: у=2х+3 и у=2х. Найти точки пересечения с осями координат.

ГЛАВА VII. СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Знать: что такое линейное уравнение с двумя переменными, система уравнений,

различные способы решения систем уравнений с двумя переменными;

уметь: правильно употреблять термины: «уравнение с двумя переменными», «система»; строить некоторые графики уравнения с двумя переменными; решать системы уравнений с двумя переменными различными способами.

Краткая теория.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение первой степени с двумя неизвестными х и у называется уравнение вида ax + by = c –, a,b,c – заданные числа, причем хотя бы одно из чисел не равно нулю. Числа а и в называют коэффициентами при неизвестных х и у, а число с –свободным членом.

Определение:решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное числовое равенство.

Система уравнений – это два и более уравнений, которыми можно манипулировать для нахождения общих решений. Система из двух уравнений включает в себя две переменных, значения которых являются общими для обоих уравнений.

х + у = 10

х – у = 4 - система двух уравнений с двумя неизвестными.

ОпределениеРешением системы с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Определение:Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными способом подстановки, нужно:

из одного уравнения системы ( всё равно из какой) выразить одно неизвестное через другое, например у через х.

полученное выражение подставить в другое уравнение системы, получится одно уравнение с одним неизвестным х.

решить это уравнение, найти значение х.

подставив найденное значение х в выражение для у, найти значение у.

Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными способом алгебраического сложения, нужно:

уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.

Складывая и вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное.

Подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными графическим способом, нужно:

Построить графики каждого из уравнений системы.

Найти координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются).

Вывод: Если прямые пересекаются, то координаты точки пересечения двух прямых и будут решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Если прямые параллельны, то система двух линейных уравнений с двумя неизвестными не имеет решений.

Если прямые совпадаютто система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений.

Образец выполнения заданий.

Пример 1: Решить систему уравнений способом подстановки:

│x + y = 1
│2x – y = 2.

Решение: Первое уравнение системы проще второго – его и используем. 
Выразим в нем x через у: x = 1 – y. Подставляем это значение x в наше второе уравнение и находим значение y: 2(1 – y) – y = 2

2 – 2y – y = 2

2 – 3y = 2

3y = 2 – 2

3y = 0

y = 0. Мы получили значение y. Подставляем его в наше первое уравнение и находим теперь уже значение x: x + 0 = 1, x = 1. Мы нашли значения обеих переменных.

Ответ: (1; 0).

 Пример 2. Решить систему уравнений способом сложения:

│x + y = 5
│x – y = 1. Решение. Сложим (вычтем) почтенно оба уравнения системы:

│(x + y) + (x – y) = 5 + 1
│(x + y) – (x – y) = 5 – 1.Раскрываем скобки в обоих уравнениях и сводим подобные члены. В результате в первом уравнении пропадает у, во втором х. Мы получаем уравнения с одной переменной, которые проще решать:

│ x + y + x – y = 6
│ x + y – x + y =  4

↓│2x = 6
│2y = 4

↓ │x = 6 : 2
│y = 4 : 2 У

↓│x = 3
│y = 2 Ответ: (3; 2). у=-х

Пример 3. Решить графически.

y= -x 2

y=x+4; Решение: Х

у=х+4 -2

Ответ: (-2;2)

Выполни по образцу:

№1.Решить систему уравнений способом подстановки:

х+57=7; у-3х=5;

3х-2у=4. 5х+2у=23.

№2. Решить систему уравнений способом сложения:

а) 2х+у=11; б) 5х-2у=6;

3х-у=9. 7х+2у=6.

№3. Решить графически: y=x, y=2x,

y= 2- x; y=6 - x;

ГЛАВА VIII. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ.

Знать способ подсчета вариантов с помощью «дерева возможных вариантов» и с помощью логического перебора; как составляется таблица вариантов; правило произведения; как осуществляется подсчет вариантов с помощью графов;

уметь выполнять перебор всех возможных вариантов ля пересчета объектов или комбинаций объектов; применять правило комбинаторного умножения при решении задач; подсчитывать число вариантов с помощью графов.

Краткая теория.

Комбинаторикой называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются простейшие «соединения». Перестановки - соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их Размещения - соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающиеся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их Сочетания - соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом (в современном толковом словаре изд. «Большая Советская Энциклопедия»).

Области применения комбинаторики:

учебные заведения (составление расписаний)

сфера общественного питания (составление меню)

лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

география (раскраска карт)

спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

производство (распределение нескольких видов работ между рабочими)

агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)

химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)

криптография (разработка методов шифрования)

доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называютсякомбинаторными.

Правило сложения: если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор « либо А, либо В» можно осуществитьm + n способами.

Например:

На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?

По условию задачи яблоко можно выбрать пятью способами, апельсин – четырьмя. Так как в задаче речь идет о выборе «либо яблоко, либо апельсин», то его, согласно правилу сложения, можно осуществить 5+4=9 способами.

Пример1.сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,4,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза? (слайд 3)

Решение: для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем записывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4, и, наконец, с цифры 7:

14, 17, 41, 47, 71, 74. Ответ: 6.

Этот метод называется перебором вариантов. Таким образом, их трех данных цифр можно составить всего 6 различных двузначных чисел.

Эту задачу можно решить и другим способом. Его название – дерево возможных вариантов. Для этой задачи построена специальная схема.

Ставим звездочку. Она будет обозначать количество возможных вариантов.

Далее отводим от звездочки 3 отрезка. В условии задачи даны 3 цифры – 1, 4, 7.

Ставим эти цифры на концах отрезков. Они будут обозначать число десятков в данном числе.

Далее от каждой цифры проводим по 2 отрезка.

На концах этих отрезков записываем также цифры 1, 4, 7. Они будут обозначать число единиц.

Рассмотрим, какие числа получились: 14, 17, 41, 47, 71, 74. То есть всего получилось 6 чисел.

Ответ: 6.

Эта схема действительно похожа на дерево, правда «вверх ногами» и без ствола.

Правило умножения: если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить m ∙ n способами.

Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,4,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Эту задачу можно решить по-другому и намного быстрее, не строя дерева возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру двузначного числа можно выбрать тремя способами. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 3∙2, т.е. 6.

Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 5, 9, 0, 6?

По правилу умножения получаем: 4∙4∙4∙4=256 чисел.

Перестановки – соединения, каждое из которых содержит n различных элементов, взятых в определенном порядке.

P_n=n! = 1 · 2 · 3 · … · (n-2) · (n-1) · n

Задача.

Сколькими способами можно расставить на полке семь различных книг?

Решение:

Число таких способов равно числу перестановок из семи элементов,

т.е.P₇ = 7! = 1 · 2 · 3 · … · 7 = 5040.

Ответ: 5040.

Размещения – соединения, отличающиеся друг от друга составом элементов или их порядком, каждая из которых содержит k элементов, взятых из n различных элементов.

Порядок следования элементов важен.

Число размещений из n элементов по k обозначают символом

(читается: А из n по k).

Сочетания – соединения, отличающиеся друг от друга по крайней мере одним элементом, каждое из которых содержит k элементов, выбранных из n различных элементов.

Порядок следования элементов неважен.

Число сочетаний из n элементов по k обозначают символом (читается: С из n по k).

Образец выполнения заданий.

Пример 1.Имеются 10 различных книг, три из которых – справочники. Сколькими способами

Можно расставить эти книги на полке так, чтобы все справочники стояли рядом?

Решение:

Т.к. в справочники должны стоять рядом, то будем рассматривать их как одну книгу. Тогда на полке надо расставить 10 – 3+1=8 книг. Это можно сделать P₈ способами. Для каждой из полученных комбинаций можно сделать P₃ перестановок справочников.

Поэтому число способов расположения книг на полке равно произведению:

P₈·P₃= 8! · 3! = 40320 · 6 =241920.

Пример 2. Вопросы. Сколькими способами можно выбрать 5 учеников из 30 для дежурства в столовой; актив класса (староста, культорг, редактор стенгазеты, организатор спортивных мероприятий) – 4 человека из 30; 7 монет из 10 данных монет; 10 карт из колоды в 32 карты?

Ответ:5 учеников из 30 для дежурства в столовой можно выбрать способами; 7 монет из 10 данных монет можно выбрать способами; 10 карт из колоды в 32 карты способами (в этих случаях порядок не важен, и поэтому мы используем сочетания).

Для состава актива класса важно, кто именно будет старостой, кто – культоргом, кто – редактором стенгазеты и кто будет отвечать за спорт. Поэтому следует использовать размещения: нужный выбор (4 человека из 30) можно произвести способами.

Пример 3. Сколько существует трехзначных чисел, в которых цифры различные и нечетные.

Решение:

Н ечётных цифр пять: 1,3,5,7,9. Их надо разместить на три позиции. Поэтому количество искомых чисел равно числу размещения.

Ответ: 60.

Пример 4. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

Решение:

На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из

оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа. Р₄ = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Ответ: 24 способа.

Выполни по образцу:

№1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти беговых дорожках?

№2.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

№ 3.Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

№ 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?

№ 5.В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/146537-uchebno-metodicheskie-materialy-po-organizaci