Квадратные уравнения

Тема урока: «Решение квадратных уравнений»

Тема урока: «Квадратные уравнения».

Тип урока: Урок-смотр знаний.

Цели урока:

Систематизировать и обобщить знания и умения учащихся по данной теме.

Учить учащихся применять теорему Виета для решения квадратных уравнений.

Активизировать мыслительную деятельность способных учащихся посредством практических заданий исследовательского характера и заданий повышенной сложности.

Контроль знаний и умений учащихся с целью выявления пробелов.

Работа со слабыми учащимися, используя карточки-тренажеры.

Ход урока.

I. Организационный момент. Постановка целей урока.

Сформулировать задачи для учащихся, работающих над индивидуальным заданием.

Практическое задание №1

1. С помощью подстановки убедитесь, что число 1 является корнем каждого из уравнений:

х²+15х-16=0 х²-17х+16=0 11х²-28х+17=0 200х²-23х-177=0

2. Используя теорему Виета, найдите второй корень для каждого уравнения.

3. Назовите коэффициенты этих уравнений. Установите: какая особенность коэффициентов  объединяет эти уравнения?

4. Сделайте вывод: чему равны корни квадратного уравнения, коэффициенты которого обладают таким свойством. Сформулируйте утверждение в форме: Если…, то….

5. Составьте подобное уравнение.

Практическое задание №2

1. С помощью подстановки убедитесь, что число  –1   является корнем каждого из уравнений 

х²-3х-4=0 х²+4х+3=0 15х²-31х+16=0 90х²-25х-115=0

2. Используя теорему Виета, найдите второй корень для каждого уравнения.

3. Проанализируйте коэффициенты этих уравнений. Установите: какая особенность коэффициентов  объединяет эти уравнения?

4. Сделайте вывод: чему равны корни квадратного уравнения, коэффициенты которого обладают таким свойством. Сформулируйте утверждение в форме: Если…, то….

5. Составьте подобное уравнение.

Вывод:

Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 сумма коэффициентов а + в + с = 0, то х1 = 1; х2 = .

Пример. 5х² - 8х +3 = 0

так как 5 – 8 + 3 = 0, то х1 = 1; х2 = 0,6

Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 выполняется равенство а + с = в, то х1 = -1; х2 = - .

Пример. 5х² + 8х +3 = 0

так как 5 + 3 = 8, то х1 = - 1; х2 = - 0,6

Учитель:Устно решить уравнения, применив «открытые» свойства.

х² – 17х - 18 = 0 100х² – 97х – 197 = 0

2х² – х – 3 = 0 5х² – х – 6 = 0.

14х² – 17х + 3 = 0

(Создать ситуацию успеха.  Важно для каждого ученика сформулировать индивидуальную учебную задачу, посильную и дающую стимул к саморазвитию. Предусмотрены карточки с индивидуальным заданием исследовательского характера, карточки для самоконтроля знаний и умений трех уровней на «3», «4», «5», карточки-тренажеры для учащихся со слабой подготовкой, дополнительное задание. Можно сразу указать в зависимости от степени сложности задания, какой оценке соответствует его выполнение.)

II.  Разминка. Активизация опорных знаний.

Вспомнить основные типы квадратных уравнений. Задание классу: Из имеющегося списка квадратных уравнений выпишите номера уравнений, принадлежащих определенному виду.

Х²-2х-3=0 3;-1

Х²-4х=0 0;4

2х²-7х+5=0 1;2,5

Х²-6х+5=0 5;1

2х²+5х-7=0 4;-3,5

Х²+х-6=0 -3;2

4х²-16=0 -2;2

Х²+7х=0 0;-7

Х²+х-2+0 -2;1

3х²-9х=0 0;3

Х²-7х+10=0 2;5

5х²=0 0

Х²+4=0 Ø

Возможны варианты:
Полные квадратные:  1,3,4,5,6,9,11.
Неполные квадратные: 2,7,8,10,12,13.
Приведенные: 1,4,6,9,11.
Неприведенные: 3,5.
С четным вторым коэффициентом: 1,4.

(Этот текст лучше будет на каждой парте в виде раздаточного материала, так как чтение его с доски будет затруднительно и утомительно для глаз.)

III.  Теоретическая эстафета. Проверка знаний учащихся. (см. Слайд 3,4,5)

Правила: следующий отвечающий определяется предыдущим учеником.

Вопросы для эстафеты:

 Дать определение квадратного уравнения.

 Всегда ли квадратное уравнение имеет корни? Отчего это зависит? Запишите формулу дискриминанта.

 Записать на доске формулу корней квадратного уравнения и с её помощью решить квадратное уравнение: №5.

 Какую особенность имеют уравнения со вторым четным коэффициентом. Запишите формулы для решения таких уравнений и с их помощью решите уравнение: №3.

(Вопросы формулируют сами учащиеся и они же определяют отвечающего на поставленный вопрос. В данной ситуации ученик чувствует поддержку товарища.)

IV. Обобщение и систематизация знаний.

На основе изложенного материала составим схему, классифицирующую квадратные уравнения.
 
  
V.   Историческая справка о квадратных уравнения.

(Использование на уроке странички с дополнительным материалом позволяет уделить несколько минут оздоровительным моментам. Учитель предлагает учащимся расслабиться, принять удобную позу, можно закрыть глаза, представить то, о чем рассказывает докладчик.)

«Квадратные уравнения в Индии».

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

«Квадратные уравнения в древнем Вавилоне».

Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э.  В их клинописных текстах встречаются не только неполные, но и полные квадратные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

«Квадратные уравнения в Европе».

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским ученым математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только по Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв.
Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов в, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г.  М. Штифелем.

VI. Теоретический опрос (продолжение). (см. Слайд 6)

Рассказать о решении неполных квадратных уравнений на примере уравнений №№ 2,7,8,12,13.

Сформулировать теорему Виета и ей обратную. Показать её применение на примере уравнения № 1,4,6,9,11.

 Учитель организует соревнование среди учащихся двух вариантов: Найти корни уравнения, используя теорему Виета. (см. Слайд 7,8)

(Организация соревновательного момента на уроке один из приемов активизации мыслительной деятельности учащихся, стремление быть первым стимулирует у учащихся познавательный интерес, снимает утомляемость от проделанной работы. Учащиеся по очереди подбегают к доске и записывают корни уравнения,  что позволяет им немного подвигаться по классу.)     

I вариант II вариант

х²-2х-24=0 х²+6х-16=0

х²-10х+24=0 х²+10х+16=0

х²+2х-24=0 х²-6х-16=0

х²+10х+24=0 х²-10х+16=0

х²-14х-24=0 х²-17х+16=0

VII. Решение задачи с помощью квадратного уравнения (на доске и в тетрадях).

 (Очень эффективно в работу включать жизненные ситуации, знакомые для учащихся, как, например, следующая задача.)

Задача:

Внук-восьмиклассник возвращается из школы:
- Дедушка, мы всем классом к Новому году решили обменяться фотографиями.
- Это хорошо. Память будет. Но это ж сколько карточек надо?
- А мы уже сосчитали – 650. Нас в классе…
- Подожди, не говори. Я сам сосчитаю.
Так сколько учеников в 8-м классе?

Решение: пусть х – число учеников в классе, тогда х-1 количество фотографий, отданных одним учеником. Всего фотографий х(х-1), а по условию 650. Составим уравнение.

Физминутка

VIII. Итоги исследовательской работы. Выводы записать в тетрадь.

IX. Контроль знаний и умений учащихся. (см. Слайд 4,5)

Самостоятельная работа по индивидуальным карточкам с разноуровневыми заданиями. В это время учитель работает с «сильными» учениками над дополнительным заданием. Слабые учащиеся работают с карточками-тренажерами.

I вариант:

1)Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения:

5х²-7х+2=0 D=(-7)²-4*5*2=49-40=…;

2) Решите уравнение:

а)2х²-9х-5=0

б)4х²-х+1=0

3)Найти подбором корни уравнения:

х²-5х+6=0

Для самоконтроля:

1)Дискриминант = а) 121, б)-15

2) а)-0,5; 5

б) корней нет

3)2;3

II вариант:

1) Вычислите дискриминант D квадратного уравнения и укажите число его корней:

5х²+19х-4=0

2) Решите уравнение:

2х²+5х+2=0

(-2;-0,5)

3)Догадайтесь, чему равны корни уравнения:

а) х²-7х+10=0

б) х²-1998х+1997=0

Указания: б)один из корней уравнения = 1

III вариант:

1) Решите уравнение:

А) 6х²-5х+1=0

Б)х²-4√2 х +4=0

Ответ: б) 2√2 -2; 2√2 +2

(Самостоятельная работа по индивидуальным карточкам, в которых присутствуют три уровня сложности, позволяют каждому ученику выбрать свой темп работы, психологически настроиться на ту оценку, которую он получит при выполнении данного задания. Антистрессовым моментом на уроке является стимулирование учащихся к использованию различных способов решения, без боязни ошибиться, получить неправильный ответ.) 

Дополнительное задание.

 X. Итоги урока. Выставление оценок.

(При оценке выполненной работы на уроке необходимо учитывать не только полученный результат, но и степень усердия ученика, поэтому я всегда стараюсь отметить каждого, дать анализ продуктивности урока. В конце нужно обсудить не только то, что усвоено, но выяснить, что понравилось на уроке, какие вопросы хотелось бы повторить, задания какого типа выполнить.)

 X!. Резерв урока.

Литературная страничка.

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова!
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе b, в знаменателе а.

(Математику относят к точным наукам, где нет места лирике, но среди математиков всегда было и есть много поэтов, стремящихся показать красоту этой древней науки в стихах.)

XII. Домашние задание.

Решить оставшиеся уравнения любым удобным способом.

(Прокомментировать домашнее задание, обратить внимание на возможные трудности при выполнении, дать необходимые рекомендации)

Литература.

Ю.Н. Макарычев, Г.Н. Миндюк и др. Алгебра 8 класс, изд. «Просвещение», Москва, 2011 г.

Миндюк М.Б., Миндюк Н.Г. Разноуровневые дидактические материалы по алгебре 8 класс, изд.дом «Генжер», Москва, 2008 г.

Ковалева Г.И. Поурочные планы, изд. «Волгоград», 2010 г.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/27958-kvadratnye-uravnenija