Объем призмы

ОБЪЕМ ПРИЗМЫ

Методическая разработка по геометрии

с использованием элементов

практического проектирования

Гаврилова Наталья Леоновна,

учитель математики

Актуальность

Данное пособие по геометрии имеет практическую направленность, дает возможность учащимся 10-11 классов самостоятельно вывести формулу объема призмы, а педагогу позволяет наглядно продемонстрировать тождественные преобразования стереометрических фигур.

Проблема

У большинства учащихся плохо развито пространственное восприятие геометрических тел, отсутствует логическая связь между условием задачи и способом ее решения

Гипотеза:

деятельность учащихся, предусмотренная в пособии, способствует формированию умения применять знания геометрии в жизни

Цель: 1. Развитие пространственных представлений о геометрических телах

2. Освоение способов вычисления объемов призм

3.Развитие логического мышления учащихся и творческого

подхода к решению пространственных задач

4.Развитие навыков составления плана действий

Задача:

Научить учащихся решать задания на вычисление объемов различных призм путем трансформирования их к прямоугольному параллелепипеду.

Содержание:

1. Краткая информация об объемах

2. Известный факт – объем прямоугольного параллелепипеда

3. Постановка проблемы: вывести формулу объема произвольной призмы с опорой на объем прямоугольного параллелепипеда

4. Учебно-развивающий тренажер

5. Выводы

6.Контрольная работа

Определение объема:

- ОБЪЕМ: вообще величина, количество (Большой о. работ. О.информации. О.знаний).

- ОБЪЕМ: величина чего-нибудь в длину, высоту и ширину, измеряемая в кубических единицах (О. пирамиды. О. здания)

Ожегов С.И.

ОБЪЁМ, а, м.

Величина в длину, ширину и высоту какого-н. тела с замкнутыми поверхностями, измеряемая в кубических единицах. (О. шара. О. комнаты равен 140 куб. метрам. О. воды увеличивается при нагревании)

Величина, размеры.(Книга небольшого объема. О. капитальных вложений в промышленность). || Содержание чего-н. с точки зрения величины, размеров, количества содержащегося. (О. работ. О. знаний. Поставить проблему во всем объеме). ◊ Объем понятия (филос.) — в формальной логике: совокупность признаков, включенных в понятие.

Ушаков Д.Н.

Объем – это неотрицательная аддитивная функция трехмерных геометрических тел, не меняющая своего значения при движении тела и равное 1 на единичном кубе

Толковый математический словарь

ОБЪЕМ, одна из количественных характеристик геометрических тел. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его сторон (длины, ширины и высоты), а объем ступенчатого тела (тела, которое можно разбить на несколько примыкающих друг к другу прямоугольных параллелепипедов) равен сумме объемов составляющих его параллелепипедов. Для любого тела объем определяется как общий предел вписанных в него или описанных около него ступенчатых тел.

Большой энциклопедический словарь

Б

Задача измерения объемов состоит в том, чтобы каждому геометрическому телу поставить в соответствие положительное число V, называемое его объемом, так, чтобы выполнялись условия: Энциклопедический

объем единичного куба равен 1

равные тела имеют равные объемы

если тело разбить на несколько тел, любые два из которых не имеют общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов составляющих его тел.

Многогранник, у которого две грани – равные n–угольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные – параллелограммы, называется призмой.

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Параллелепипед, все грани которого прямоугольники -прямоугольный параллелепипед.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений – длины a, ширины b, высоты h.

Т.к. прямоугольный параллелепипед является частным случаем призмы, мы можем предположить, что объем призмы можно определить по такой же формуле

при условии, что каждую призму можно преобразовать в прямоугольный параллелепипед.

Чтобы подтвердить или опровергнуть данное предположение, рассмотрим следующие случаи:

(индивидуальная работа учащихся выполняется при помощи упражнений – тренажеров, разработанных в программе Visual Basic)

А) Прямой параллелепипед: основания – параллелограммы, а боковые грани – прямоугольники (Тренажер – Упражнение №1)

З

Рис.1

Рис.2

Рис.2

Рис.3

Б) Прямая треугольная призма: основания – треугольники, боковые грани- прямоугольники (Тренажер – Упражнение №2)

Задание: достроить призму до прямоугольного параллелепипеда

В) Наклонный параллелепипед: все грани – параллелограммы (Тренажер – Упражнение №3)

Задание: преобразовать наклонный параллелепипед в прямой

, где - боковое ребро параллелепипеда, а - угол наклона бокового ребра к плоскости основания

Г) Прямая призма: основание – трапеция (произвольный многоугольник), боковые грани - прямоугольники (Тренажер – Упражнение №4)

Задание: разделить призму на параллелепипед и треугольную призму

Д) Наклонная призма: основание – треугольник, боковые грани - параллелограммы (Тренажер – Упражнение №5)

Задание: преобразовать треугольную наклонную призму в прямой параллелепипед

В наклонной призме высота определяется по формуле , где

- длина бокового ребра, - угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

Уточнение. В каждом конкретном случае площадь основания считается по отдельной формуле

где: a,b,c – длины сторон многоугольника, взятых последовательно; - высота, проведенная к стороне ; - угол между соседними сторонами; - диагонали; - угол между диагоналями.

Для правильных многоугольников (все углы которого равны между собой, и все стороны имеют равные длины) можно использовать следующую универсальную формулу:

,где - количество сторон многоугольника.

Выводы:

Любую призму можно представить как объединение параллелепипедов и (или) треугольных призм, которые, в свою очередь, могут быть преобразованы в прямоугольные параллелепипеды.

Объем любой призмы можно вычислить по формуле:

К онтрольная работа по теме: «Объем призмы»

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/297300-obem-prizmy