Методика организации проектной деятельности в процессе изучения комбинаторики и теории вероятностей

Тема: «Методика организации проектной деятельности в процессе изучения комбинаторики и теории вероятностей».

Выполнила работу:

Мещерякова Елена Викторовна, учитель математики

МБУ «Школа №90», г. Тольятти.

Цели работы:

Обобщение и проверка знаний по теме: «Элементы комбинаторики, составление математической модели задачи по заданной формуле».

Формирование информационной компетентности: установление смысловых связей, обобщение, формулирование ведущей идеи в работе с учебной литературой.

Формирование коммуникативной компетентности: умению вести диалог, толерантности, работе в коллективе.

Формирование компетентности самосовершенствования: осуществлять самоконтроль, рефлексию, обучение рецензированию и саморецензированию.

Формирование интеллектуальных умений: сопоставлять и сравнивать объекты, проводить аналогии, моделировать и классифицировать объекты или явления, формировать критичность мышления, опыт творческой деятельности.

Реализация технологии контекстного обучения по А.А. Вербицкому.

Пояснительная записка

Актуальность задач:

Комбинаторика представляет собой своеобразный раздел математики, нужный для успешного решения вопросов алгебры и других математических дисциплин. Однако наибольшее применение этого раздела находит себе место в теории вероятностей, науке, изучающей законы массовых явлений, каждое из которых в отдельности определяется условиями, не поддающимися учёту, и которые называются «случайными». Теория вероятностей давно уже приобрела столь большое значение, что много раз поднимался вопрос о включении её элементов в курс математики средней школы.

Изучение комбинаторики и элементов теории вероятностей сейчас наиболее актуально, так как задачи по данной теме включены в ОГЭ за 9 класс, а как такового изучения темы ещё не было отработано. Современный учитель математики пока делает ещё неуверенные шаги по пути теории вероятностей.

Методологические основы:

Основнойупор де­лается не на изложение теоретического материала (он для боль­шей части учащихся очень труден для по­нимания и усвоения), а на форми­ро­вание навыков решения комбинатор­ных задач простейшего уровня и раз­витие ло­гического мышления. Предполагается, что «прав­доподобные рассуждения» и аналогии являются достаточно убедительными и будут легче восприняты. Основной методический прием заключается в ис­пользовании задач для выяснения математической сути в рассматриваемых ситуа­циях.

Чтобы обеспечить наибольшую эффективность работы, необходимо:

обеспечить большую сознательность вывода каждой формулы;

подчеркнуть, что перестановки, размещения, сочетания не исчерпывают собой все виды соединений, а только являются простейшими и важнейшими из них;

давать наряду с задачами-примерами на применение выведенных формул и задачи в собственном смысле слова, требующие самостоятельного размышления.

Цели и задачи курса:

1) формирование специального типа мышления — комбинаторного;

2) формирование у учащихся видов деятельности, связанных с пере­бором и подсчетом числа конфигураций элементов,удовлетворяющих определенным условиям;

3) повышение интеллекта учащихся;

4) привитие профессионального интереса к занятиям комбинаторики как науки;

5) расширение кругозора учащихся;

6) углублённое изучение школьного курса математики.

Знания, умения и навыки при изучении курса «Комбинаторика и теория вероятностей».

Знать:

чем занимается комбинаторика и теория вероятностей;

чем обусловлено появление комбинаторики и теории вероятностей;

этапы их развития;

каковы основные проблемы комбинаторики и теории вероятностей;

понимать алгоритмы решения;

выводить формулу для подсчёта числа размещений, перестановок и сочетаний.

Уметь:

вывести формулы классической комбинаторики;

решать простейшие задачи с помощью этих формул;

решать простейшие задачи на классическое и геометрическое определения вероятности.

Компетенции при изучении курса.

Познавательные.

- Умение самостоятельно и мотивированно организовывать свою познавательную деятельность (от постановки цели до получения и оценки результата).

- Участие в организации и проведении учебно-исследовательской работы. Самостоятельное создание алгоритмов познавательной деятельности для решения задач творческого и поискового характера.

Информационные.

- Поиск нужной информации по заданной теме в источниках различного типа.

- Извлечение необходимой информации из текстов, таблиц, графиков.

- Отделение основной информации от второстепенной.

- Развернутое обоснование суждения, приведение обоснования (доказательства), примеров.

Коммуникативные.

- Владение навыками организации и участия в коллективной деятельности; восприятие иных мнений, объективное определение своего вклада в общий результат.

- Оценивание своего поведения в группе, выполнение требований в совместной практической деятельности.

- Умение отстаивать свою точку зрения.

- Развитие готовности к сотрудничеству.

Формы и методы контроля:

Контрольные задания предназначаются для выявления:

знания учащимися определений и формул;

умения делать выводы, находить нужное решение;

умения работать со справочной литературой;

умения решать нестандартные задачи.

В связи с этим используются следующие критерии отслеживания результатов:

нахождение изучаемого материала в данном тексте;

подбор примеров по памяти;

определение классической комбинаторики (размещения, перестановки, сочетания);

решение задач разного типа;

тестирование различного уровня сложности;

зачётные работы;

защита проекта по составлению авторских задач.

Способы записи выполняемой работы:

классификация комбинаторных задач;

составление авторских задач.

Ожидаемые результаты:

находить количество вариантов выбора некото­рого количества элементов из заданной совокупности, если выбор осуществляется с возвращением или без возвращения, если результаты выбора зависят отпорядка извлечения элементов или не зависят;

определять количество способов разбиения со­вокупности разных или одинаковых элементов на заданное число групп;

использовать простейшие комбинаторные схе­мы для вычисления вероятностей событий в клас­сической модели;

применять основные комбинаторные идеи длямоделирования реальных процессов и явлений.

Оценивание результата:

Отметка «5» ставится, если:

задание выполнено полностью;

в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов или ошибок;

в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

задание выполнено полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

допущена одна ошибка или два - три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

допущены более одной ошибки или более двух - трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Список литературы :

1. Макарычев Ю.Н. «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. пособие для учащихся 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк; под ред. С.А. Теляковского. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2012.

2. Спирина М.С., Спирин П. А. «Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач»- Москва: Академия, 2014

3. Афанасьев, В.В., Суворова, М.А. «Школьникам о вероятности в играх. Вве дение в теорию вероятностей для учащихся 8 – 11 классов» - Ярославль: Академия развития, 2006.

4. Журналы «Математика в школе» №6, №7 2004

5. Письменный, Д.Т. «Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам» - М.: Айрис-пресс, 2008.

Примерные виды задач:

1. Сколькими способами могут быть расставлены 8 учащихся дежурного класса на восемь постов в школе?

Решение: n=8;m=8;n=m; это- перестановка. =n!=8!=40320.

2. Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:

А) Олег должен находится в конце ряда

Б) Олег должен находиться в начале ряда, а Игорь – в конце ряда

В) Олег и Игорь должны стоять рядом.

Решение: n=7;m=7;n=m; это- перестановка.

А) Один элемент стоит на одном месте: 6!=720;

Б) Два элемента стоят на одном месте: 5!=120;

В) Склеивание двух элементов: 2◦6!=1440.

3. Учащиеся художественной школы изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?

Решение:

n=8;m=4;m≠n; порядок не важен; без повторений.

= =70.

4. На соревнованиях по лёгкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них пробежит в эстафете 4 на 100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: n=12; m=4;m≠n, порядок важен. ==9• 10 •11 •12=11880.

5. Издательство учебной литературы выпустило к новому учебному году 6 учебников математики и 5- физики. Сколько наборов из трёх учебников математики и двух- физики можно составить для выставки?

Решение: порядок не важен- это сочетания; по правилу умножения:

•= • =•=200.

6. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в каждом из которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля.

Решение: n=10; m=7;m≠n. Порядок важен, без повтора – это размещение. На первом месте нет нуля. Дерево вариантов: 1 место- 9 вариантов; 2 место- 9 вариантов; 3 место-8 вариантов; 4 место- 7вариантов; 5 место- 6 вариантов; 6 место- 5 вариантов; 7 место- 4 варианта. 9• 9• 8• 7• 6• 5• 4 =544320.

7. В одном районе 10 школ, из них 3 гимназии. Какова вероятность, что учащиеся одной из школ будут сдавать два экзамена в форме ОГЭ в гимназии?

Решение. Обычные школы-7; гимназии-3; экзаменов-2.

Р(А)= == ; где = =3; =1; = =45.

8. На полке стоит 22 книги: из них 10 книг на французском языке, 5 книг на английском и 7 произведений на немецком языке. Сколькими способами читатель может выбрать 2 книги на разных языках.

Решение. Англ. Нем. Англ. Франц. Франц. Нем.

5•7 + 5•10 + 10•7 = 155 способов.

9. Оля и Петя пишут диктант. Вероятность ошибки Оли 60%, а Пети 40%. Найти вероятность того, что и Оля и Петя напишут диктант без ошибок.

Решение: =0,6; =0,4

=1 - =1- 0,6=0,4; =1 - =1- 0,4=0,6.

Р( ∩ ) = = 0,4• 0,6=0,24.

10. Группа туристов, в которой 7 юношей и 4 девушки, выбирают по жребию четырёх дежурных. Какова вероятность того, что будут выбраны 2 юноши и 2 девушки?

Решение: Всего 11, выбирают 4. Порядок не важен. Это сочетания.

Р(А)== =, где

== = 330; == =6;= = = 21;

11. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, меньше 11?

Решение:

Событие А- сумма очков, выпавших на двух кубиках, меньше 11.

Событие В- сумма очков, выпавших на двух кубиках, не меньше 11.

Р(А)=1- Р(В); n=36,m=3; Р(В)== . Р(А)=1 - = .

12. Для украшения ёлки принесли коробку, в которой находятся 10 красных, 7 зелёных, 5 синих и 8 золотых шаров. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется:

А) красным

Б) золотым

В) красным или золотым?

Решение:

А)n=30, m=10; Р(А) = ;

Б)n=30, m=8; Р(А) = ;

В)n=30, m=18; Р(А) = =.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/213701-metodika-organizacii-proektnoj-dejatelnosti-v