Математика и школьные предметы гуманитарного профиля

Имьяминова Эльвира Тагировна,

учитель математики МБОУ «СОШ №13 с УИП эстетического цикла» г. Ноябрьска

Математика и школьные предметы гуманитарного профиля

Едва ли кто-нибудь из нематематиков в состоянии освоиться с мыслью, что цифры могут представлять собой культурную или эстетическую ценность или иметь какое-нибудь отношение к таким понятиям, как красота, сила, вдохновение. Я решительно протестую против этого косного представления о математике.

Норберт Винер,

выдающийся математик и философ, основоположник кибернетики

и теории искусственного интеллекта

Деление школьных профильных классов условно на «гуманитарные» и «технические» усугубляет и без того чёткую границу между гуманитарными дисциплинами и предметами естественно-научного цикла. Те, кто выбирают первый профиль, делают подчас выбор не углубленного изучения гуманитарных предметов, а уменьшения нагрузки по точным наукам в полной уверенности тщетности последних знаний и наоборот. Между тем, связи между всеми предметами школьного курса настолько глубоки и взаимопроникаемы, что говорить о какой-то условной границе не представляется возможным.

Чтобы рассуждать о связи математики как школьного предмета и целого комплекса предметов гуманитарного цикла, необходимо углубиться в вопрос более фундаментальный – какова связь между математикой и искусством, отражением которого являются архитектура, живопись, музыка, литература, и есть ли она вообще?..

Почти два тысячелетия такие смыслообразующие начала, как Истина, Красота и Добро, составляли триединство и воспринимались как единое целое – духовное ядро жизни. В век Просвещения триединство распалось – Истина с того момента ассоциируется с наукой, Красота определяется в искусстве, а Добро нашло своё отражение в религии, и три таких родственных начала теперь воспринимаются как обособленные. Спустя ещё два века очевидной видится необходимость возвращения к многоликому, но единому духовному началу.

Можно привести в пример немалое количество учёных, имеющих широкое признание в научных кругах, которые, будучи сверхнагруженными научной работой, отдавали много времени и сил искусству. Физик-теоретик, член-корреспондент РАН Евгений Львович Фейнберг в своей книге «Две культуры. Интуиция и логика в искусстве и науке» пытается ответить на такие вопросы как: зачем искусство нужно человечеству, каковы взаимоотношения искусства и науки, где заканчивается логика и начинается интуиция; рассматривает общие проблемы «двух культур» – естественнонаучного знания, с одной стороны, искусства и гуманитарных наук – с другой. Российский физик-механик, математик, один из основоположников советской космонавтики,академик АН СССР, академикРАН Борис Викторович Раушенбах, продолжая работать в области ракетной техники, начал изучать теориюперспективывизобразительном искусстве, богословие. Вего книге «Пристрастие» немалое место уделено как вопросам науки, так и вопросам религии. Академик Павел Сергеевич Александров нашел в математике свое призвание, но, кроме того, очень хорошо знал и любил литературу (особенно поэзию), театр, музыку.

В чём проявляется родство таких универсалий как наука и искусство? Их роднят многофункциональность – подобно науке искусство служит познанию окружающей реальности, являясь своеобразным языком общения людей через музыку, живопись или поэзию. Элементом, связующим Истину, Красоту и Добро, является Гармония, которая, что немаловажно, имеет объективную ценностно-значимую форму, которую можно изучать методами математики. Гармонию (или Красоту), как оказалось, можно оценить, потрогать, посчитать и проанализировать. Она имеет название (например, «золотое сечение»), выражается числом (соотношение, пропорция) и представлена множеством ипостасей.

Исконное значение слова «математика» (от греч. μάθημα – знание, наука) определяет это понятие очень широко как науку, в которой изучаются пространственные формы и количественные отношения, а также как науку о структурах, порядке и отношениях, и этим определяется её абсолютное проникновение во все сферы жизни. С одной стороны очень общо, а с другой – ядро организации любой системы составляют чёткая структура, её порядок и отношения между её объектами. В данном контексте уместно будет процитировать высказывание французского математика Анри Пуанкаре «Математиков занимают не предметы, а отношения между ними… Содержание их не волнует, они интересуются только формой». Другими словами, ограничивать математику изучением чисел и действий над ними, кощунственно, – методы математики можно применить в любой области жизни. Со словом «математика» у меня чётко ассоциируется слово «правило». И это понятие встречается в курсе изучения практически всех дисциплин – начиная от правил правописания и правил построения перспективы, заканчивая правилами построения литературного произведения. Последнее кажется на первый взгляд абсурдным. Приведу в пример отрывок выступления классика современной литературы Курта Воннегута, который визуализирует правила построения сюжетных линий: «Все просто – раскладываем сюжеты по осям. Вертикальная ось – это ось судьбы: счастливая судьба – несчастливая судьба. Болезни и нищета находятся внизу, процветание и превосходное здоровье – наверху. Среднестатистический человек находится где-то посередине. Горизонтальная ось – это ось времени: начало – конец.

Есть одна вечная история, которая повторяется вновь и вновь… Некто попадает в затруднительное положение и находит способ из него выбраться. У меня не случайно конец линии выше, чем начало. Читателя это воодушевляет (рис. 1).

Рис. 1.

Один из самых известных сюжетов, рассказанных за всю историю человечества, начинается внизу. Кто же этот отчаявшийся персонаж? Это девушка 15-16 лет, чья мать умерла, так что у неё есть все основания для депрессии. Её отец почти тотчас женился на другой женщине… с двумя далекими от совершенства дочками. Одежда – макияж – карета – бал – принц – полночь – отчаяние – туфелька – принц – бесконечное счастье (рис. 2).

Рис. 2. «Золушка»

На этом графике изображён сюжет «Гамлета» (рис. 3):

Рис. 3. «Гамлет»

И всё же мы не зря считаем «Гамлета» шедевром: дело в том, что Шекспир сказал нам правду, а люди очень редко нам её говорят, когда изображают эти взлеты и падения. Правда вот в чём: нам так мало известно о жизни, что мы не можем по-настоящему знать, что хорошо для нас, а что плохо..».

Рис. 4. Произведение Ф. Кафки

Это, конечно, скорее юмористическое отступление, не лишённое, однако, объективной ценности. Замечу, что Воннегут неплохо владеет математическим аппаратом.

Следует отметить, что писатели (как и художники) используют в работе над произведением понятие композиции, которое в случае работы над текстом означает схему организации и структурной упорядоченности текста (произведения), отражающую строение, соотношение и взаимное расположение его частей, порядок их следования и взаимосвязь между ними. К элементам композиции относят экспозицию, завязку, развитие действия, кульминацию и развязку. Таким образом, даже такое творческое занятие, как написание произведения (текста), на первый взгляд лишённое какого бы то ни было планирования и анализа, требует чёткой организации и порядка. Как тут не вспомнить о «науке о структурах, порядке и отношениях»?..

Связь математики и музыки возникла ещё во времена античности. В то время большое распространение получили идеи греческого математика Пифагора, который развивал теорию о числе и о числовых закономерностях. Его многочисленные последователи усматривали связи, выражаемые в числах и действиях над ними, всюду. Пифагорейская философия числа объясняла математические закономерности в музыкальных созвучиях. Пифагорейцы не разделяли понятия «музыкальный» и «числовой», усматривая даже в движении планет «музыку небесных сфер». Музыка и астрономия были сведены пифагорейцами к анализу числовых закономерностей. Четыре дисциплины: музыка, астрономия, арифметика и геометрия считались математическими (!) и назывались одним словом «математика».

Математические пропорции и соотношения составляют основу теории музыки. Ни в какой другой сфере искусства нет такого обилия математических названий, например, октава (интервал в восемь ступеней), кварта(интервал в четыре ступени) квинта (интервал шириной в пять ступеней), нона (музыкальный интервал, состоящий из октавы и секунды). Встречаются понятия, общие по звучанию для математики и музыки: медиантой двух дробей и с положительными знаменателями называется дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель – сумме знаменателей двух данных дробей (широко используется в математической статистике), медиантав мажорно-минорной системе ладов – название ступеней, находящихся между тоникой и одной из доминант. Интервал в музыке – расстояние между двумя тонами, а в математике – между точками. Секунда в музыке – интервал в две ступени, в математике и физике это единица измерения углов и времени.

Пожалуй, никакую другую сферу искусства так не затронула математика как изобразительное искусство. Каноны, по которым рисуется человеческое тело, выражается в конкретных соотношениях и пропорциях (рис. 5.):

Рис. 5. Соотношения при изображении лица

Попытки определить нормы телосложения и вычислить его пропорции предпринимались еще в глубокой древно­сти. В Древнем Египте наиболее оптимальный рост че­ловеческого тела предполагался равным девятнадцати­кратной длине среднего пальца руки.В V веке до н. э. греческий скульптор Поликлет устано­вил известные по сей день каноны, по которым высота го­ловы 7,5-8 раз должна укладываться вдоль роста всего тела. Известны другие соотношения: длина руки соответствует длине позвоночника или высоте трех голов, длина предпле­чья относится к длине плеча руки как 3:4 и равна длине стопы. Составлением идеальных пропорций занимались художники и ваятели античных веков и эпохи Возрожде­ния, они вывели такие соотношения: рост должен быть ра­вен ширине распростертых рук, ширина плеч – удвоенной ширине головы, длина ног – 47% роста и т. д. Отдельное слово необходимо сказать о «Золотом сечении», которое представляет из себя такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. «Золотое сечение» имеет широчайшее применение в различных областях знаний, сферах искусства.

Итак, связь между математикой и искусством очевидна. Конечно, учителю физики гораздо проще убедить учеников в необходимости математических знаний, в частности, для применения их к решению физических задач. Но как быть с гуманитарными предметами?..

В свете перехода к новым требованиям ФГОС наряду с предметными результатами обучающийся должен показать метапредметные результаты – умения использовать полученные предметные знания в различных областях жизни, применять их на практике, самостоятельно планировать и организовывать свою деятельность. С завидным постоянством учителям математики приходится слышать вопрос обучающихся «А зачем вообще нам нужна математика?..». Особенно остро он звучит в классах, где профильными являются предметы гуманитарного цикла. Подобный вопрос поставил в тупик не одного учителя математики. Между тем осознание важности знаний, полученных на уроке, для жизни мотивирует учащегося на заинтересованное и полноценное изучение предмета. Перед обучающимися, сдающими в конце 9 класса экзамен в формате ГИА, не стоит вопрос пользы математики, – она для них очевидна благодаря одному из разделов заданий с говорящим названием «Реальная математика». Задания в этом блоке вполне посильны и в большинстве случаев не вызывают затруднений при решении, обнаруживая при этом практическую значимость полученных знаний. Не менее полезным будет расширять пространство применения математических знаний на более отдалённые (на первый взгляд) предметы. Причём установление этих связей должно быть взаимно-обратным. Это накладывает на учителей-предметников особую ответственность, поскольку, устанавливая связи между предметами, необходимо владеть соответствующими знаниями, лексиконом.

В курсе изучения обществознания полезным будет рассказать о математических методах статистической обработки данных, в частности познакомить ребят с выборочным методом (статистический метод исследования общих свойств совокупности каких-либо объектов на основе изучения свойств лишь части этих объектов, взятых на выборку; применяется для социологических исследований).Уместным будет рассказать о требованиях, предъявляемых к выборке, в частности, о репрезентативности выборки. Обучающиеся лучше запоминают материал, когда получают результат, который их удивляет. В этой связи можно рассказать ребятам пример из реальной жизни, когда несоблюдение требования о репрезентативности выборки привело к ошибочному прогнозу при выборах. Во время президентских выборов в 1936 году в США журнал, успешно прогнозировавший события нескольких предшествующих выборов, ошибся в своих предсказаниях, разослав десять миллионов пробных бюллетеней своим подписчикам (большинство подписчиков считали себя республиканцами), а также людям, выбранным по телефонным книгам всей страны и людям из регистрационных списков автомобилей. В 25% вернувшихся бюллетеней (почти 2,5 миллиона) голоса были распределены следующим образом: 57 % отдавали предпочтение кандидату-республиканцу Альфу Лэндону, 40 % выбрали действующего в то время президента-демократа Франклина Рузвельта. На действительных же выборах, как известно, победил Рузвельт, набрав более 60% голосов. Ошибка журнала заключалась в следующем – они не учли современных им реалий – во время Великой депрессии обладать телефонами и автомобилями могли себе позволить в основном представители среднего и высшего класса (то есть большинство республиканцев, а не демократов).

На уроке литературы также могут быть полезны знания математики. Использование некоторых чисто математических терминов в художественном произведении зачастую ограничивает ученика в понимании. Очень показателен в этом смысле роман-антиутопия «Мы» Евгения Замятина, где все названия, буквы и числа пропитаны особым мистическим психологизмом. Начиная с названий: «Интеграл», «Скрижаль», «Материнская норма», заканчивая говорящими сочетаниями букв и чисел в «именах». Номер жителя обезличивает его, а буква индивидуализирует, – в этом выражается внутренний конфликт главного героя. Особое значение в романе уделяется числу 13, предвещающего трагическую развязку («Д» 5-я буква в алфавите, вместе с цифрами числа 503 дают 13; персонаж R-13, «R» как симметричная запись «Я» олицетворяет перевёрнутый мир поэта в мире, где нет места творчеству).

Связь с литературой можно установить и на математике. Правила в рифмованном виде помогут лучше усвоить материал ученикам с преобладанием слухового канала восприятия информации (аудиалам). Например, «Объём шаров слетает с губ – четыре третьих пи эр куб» ().Учащимся 7 классов МБОУ СОШ №6 г. Ноябрьска в качестве творческого задания мною было задано придумать ассоциацию, которая облегчила бы им понимание понятия или помогла запомнить формулу. В зависимости от предпочтения было предложено написать стихотворение (точнее рифмованную фразу) или нарисовать схему или картинку – на выбор. Предлагаю ознакомиться с результатами творческого задания, где в качестве мнемонического приёма была выбрана рифмизация:

1. Высоту запомнить просто – будет угол в 90! (Принь Денис 7б класс);

2. Медиана делит поровну – пополам напротив сторону! (Панов Андрей 7в класс);

3. Медиана – это такая обезьяна, которая словно на лиане, пересекает огромное расстояние, – от самой вершины к середине основания. (Потатуева Катя 7г класс);

4. Биссектриса это не крыса, а красавица судья, поделила угол так, что досталось двум друзьям ровно строго пополам. (Исламова Арина 7г класс);

5. Биссектриса, как актриса, ходит в доме по углам, словно меч в руках героев, делит угол пополам. (Зырянова Милана 7в класс);

6. Две прямые, два луча, на плоскости лежа, параллельными называют, если друг друга не пересекают. (Воробьёв Кирилл 7в класс);

7. Если мы возьмём, к примеру, треугольник равнобедренный, основание найдём, к нему биссектрису проведём, выяснится, что она и медианою была. Ну а два прямых угла получились неспроста – ведь к тому же оказалось, что она и высота. (Степанов Дмитрий 7б класс);

8. Я хочу вам рассказать, как мы будем вычислять сумму a и b в квадрате, – мы напишем на песке a²+ 2ab. «Это всё?» – спросил мой брат, «Нет, ещё и b²». Получилось, что песок как учитель нам помог! (Зырянова Милана 7в класс).

На уроках математики крайне важно следить не только за правильностью решения задачи, но и за правильностью написания специальных терминов. Полезно заострить внимание на слова, сложные в написании. Если объяснить этимологию слова «биссектриса» (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») или вспомнить правило, по которому слово «треугольник» пишется с буквой «е», несмотря на то, что образован от слов «три» и «угол» (соединительная буква «е» или «о» по правилу), а также периодически устраивать математические диктанты на проверку орфографии, это будет дополнительным плюсом и учителю русского языка, и учителю математики.

Установить связь между математикой и историей видится гораздо легче, ведь математики, чьи открытия и формулы используются на уроке, являются историческими личностями, поменявшими своими достижениями ход истории, совершив в своё время научную революцию. Очень полезно будет на уроке геометрии провести исторический экскурс по теме «Аксиома параллельных прямых», рассказав на уроке историю открытия неевклидовой геометрии нашим соотечественником Николаем Ивановичем Лобачевским. Показательно, что многие обучающиеся даже не представляют, какое произведение легло в основу геометрии, изучаемой в школе. В свою очередь учителям истории можно рекомендовать включать в свои уроки материалы о научных достижениях и их авторах, – пусть ребята ещё раз услышат знакомые имена и убедятся в важности научных открытий.

Все перечисленные рекомендации требуют высокого уровня компетентности от учителя-предметника, желания обогатить себя и урок новыми знаниями, а также времени, которого, может, и уходит немного, но ему находится более рациональное с точки зрения учителя применение. Я не вижу особой проблемы в том, что обучающиеся чётко разграничивают школьные предметы, – просто их знания становятся несколько однобокими, лишая ребят возможности составить собственную историческую картину мира, где наряду с известным военачальником можно будет указать, какой учёный и какими достижениями прославил себя и страну в то далёкое время. На своих уроках я стараюсь найти время для маленькой предыстории научного открытия или доказательства формулы (теоремы). Однако я понимаю, что это скорее исключение. Тем не менее, педагогам, желающим расширить привычные рамки своего урока неожиданной для предметного профиля информацией, было бы полезно иметь специальные брошюры/издания соответствующей тематики, посвящённые связи математики и гуманитарных наук. Навязывать подобную работу всё же не считаю необходимым.

Если говорить о вариантах решения проблемы обособленности математики от других предметов гуманитарного профиля на различных уровнях, то следует учесть, что корни этой проблемы гораздо глубже, чем может показаться на первый взгляд. Установление связей между предметами потребует немалых материальных затрат на всех уровнях, поскольку появляется необходимость переписывать учебники, в которых эта связь если и присутствует, то весьма косвенно. На уровне образовательного учреждения (на муниципальном уровне) возможно создание выше упомянутых брошюр/изданий соответствующей тематики, но этот процесс также потребует финансовой поддержки. Подобная работа на школьном/городском уровнях очень сложна (я предполагаю, что реализация этой идеи ограничится данным масштабом), поскольку требует от авторов глубоких знаний в различных областях, подразумевает тесное сотрудничество заинтересованных в решении этой проблемы педагогов «несмежных» специальностей, наличие большого количества наработок и материала (которого крайне мало!) и, наконец, свободного времени, которым, как известно, не располагают педагоги.

Хочется надеяться, что идея установления тесных связей гуманитарных и технических наук будет популяризирована не только среди педагогического сообщества, но и найдёт отклик в умах неравнодушных, заинтересованных людей. Актуальность данной проблемы не вызывает сомнений. И знаменитая дискуссия «физиков» и «лириков», инициированная Ильёй Эренбургом в 1959 году, в новом веке трансформируется в тесное сотрудничество таких родственных друг другу культур, знаменуя собой новый век триединства Истины, Красоты и Добра.

Литература:

Волошинов А.В. Математика и искусство – Москва: Просвещение, 1992 – 335 с.

Материалы сайта http://ru.wikipedia.org.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/191297-matematika-i-shkolnye-predmety-gumanitarnogo-