Гиперкуб

Гиперкуб

Введение.

Для участия в научно-практической конференции я достаточно быстро определилась с выбором темы. Мне всегда было интересно узнавать что-то новое на уроках геометрии. При изучении пространственных фигур в трехмерном пространстве, мне стало интересно узнать про другие пространства и фигуры, которые в них есть.

Обычно мы видим предметы сверху или снизу от нас, или на одном уровне с нами, справа, слева, сзади от нас, или перед нами, всегда с одной стороны, обращенной к нам, и в перспективе. Наш глаз - крайне несовершенный аппарат: он даёт нам в высшей степени неправильную картину мира. То, что мы называем перспективой, есть, в сущности, искажение видимых предметов, производимое плохо устроенным оптическим аппаратом - глазом. Мы видим предметы искажёнными и точно так же представляем себе их. Но всё это - исключительно в силу привычки видеть их искажёнными, т.е. вследствии привычки, вызванной нашим дефектным зрением, ослабившим и нашу способность представления. Но, согласно Хинтону, у нас нет никакой необходимости представлять себе предметы внешнего мира непременно искажёнными. Способность представления вовсе не ограничивается способностью зрения. Мы видим предметы искажёнными, но знаем их такими, каковы они есть. Мы можем избавиться от привычки представлять предметы такими, каковы они нам видятся, и научиться представлять их себе такими, каковы они, как мы знаем, есть. 

Цель работы: рассмотреть более сложные измерения и аналогию квадрата в этих измерениях.

В соответствии с поставленной целью были определены задачи:

Исследовать, знают ли школьники про другие пространственные измерения и их фигуры.

Изучить пространственную фигуру Гиперкуб.

Объект исследования: пространственная фигура гиперкуб.

Предмет исследования: его элементы, свойства и проекции в различных измерениях.

Актуальность моей темы заключается в следующем: развитие способности представлять себе предметы со всех сторон - первый шаг к развитию способности видеть предметы такими, каковы они есть в геометрическом смысле,

Для того, чтобы узнать, знают ли современные школьники про другие пространственные измерения и их фигуры было проведеноанкетирование учащихся 10- 11 классов нашей школы.

-2-

Вопросы анкеты:

Сколько вы знаете пространственных измерений?

а) два(34%) б) три (62%) в) четыре(3%) г) бесконечно много(1%)

Какое из этих измерений наименьшее и как выглядит построенная в нем фигура?

а) затруднились ответить (98%) б) ответили верно (2%)

Каким, как вам кажется, критериям должны соответствовать более сложные пространства – что в них должно появиться нового в сравнении с трехмерным измерением, что должно усложниться?

а) усложнятся фигуры (95%) б) добавятся оси (2%) в) не знаю (3%)

Могут ли трехмерные и двухмерные фигуры существовать в четырехмерном пространстве?

а) да (30%) б) нет (24%) в) незнаю(46%)

Могут ли фигуры разных пространств пересекаться?

а) да (73%) б) нет (27%)

Было бы вам интересно научиться строить фигуры в других пространствах?

а) да (89%) б) нет (11%)

Как показало анкетирование, далеко не все школьники знают о существовании иных измерений, и при этом многие уверены, что фигуры этих измерений никак не могут пересекаться. Но несмотря на то, что школьники еще весьма смутно представляют себе четырех-, пяти- и n-мерные пространства, почти все проявили интерес к построению фигур в иных пространствах. Поэтому я ставлю себе целью продемонстрировать своим сверстникам на примере одной фигуры принцип построения аналогов других фигур в иных, более сложных, измерениях. Тем, кто уже изучает стереометрию и тем, кому это только предстоит, это должно помочь в осознании основного принципа построения объемных фигур.

-3-

Содержание:

Введение 2-3 стр.

Знакомство с иными измерениями

Фигуры в других измерениях 4 стр.

Гиперкуб 4-5 стр.

Построение гиперкуба в разных измерениях 6-7 стр.

Элементы гиперкуба 7-8 стр.

Проекции
2.1 Проекция на плоскость 9 стр.

Проекция на трехмерное пространство 10 стр.

Развертка гиперкуба 10 стр.

Гиперкуб в искусстве 10-11 стр.

Заключение 12 стр.

Список использованной литературы и интернет ресурсов 13 стр.

-1-

1.Знакомство с иными измерениями.

1.1Фигуры в других измерениях.

Существует ряд фигур, на примере которых можно рассмотреть принцип других измерений. Так же, как в двухмерном пространстве, с которым мы привыкли работать на уроках геометрии, можно выделить среди прочих фигур окружность, треугольник и квадрат, в иных пространствах существуют их аналоги:

Гиперсфера

Гипертетраэдр (симплекс)

Гиперкуб (тессеракт)

Каждая из этих фигур имеет аналоги в нескольких измерениях сразу, но я постараюсь рассказать вам о фигурах других измерений на примере гиперкуба – n-мерного куба.

1.2 Гиперкуб.

-4-

Обычный тессеракт в евклидовом четырёхмерном пространстве определяется как выпуклая оболочка точек (±1, ±1, ±1, ±1). Иначе говоря, он может быть представлен в виде следующего множества:

{\displaystyle [-1,1]^{4}\equiv \{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\,:\,-1\leq x_{i}\leq 1\}.}Тессеракт ограничен восемью гиперплоскостями  {\displaystyle x_{i}=\pm 1,\;i=1,2,3,4}пересечение которых с самим тессерактом задаёт его трёхмерные грани (являющиеся обычными кубами). Каждая пара непараллельных трёхмерных граней пересекается, образуя двумерные грани (квадраты), и так далее. Окончательно, тессеракт обладает 8 трёхмерными гранями, 24 двумерными, 32 рёбрами и 16 вершинами.

Четырёхмерный гиперобъём тессеракта со стороной, длина которой равна a рассчитывается по формуле: {\displaystyle V_{4}=a^{4}}

Объём гиперповерхности тессеракта можно найти по другой формуле:
{\displaystyle V_{3}(hypersurface)=8a^{3}}

Радиус описанной гиперсферы: {\displaystyle R=a}

Радиус вписанной гиперсферы: {\displaystyle r={\frac {a}{2}}}

В геометрии гиперкуб - это n-мерная аналогия квадрата (n = 2) и куба (n = 3). Это замкнутая выпуклая фигура, состоящая из групп параллельных линий, расположенных на противоположных краях фигуры, и соединенных друг с другом под прямым углом.

Эта фигура также известная под названием тессеракт (tesseract). Тессеракт относится к кубу, как куб относится к квадрату. Более формально, тессеракт может быть описан как правильный выпуклый четырехмерный политоп (многогранник), чья граница состоит из восьми кубических ячеек.

Согласно Окфордскому словарю английского языка, слово "tesseract" было придумано в 1888 Чарльзом Говардом Хинтоном (Charles Howard Hinton) и использовано в его книге "Новая эра мысли". Слово было образовано от греческого "τεσσερες ακτινες" ("четыре луча"), имеется в виде четыре оси координат. Кроме этого, в некоторых источниках, эту же фигуру называли тетракубом (tetracube).

-5-

1.3 Построение гиперкуба в разных измерениях

n-мерный гиперкуб также называется n-кубом.

Точка - это гиперкуб размерности 0.

.

Если сдвинуть точку на единицу длины, получится отрезок единичной длины - гиперкуб размерности 1.

Далее, если сдвинуть отрезок на единицу длины в направлении перпендикулярном направлению отрезка получится куб - гиперкуб размерности 2.

Сдвигая квадрат на единицу длины в направлении перпендикулярном плоскости квадрата, получается куб - гиперкуб размерности 3.

Этот процесс может быть обобщен на любое количество измерений. Например, если сдвинуть куб на единицу длины в четвертом измерении, получится тессеракт.

-6-

Семейство гиперкубов является одним из немногих правильных многогранников, которые могут быть представлены в любом измерении.

1.4 Элементы гиперкуба

Гиперкуб размерности n имеет 2n "сторон" (одномерная линия имеет 2 точки; двухмерный квадрат - 4 стороны; трехмерный куб - 6 граней; четырехмерный тессеракт - 8 ячеек). Количество вершин (точек) гиперкуба равно 2ⁿ (например, для куба - 2³ вершин).

Количество m-мерных гиперкубов на границе n-куба равно

Например, на границе гиперкуба находятся 8 кубов, 24 квадрата, 32 ребра и 16 вершин.

Различные гиперкубы

-8-

2. Проекция

2.1 Проекция на плоскость

Формирование гиперкуба может быть представлено следующим способом:

Две точки A и B могут быть соединены, образуя отрезок AB.

Два параллельных отрезка AB и CD могут быть соединены, образуя квадрат ABCD.

Два параллельных квадрата ABCD и EFGH могут быть соединены, образуя куб ABCDEFGH.

Два параллельных куба ABCDEFGH и IJKLMNOP могут быть соединены, образуя гиперкуб ABCDEFGHIJKLMNOP.

Последнюю структуру нелегко представить, но возможно изобразить ее проекцию на двухмерное или трехмерное пространство. Более того, проекции на двухмерную плоскость могут быть более полезны возможностью перестановки позиций спроецированных вершин. В этом случае можно получить изображения, которые больше не отражают пространственные отношения элементов внутри тессеракта, но иллюстрируют структуру соединений вершин, как на примерах ниже.

На первой иллюстрации показано, как в принципе образуется тессеракт путем соединения двух кубов. Эта схема похожа на схему создания куба из двух квадратов. На второй схеме показано, что все ребра тессеракта имеют одинаковую длину. Эта схема также заставляют искать соединенные друг с другом кубы. На третьей схеме вершины тессеракта расположены в соответствии с расстояниями вдоль граней относительно нижней точки. Эта схема интересна тем, что она используется как базовая схема для сетевой топологии соединения процессоров при организации параллельных вычислений: расстояние между любыми двумя узлами не превышает 4 длин ребер, и существует много различных путей для уравновешивания нагрузки.

-9-

2.2 Проекция на трехмерное пространство

Одна из проекций тессеракта на трёхмерное пространство представляет собой два вложенных трёхмерных куба, соответствующие вершины которых соединены между собой отрезками. Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трёхмерном пространстве, но в четырёхмерном пространстве это равные кубы. Для понимания равности всех кубов тессеракта была создана вращающаяся модель тессеракта.

Шесть усечённых пирамид по краям тессеракта — это изображения равных шести кубов. Однако эти кубы для тессеракта — как квадраты (грани) для куба. Но на самом деле тессеракт можно разделить на бесконечное количество кубов, как куб — на бесконечное количество квадратов, или квадрат — на бесконечное число отрезков.

2.3 Развертка гиперкуба

Тессеракт может быть развернут в восемь кубов, подобно тому как куб может быть развернут в шесть квадратов. Многогранник-равертка гиперкуба называется сетью. Существует 261 различных вариантов сетей.

3. Гиперкуб в искусстве

Гиперкуб появился в научно-фантастической литературе с 1940 года, когда Роберт Хайнлайн в рассказе "Дом, который построил Тил" ("And He Built a Crooked House") описал дом, построенный по форме развертки тессеракта. В рассказе этот дом сворачивается, превращаясь в четырехмерный тессеракт. После этого гиперкуб появляется во многих книгах и новеллах.

-10-

На картине Сальвадора Дали "Распятие" ("Crucifixion (Corpus Hypercubus)", 1954) изображен Иисус распятый на развертке тессеракта. Эту картину можно увидеть в Музее Искусств (Metropolitan Museum of Art) в Нью-Йорке.

-11-

Заключение

Гиперкуб - одна из простейших четырехмерных объектов, на примере которого можно увидеть всю сложность и необычность четвертого измерения. И то, что выглядит невозможным в трех измерениях, возможно в четырех, например, невозможные фигуры. Так, например, бруски невозможного треугольника в четырех измерениях будут соединены под прямыми углами. И эта фигура будет выглядеть так со всех точек обзора, и не будет искажаться в отличие от реализаций невозможного треугольника в трехмерном пространстве.

Развитие способности представлять себе предметы сразу со всех сторон уничтожает в представлениях субъективный элемент. Согласно Хинтону, «уничтожение субъективного элемента в представлениях приводит к уничтожению субъективного элемента в восприятии». Таким образом, развитие способности представлять себе предметы со всех сторон - первый шаг к развитию способности видеть предметы такими, каковы они есть в геометрическом смысле, т.е. к развитию того, что Хинтон называет «высшим сознанием»».

Наш мир не ограничен лишь тремя измерениями, и с осознанием этого факта приходит понимание того, сколькое нам еще нужно осознать, понять и изучить, ведь горизонты нашего мира год от года все шире, как и границы наших возможностей.

Поэтому я продемонстрировала своим сверстникам на примере одной фигуры принцип построения аналогов других фигур в иных, более сложных, измерениях. Тем, кто уже изучает стереометрию и тем, кому это только предстоит, это должно помочь в осознании основного принципа построения объемных фигур.

-12-

Список использованной литературы и интернет ресурсов:

Чарльз Говард Хинтон - Четвертое измерение" ("The Fours Dimension / Новая модель Вселенной, СПб, Изд-во Чернышёва, 1993 г.,  с. 91-93.

Чарльз Говард Хинтон - "Новая эра в мышлении" ("A New Era of Thought")

Интернет ресурсы:

получение из развертки (http://multator.ru/toon/gsaj1gfeel61)

Гиперкуб (http://im-possible.info/russian/articles/hypercube/index.html)

Программа Transformator4D. Формирование моделей трёхмерных проекций четырёхмерных объектов (в том числе и Гиперкуба). (http://damateur.narod.ru/t)

Программа, реализующая построение тессеракта и все его афинные преобразования, с исходниками на С++. (http://aa-shi.narod.ru/graphics/afin4d/)

Стереопара тессеракта с ребрами одинаковой длины. (http://elsper.ru/stereokartinki-giperkuby-stereo-giperkuby/)

-13

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/266463-giperkub