Сборник практических занятий по разделу «Геометрия на плоскости»

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

«Бугурусланский нефтяной колледж» г. Бугуруслана Оренбургской области

Методические рекомендации

по выполнению практических занятий

раздел 2 Геометрия

Тема 2.1 Геометрия на плоскости

Разработчик (и):

Шаляпина О.Р. - преподаватель математики первой квалификационной категории ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области

г. Бугуруслан, 2018 г.

Содержание

.

ПЗ 37

Тема: Вычисление элементов треугольника

Цель: научиться вычислять элементы треугольн6ика

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал:

Необходимо знать.

R

о

2) Теорему косинусов:

B C

3) Теорему синусов:

4) Против большей стороны лежит больший угол, против меньшей стороны лежит меньший угол.

5) Формулы приведения:

Sin(180° - ) = sin cos (180° - ) = -cos

Sin(90° + ) = cos cos (90° + ) = -sin

6) Основное тригонометрическое тождество:

0 ≤ ≤ 180°

0 < sin≤ 1

-1 < cos< 1

7) Умение работать с таблицей Брадиса; 9) Тригонометрические функции углов.

8) Теорема Пифагора.

Приведем пример решения задачи:

Задания для выполнения

При выполнении заданий требуется записать полное решение. В ответ указать букву варианта ответа. За каждое правильно выполненное задание выставляется 1 балл.

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

6 баллов – «5»

4 балла - «4»

3 балла – «3»

ПЗ 38

Тема: Вычисление площади треугольника различными способами

Цель: научиться вычислять площади треугольника различными способами.

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал:

Приведем пример решения задачи:

Пример. Стороны треугольника равны 3, 5, 6 см. Найти площадь треугольника.

Решение: Применим формулу Герона, для этого сначала найдем полупериметр

Подставляем в формулу площади

Ответ: 7.48.

Задания для выполнения

При выполнении заданий требуется записать полное решение. Ответом является целое число или десятичная дробь. За каждое правильно выполненное задание выставляется 1 балл.

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

5 баллов – «5»

3 балла - «4»

2,5 балла – «3»

ПЗ 39

Тема: Вычисление углов внутри и вне окружности

Цель: научиться вычислять углы внутри и вне окружности.

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал:

Если на окружности отметить две точки, они разделят окружность на две дуги.

Есть несколько способов того, как различать по названию, которую из дуг имеем в виду. Один из них — использовать в названии маленькие буквы латинского алфавита: ∪AnB. Также можно поставить дополнительную точку и в названии в качестве третьей буквы использовать название точки — большую букву латинского алфавита.

У каждой дуги есть градусная мера. Сумма градусных мер двух дуг с общими концами равна 360°. Если отрезок, соединяющий концы дуги, является диаметром окружности, то дугу называют полуокружностью. Градусная мера полуокружности равна 180°.

Центральный угол и вписанный угол

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Градусная мера центрального угла равна градусной мере соответствующей дуги окружности:

∡AOB=∪AB.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:

∡ACB=12∪AB.

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, равен 90°.

Свойство пересекающихся хорд окружности

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков второй хорды.

Это свойство легко доказать, дополнив рисунок и рассмотрев подобиеΔCKA∼ΔBKD.

Треугольники подобны, потому что имеют равные углы: ∡1 — вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, ∡2 — вертикальные углы.

Если AKKD=CKKB, то AK⋅KB=CK⋅KD.

Приведем пример решения задачи:

Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключенные между секущими, равны 140° и 52°.

Дано:

Решение:

Ответ: 44°.

Задания для выполнения

Выполнить тест. В ответ укажите венную, по вашему мнению, букву (например, 1-а, 3-b). За прохождение теста дается 7 баллов, т.е. по 1 баллу за каждый верный ответ.

Вопрос № 1 

Продолжите предложение: 
Центральным углом окружности называется

угол с вершиной, лежащей на окружности и одна сторона проходит через центр окружности

угол с вершиной в центре окружности

дуга окружности 

Вопрос № 2 

Продолжите предложение: 
Вписанным углом в окружность называется

угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны пересекают окружность

угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность

угол, вершина которого лежит внутри окружности, а стороны пересекают окружность

угол, вершина которого лежит вне окружности, а стороны пересекают окружность

Вопрос № 3 

Выберите верные утверждения

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере центрального угла

Градусная мера дуги окружности больше градусной меры центрального угла

Градусная мера дуги окружности в два раза больше градусной меры вписанного угла, на которую он опирается

Градусная мера вписанного угла равна градусной мере дуги на которую он опирается

Вписанный угол измеряется половиной центрального угла

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность развернутый

Вопрос № 4 

Найдите вписанный угол АВС, если дуга на которую он опирается, равна 48

48

69

24

84

Вопрос № 5 

Найдите градусную меру центрального угла, если дуга на которую он опирается равна 136

78

136

87

100

Вопрос № 6 

Найдите градусную мерй вписанного угла, если ему соответствующий центральный угол равен 129

258

180

64,5

64

Вопрос № 7 

Чему равен вписанный угол АСВ, если вписанный угол АДВ равен 99

99

49,5

81

91

198

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

10 баллов – «5»

8 баллов - «4»

7 баллов – «3»

ПЗ 40

Тема: Вычисления с помощью геометрических мест

Цель: Повторить, обобщить и и проверить знания по теме: “Метод геометрических мест”; выработка основных навыков

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал:

Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством (П. с. 61).

Основные ГМТшкольного курса планиметрии:

1. Окружность: гмт плоскости, обладающих свойством равноудалённости от данной точки

2. Биссектриса неразвёрнутого угла: гмт плоскости, равноудалённых от сторон угла

3. Серединный перпендикуляр к отрезку: гмт плоскости, равноудалённых от концов отрезка

4. Две прямые, параллельные данной и отстоящие от неё на h: гмт плоскости, удалённых от данной прямой на данное расстояние.

Сущность метода: задачу сводят к нахождению точки обладающей двумя свойствами, вытекающими из требования задачи.

Приведем пример решения задачи:

Постройте треугольник по стороне и проведённым к ней медиане и высоте.

Анализ. План построения.

1. АВ.

2. М – середина АВ.

3. Окр. (М, т_с).

4. Прямая р, параллельная АВ

и отстоящая от неё на h_c.

5. C.

6. DABC – искомый.

Задания для выполнения

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

4 балла – «5»

2 балла - «4»

1 балл – «3»

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение

«Бугурусланский нефтяной колледж» г. Бугуруслана Оренбургской области

Методические рекомендации

по выполнению практических занятий

раздел 2 Геометрия

Тема 2.1 Геометрия на плоскости

Разработчик (и):

Шаляпина О.Р. - преподаватель математики первой квалификационной категории ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области

г. Бугуруслан, 2018 г.

Содержание

.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине ОДП. 14 «Математика» являются частью программы ГАПОУ "БНК" г. Бугуруслана Оренбургской области по подготовке квалифицированных рабочих, служащих, разработанной в соответствии с требованиями федерального компонента государственного образовательного стандарта.

Методические рекомендации являются частью учебно-методического комплекта по дисциплине и содержат основные задачи темы 2.1 Геометрия на плоскости (по учебникам Л.С. Атанасяна «Геометрия» и М.И.Башмакова «Математика»), теоретический обзор, указания по выполнению работы, что позволяет повторить тему, по которой выполняется работа, эффективно организовать работу студентов. Указан перечень оборудования и материалов для получения заданных результатов. В разработке имеются необходимые схемы, справочные сведения.

Сборник заданий составлен в соответствии с программой курса математики ГАПОУ «БНК» (профильный уровень). На каждом занятии предлагаются разноуровневые задания. Задания повышенной сложности отмечены , как дополнительные.

Для каждого задания используется система оценивания, которая будет озвучена преподавателем перед практическим занятием

По окончанию работы оформляется отчет, в котором указывается то, чего студент не смог выполнить и отметку, которую заслужил.

Внимание! Если во время проведения практической работы по дисциплине, вы пропустили занятия без уважительной причины вы можете отработать пропущенное занятие на консультациях, которые проводятся согласно графику. Время проведения консультаций Вы сможете узнать у преподавателя, а также познакомившись с графиком их проведения, размещенном на двери кабинета преподавателя.

ПЗ 41

Тема: Применение аксиом стереометрии и их следствий

Цель: повторить, обобщить и проверить знания по теме: “Метод геометрических мест”; выработка основных навыков

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: 1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

2. Геометрия, 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2005.– 206 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал

Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.
А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Задания для выполнения:

1. Перечертить кроссворд в тетрадь. Заполнить его. (15 баллов)

По горизонтали:

1. Тело, ограниченное конечным числом многоугольников.
2. Ограниченная замкнутая область в пространстве.
3. Буква.
4. Часть геометрии, в которой изучаются свойства фигур в пространстве.
5. Ситуация, в которой требуется найти решение.
6. Комплект приемов и операций, необходимых для решения задачи.
7. Часть геометрии, в которой изучаются свойства фигур, расположенных в одной плоскости.
8. Логическое рассуждение, обосновывающее или опровергающее какое-либо утверждение.

По вертикали:

1. Наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
2. Утверждение, которое принимают за одно из основных положений теории.
3. Математическая модель конфликтной ситуации.
4. Предложение, истинность которого устанавливается при помощи доказательства.
5. Простейший объект геометрии, характеризуемый только его положением.
6. Операция.
7. Одно из основных понятий математики.

2. Дополнительное задание

Решить задачу (1 балл):

А1. Пользуясь изображением на рисунке 1, назовите:

а) точку пересечения прямой AD с плоскостью DD₁C;

б) линию пересечения плоскостей ADD₁ и D₁CD.

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

16 баллов – «5»

14-15 баллов - «4»

12-13 баллов – «3»

ПЗ 42

Тема: Применение признака параллельности прямой и плоскости

Цель: повторить, обобщить и проверить знания по теме: “Признак параллельности прямой и плоскости”; выработка основных навыков

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: 1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

2. Геометрия, 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2005.– 206 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек (а ||  )

Признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Замечания.

Выводы.
Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:
а) прямая лежит в плоскости;
б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;
в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Приведем пример решения задачи:

1. Построить параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и найти пары:

1) параллельные прямые к АВ; 2) скрещивающиеся прямые к ВС.

Р ешение:

1).A₁B₁,CD и C₁D₁; 2) А₁В₁ и D₁C₁,AA₁ и DD₁

2. Точка М лежит на середине ребра AD тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию АВС.

Решение:

Т.к. секущая плоскость проходит параллельно основанию => отрезки параллельных плоскостей будут параллельны по свойству параллельности плоскостей ( 1°. Если 2-е параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения будут параллельны).

1. Построим через т. М, MNǁАВ.

2. Построим через т. N,NKǁВС.

3. Соединим МК по 2*.

4.MNK - искомое сечение.

3. Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Докажите, что основания трапеции параллельны плоскости α.

Дано:

ABCD - трапеция

MN - средняя линия трапеции, MN ⊂α.

Доказать: ВСǁα, ADǁα.

Д оказательство:

Т.к.MN - средняя линия трапеции, то по свойству средней линии MNǁAD,MNǁВС =>

ВСǁα,ADǁα по признаку параллельности прямой и плоскости ( Признак ( - ти прямой и плоскости): Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости).

ч.т.д.

4. Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что m и АС - скрещивающиеся прямые.

Дано:

ABCD - ромб

mǁBD,m⊄α.

Доказать: m∸АС.

Д оказательство:

Т.к. прямая mǁBD => mǁABCD по признаку параллельности прямой и плоскости. По определению параллельных прямых m и BD лежат в одной плоскости, а т.к. АСBD в точке не лежащей на прямой m, то по признаку скрещивающихся прямых, m∸АС ( Признак (∸ прямых): Если одна из 2-х

прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке,

не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся).

ч.т.д.

5. Дан тетраэдр SABC. Точки M,N и K - середины ребер DA,DB и DC. Доказать, что плоскость MNKǁABC.

Дано:

SABC - тетраэдр

ТочкиM,N и K - середины ребер DA,DB и DC.

Доказать: MNKǁABCD.

Доказательство:

Т.к. точки M,N и K - середины ребер DA,DB и DC => MN,NK и MK - средние линии

ΔDAB, ΔDBC и ΔADC соответственно. По свойству средней линии треугольника MNǁAB,

NKǁBC и MKǁAC. По признаку параллельности плоскостей,MNKǁABCD ( Признак (ǁ - ти плоскостей): Если две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся другой плоскости, то эти плоскости параллельны).

ч.т.д.

Задания для выполнения (5 баллов)

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

5 баллов – «5»

4 балла - «4»

3 балла – «3»

ПЗ 43

Тема: Применение признака параллельности двух плоскостей

Цель: повторить, обобщить и проверить знания по теме: “Признак параллельности двух плоскостей”; выработка основных навыков

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: 1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

2. Геометрия, 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2005.– 206 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал

Как известно из аксиом стереометрии, если плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит две плоскости или пересекаются или не пересекаются.

Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Параллельные плоскости α и β обозначаются α∥β

Пример:

Любая конструкция с полом, потолком и стенами даёт нам представление о параллельных плоскостях - пол и потолок как две параллельные плоскости, боковые стены как параллельные плоскости.

Признак параллельности плоскостей.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

Пусть α и β - данные плоскости, a1 и a2 – пересекающиеся прямые в плоскости α, а b1 и b2 соответственно параллельные им прямые в плоскости β.

Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой c.

Прямая a1 параллельна прямой b1, значит она параллельна и самой  плоскости β.

Прямая a2 параллельна прямой b2,  значит она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).

Прямая c принадлежит плоскости α, значит хотя бы одна из прямых a1 или a2 пересекает  прямую c, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β,  значит, пересекая прямую c, прямая a1 или a2 пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β.

Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть они параллельны. 

Свойства параллельных плоскостей.

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны. 

Доказательство.

Пусть α и β - параллельные плоскости, а γ- плоскость, пересекающая их.

Плоскость α пересекается с плоскостью γ по прямой a.  

Плоскость β пересекается с плоскостью γ по прямой b. 

Линии пересечения a и b лежат  в одной плоскости γ и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны. 

Доказательство.

Пусть α и β - параллельные плоскости, а a и b – параллельные прямые, пересекающие их.

Через прямые a и b можно провести плоскость - эти прямые параллельны, значит определяют плоскость, причём только одну.

Проведённая плоскость пересекается с плоскостью α по прямой AB, а с плоскостью β по прямой CD. 

По предыдущей  теореме прямые AB и CD параллельны. Четырехугольник ABCDесть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть BC=AD.

Задания для выполнения

Вариант 1.

Задание №1: Даны параллельные плоскости . Через точки А и В плоскости проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках и . Найдите , если АВ = 12 см.

(10 баллов)

Задание №2: Две плоскости параллельны между собой. Из точки М, не лежащей ни в одной из этих плоскостей, ни между плоскостями, проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно в точкахи , и . Известно, что М= 6 см, = 8 см, = М . Найдите Ми М .(10 баллов)

Задание №3: Основанием параллелепипеда АВСD является ромб АВСD.

Постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В, D и середину К ребра .

Какой геометрической фигурой является построенное сечение? Ответ обоснуйте.

Найдите периметр сечения, если ВD=18 см, DК=20 см. (10 баллов)

Контрольные вопросы:

Признак параллельности прямой и плоскости:

Существует 2 случая расположения двух плоскостей:

Плоскости пересекаются, если…

Плоскости параллельны, если…

Признак параллельности двух плоскостей:

Свойства параллельных плоскостей:

Вариант 2.

Задание №1: Отрезки АВ и СD параллельных прямых заключены между параллельными плоскостями. Найдите АВ, если СD = 15 см.

(10 баллов)

Задание №2: Две плоскости параллельны между собой. Из точки М, не лежащей ни в одной из этих плоскостей, ни между плоскостями, проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно в точкахи , и . Известно, что М= 3 см, = 9 см, = М . Найдите Ми М .

(10 баллов)

Задание №3: Основанием параллелепипеда АВСD является ромб АВСD.

Постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки , и середину Р ребра В .

Какой геометрической фигурой является построенное сечение? Ответ обоснуйте.

Найдите периметр сечения, если =16 см,Р=22 см.

(10 баллов)

Контрольные вопросы:

Признак параллельности прямой и плоскости:

Существует 2 случая расположения двух плоскостей:

Плоскости пересекаются, если…

Плоскости параллельны, если…

Признак параллельности двух плоскостей:

Свойства параллельных плоскостей:

Критерии оценки

ПЗ 44

Тема: Построение сечений плоскостью

Цель: повторить, обобщить и проверить знания по теме: “Метод геометрических мест”; выработка основных навыков

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: 1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

2. Геометрия, 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2005.– 206 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал

Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.

Данный материал характеризуется следующим особенностями:

Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.

В задачах используются в основном простейшие многогранники.

Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования.

Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:

что значит построить сечение многогранника плоскостью;

как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;

как задается плоскость;

когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.

Поскольку плоскость определяется:

тремя точками;

прямой и точкой;

двумя параллельными прямыми;

двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

Существует три основных метода построения сечений многогранников:

Метод следов.

Метод вспомогательных сечений.

Комбинированный метод.

Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;

построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;

построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Приведем пример решения задачи

Построить сечение куба ABCDEHGF(рис.1) плоскостью проходящей через точки J,K,M его рёбер.

Построение

Задания для выполнения:

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

13 баллов – «5»

11-12 баллов - «4»

9-10 балла – «3»

ПЗ 45

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости

Цель: повторить, обобщить и проверить знания по теме: “Перпендикулярность прямой и плоскости”; выработка основных навыков

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: 1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

2. Геометрия, 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2005.– 206 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90^o.

Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Замечания.

Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная.

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.

Приведем пример решения задач:

1. Точки А,М, и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α. Какие из следующих углов являются прямыми: ∠АОВ,∠МОС и ∠DАМ

Р ешение:

ОВ⊂α, ∠АОВ=90° (т.к. а⊥α)

ОС⊂α, ∠МОС=90° (т.к. а⊥α)

DА⊄α, ∠МОС≠90°.

Ответ: ∠АОВ, ∠МОС - прямые.

2. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 8,9 и 12.

Р ешение:

Пусть а=8, b=9 и с=12

Используя Т₅, получаем d²=8²+9²+12²=64+81+144=289,

тогдаd= .

Ответ:d=14.

3. В тетраэдр DАВС все ребра равны. Построить (найти) линейный угол двугранного угла ∠DАСВ.

Построение:

1. Проведем в плоскости ADC => DM⊥АС

2. Проведем в плоскости АВС => ВМ⊥АС

3. ∠DMB - линейный угол двугранного угла ∠DАСВ.

4. В прямоугольном параллелепипедеABCDA₁B₁C₁D₁ определить вид ΔА₁DC.

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед

О пределить:вид ΔА₁DC

Решение:

Т.к.ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный параллелепипед, тогда

∠ADC=90°, т.е. DC⊥AD ( где AD - проекция наклонной A₁D). По теореме о 3-х ⊥ - рах . DC⊥A₁D => ΔА₁DC - прямоугольный.

Ответ: ΔА₁DC - прямоугольный.

5. Ч ерез вершину А равностороннего треугольника АВС проведена прямая АD, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки D до прямой ВС, если AB=AC=BC=6 см, а АD=13 см.

Дано:

ΔABC - равносторонний, AB=AC=BC=6 см

АD⊥ΔАВС, АD=13 см

Найти: ρ(D,ВС)

Решение:

ПроведемDK⊥BC, тогда по теореме о 3-х ⊥- рах АК⊥ВС => ρ(D,ВС)=DK.

НайдемDK из ΔADK-прямоугольный (т.к. AD⊥ ΔАВС) по теореме Пифагора: DK= , DA=13 см, АК - ?

Найдем АК из ΔАВК, АК - высота (т.к. АК⊥ВС), а в равностороннем треугольнике и медиана, и биссектриса, а значит ВК=

По теореме Пифагора АК=см => DK=

Ответ: ρ(D,ВС)=14 см.

Задания для выполнения

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

5 баллов – «5»

4 балла - «4»

3 балла – «3»

ПЗ 46

Тема: Применение теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости

Цель: повторить, обобщить и проверить знания по теме: “Теорема о перпендикулярности прямой и плоскостиёё”; выработка основных навыков

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: 1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

2. Геометрия, 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2005.– 206 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал

Прямая, пересекающая плоскость, называетсяперпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. 
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. 
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Задания для выполнения

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

5 баллов – «5»

4 балла - «4»

3 балла – «3»

ПЗ 46

Тема: Применение теоремы о перпендикуляре и наклонной

Цель: повторить, обобщить и проверить знания по теме: “Перпендикуляр и наклонная”; выработка основных навыков

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: 1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

2. Геометрия, 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2005.– 206 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости,  не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

AB - наклонная.
B - основание наклонной  

Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

 Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

AC - перпендикуляр.

C - основание перпендикуляра. 

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

CB - проекция наклонной AB на плоскость α.

Треугольник ABC прямоугольный.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.

∢CBA - угол между наклонной AB и плоскостью α.

Если AD>AB, то DC>BC

Если из данной точки к данной плоскости провести несколько наклонных, то большей наклонной соответствует большая проекция.

∢DAB - угол между наклонными
∢DCB - угол между проекциями
Отрезок DB - расстояние между основаниями наклонных.

Приведем пример решения задач

Задача 1

Из точки К, на расстоянии 9 см, к плоскости опущен перпендикуляр КС и проведена наклонная КМ, равная 15 см.

Найти проекцию наклонной. ( Устно, менять условие, найти наклонную, найти перпендикуляр)

Решение:

Р ассмотрим прямоугольный треугольник КСМ: (КС-перпендикуляр, по условию), по теореме Пифагора:

=12 (см)

Ответ: Проекция наклонной МС=12 см.

Задача2

К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 8 см, наклонная с плоскостью образует угол 60°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка B.

Р

В

р асстояние от точки В до плоскости перпендикулярно АО. Следовательно угол В=30 , а АО =4 см, как катет лежащий против угла в 30 .

По теореме Пифагора:

В= (см)

Ответ: 4 см.

Задача 3

АВ перпендикулярно плоскости α. Наклонная AС  образует с плоскостью α , угол 60, а наклонная АD равна . Длина проекции наклонной ВD равна 2 см.

Вычисли длину наклонной АС.

Решение:

А

В

С

D

Рассмотримо теореме Пифагора: ;

АВ= .

Угол АСВ = 60 (по условию), следовательноСАВ=30 .

Рассмотрим, ;

АС = ;

АС = 2.

Ответ: 2см.

Задача 4

Отрезок АB длиной 6 м, пересекает плоскость β в точке O. Расстояние от концов отрезка до плоскости соответственно равны 3 м и 6 м. Найди острый угол, который образует отрезок АB с плоскостью β.

О

Решение:

Пусть АО=х, тогда ОВ= .

подобен (угла при вершине О, равны как вертикальные, углы Р и К , равны 90 .

;

;

;

Рассмотрим

sinРАО =

Задания на выполнение

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

3 баллов – «5»

2 балла - «4»

1 балл – «3»

Практическое занятие 48

Тема: Применение теоремы о трех перпендикулярах

Цель: повторить, обобщить и проверить знания по теме: “Теорема о трех перпендикулярах”; выработка основных навыков

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: 1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

2. Геометрия, 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2005.– 206 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. 

Справедлива также обратная теорема:

Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Из вершины S к плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр BS и наклонные SA, SC и SD.

Назови все прямоугольные треугольники с вершиной S, обоснуй свой ответ.

Рисунок:

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

4 балла – «5»

2-3 балла - «4»

1 балл – «3»

Практическое занятие 49

Тема: Применение теоремы о трех перпендикулярах

Цель: повторить, обобщить и проверить знания по теме: “Теорема о трех перпендикулярах”; выработка основных навыков

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: 1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

2. Геометрия, 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2005.– 206 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Задания для выполнения

В каком из чертежей MABD? Докажите (1 балл).

3) 4)

4. Решить задачу (2 балла)

Через вершину А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая АD, перпендикулярная к плоскости треугольника. 

а) докажите, что треугольник СВD прямоугольный.

б) найдите ВD, если ВС = а, DС = b. 

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

5 баллов – «5»

3-4 балла - «4»

2 балла – «3»

Практическое занятие 50

Тема: Применение понятия на угол между прямой и плоскостью

Цель: повторить, обобщить и проверить знания по теме: “Угол между прямой и плоскостью”; выработка основных навыков

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: 1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

2. Геометрия, 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2005.– 206 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал

А лгоритм нахождения угла между прямой и плоскостью

Задания для выполнения

Перечертить чертеж в тетрадь. Выполнить построение. (5 баллов)

АА₁ (АВС). Найдите угол между СB₁ и (АА₁С₁).

B D (АВС). Найдите угол между CD и (ABD).

3)АА₁ (АВС). Найдите углы между

4)BF (АВС). Найдите угол между

Дополнительное задание.

Решить задачу. Выполнить построение. ( 1 балл)

5. Сторона основания правильной призмыАВСА₁В₁С₁равна, боковое ребро равно . Найдите синус угла между прямой СВ₁и плоскостью боковой грани (АА₁С₁).

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

5 баллов – «5»

4 балла - «4»

3 балла – «3»

Практическое занятие 51

Тема: Применение понятия двугранного угла

Цель: повторить, обобщить и проверить знания по теме: “Угол между прямой и плоскостью”; выработка основных навыков

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: 1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

2. Геометрия, 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2005.– 206 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал

Двугранный угол - это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Если в пространстве пересекаются две плоскости, получаются четыре двугранных угла (аналогично как при пересечении двух прямых получаются четыре угла). Рассмотрим один из них.

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его  гранями.

Общая прямая a этих граней называется ребром двугранного угла.

Выберем на ребре a двугранного угла произвольную точку C и проведём две пересекающиеся прямые AC⊥a и BC⊥a, а через эти прямые плоскость γ перпендикулярно ребру a.

Линии пересечения AC и BC полуплоскостей α и β с плоскостью γ образуют некоторый угол ∡ACB. Этот угол называется  линейным углом двугранного угла . Величина линейного угла не зависит от выбора точки C  на ребре a .

Обрати внимание!

Величина двугранного угла  0°< ∡ACB <180°.

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению.

Если при пересечении плоскостей один из двугранных углов 90°, то три остальные углы тоже 90°. Эти плоскости называют перпендикулярными.

Следующие теоремы, которые здесь приведём без доказательств, могут пригодится при решении задач.

1. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

2. Плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей.

3. Если две плоскости перпендикулярны и в одной из них проведена прямая перпендикулярно линии пересечения плоскостей, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

Многогранные углы.

Объясним понятие многогранных углов.

Представим несколько лучей в пространстве с общим началом. Их можно представить тоже как часть линий пересечения плоскостей - трёх, четырёх или больше и назвать рёбрами многогранного угла.

 Трёхгранный угол

 Четырёхгранный угол

 Пятигранный угол

Каждые два луча образуют угол, который называют плоским углом многогранного угла.

Обрати внимание!

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

Сумма плоских углов многогранного угла меньше 360°.

Приведем пример решения задачи

Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°.

Отрезки АС и ВD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла.

Найдите отрезок СD, если АВ = АС = ВD = а.

Дано: ∠САВD= 120°,  

АС ⊥ АВ,  АС ⊂ α,

BD ⊥ АВ,  BD ⊂ β,

АВ = АС = ВD = а.

Найти: СD.

Рис. 2

Решение:

Здесь дан тупой двугранный угол, ∠САВD= 120°.

АВ – ребро двугранного угла, точка С лежит в одной полуплоскости, точка D лежит в другой полуплоскости. В одной полуплоскости проведена прямая АС, перпендикулярная АВ. В другой полуплоскости проведена прямая ВD, перпендикулярная АВ.

Проведем АК перпендикулярно АВ и DК параллельно АВ (рис. 2). Тогда угол САК – линейный угол двугранного угла, а значит, ∠САК = 120°.

Так как прямые АК и ВDперпендикулярны одной и той же прямой АВ, то прямые АК и ВD – параллельны. В четырехугольнике АКDВ противоположные стороны параллельны (AK∥BD, AB∥ DK), значит,  АКВD– параллелограмм. Значит,  АК=BD = а.

Рассмотрим треугольник АКС. Найдем   с помощью теоремы косинусов:

Прямая АВ перпендикулярна плоскости линейного угла (по свойству 1), значит, и параллельная ей прямая DКперпендикулярна плоскости линейного угла. А значит, прямая  DК  перпендикулярна прямой СК, лежащей в плоскости линейного угла, то есть угол СКD прямой.

Из прямоугольного треугольника СКD по теореме Пифагора находим гипотенузу СD.

Ответ: 2а.

Задания для выполнения

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

13 баллов – «5»

11-12 баллов - «4»

10 баллов – «3»

Практическое занятие 52

Тема: Признак перпендикулярности двух плоскостей

Цель: повторить, обобщить и проверить знания по теме: “Признак перпендикулярности двух плоскостей”; выработка основных навыков

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: 1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

2. Геометрия, 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2005.– 206 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал

Определение.Плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Имеем плоскости α и β, которые образуют двугранный угол. l – ребро двугранного угла (рис. 3). Построим линейный угол данного двугранного угла. Возьмем точку О на ребре l. Проведем прямую АО перпендикулярно ребру l в плоскости α и прямую ВО перпендикулярно ребру l в плоскости β. Тогда, ∠ВОА – линейный угол двугранного угла. Если ∠ВОА =90°, то плоскости α и β перпендикулярны.

Рис. 3

Признак перпендикулярности плоскостей

Пусть, прямая ОА перпендикулярна плоскости β и ОА лежит в плоскости α. Тогда плоскости α и β перпендикулярны.

Следствие из признака

Если плоскости α и β пересекаются по прямой l, а плоскость γ перпендикулярна прямой l, то плоскость γ перпендикулярна плоскости α и плоскость γ перпендикулярна плоскости β (рис. 4).

Рис. 4

Доказательство

Прямая l перпендикулярна плоскости γ по условию, но плоскость α проходит через прямую l, значит, плоскость γ перпендикулярна плоскости α. Плоскость β также проходит через прямую l, значит, плоскость γ перпендикулярна плоскости β. Следствие доказано. 

Указанное следствие переформулируем для двугранного угла и для его линейного угла.

Свойство

Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру и граням своего двугранного угла. 

Другими словами, если мы построили линейный угол двугранного угла, то его плоскость перпендикулярна всем элементам этого двугранного угла – и ребру, и граням.

Рис. 5

Рассмотрим рисунок 5. Мы имеем плоскость α и плоскость β. Они пересекаются по прямой l. Из точки О проводим прямую АО перпендикулярно ребру l в плоскости α. Из точки О в плоскости β проводим вторую прямую ВО перпендикулярно к ребру l. Получаем линейный угол двугранного угла – угол ВОА. Обозначим плоскость ВОА за γ.

Тогда, плоскость линейного угла γ перпендикулярна прямой l, так как прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и ВО из плоскости γ по построению. Также через перпендикуляр l к плоскости γ проходит плоскость α, значит, по признаку α ⊥ γ. Аналогично, β ⊥ γ.

Приведем пример решения задачи

Задания для выполнения

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

17 баллов – «5»

16 баллов - «4»

15 баллов – «3»

Практическое занятие 53

Тема: Изображение пространственных фигур

Цель: повторить, обобщить и проверить знания по теме: “Перпендикулярность и параллельность”; выработка основных навыков

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: 1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

2. Геометрия, 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2005.– 206 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал

Для изображения пространственных фигур на плоскости обычно пользуются параллельным проектированием. Этот способ изображения фигуры состоит в следующем. Берем произвольную прямую h, пересекающую плоскость чертежа  , проводим через произвольную точку А фигуры прямую, параллельную h. Точка А₁ пересечения этой прямой с плоскостью чертежа будет изображением точки А (рис. 336). Построив таким образом изображение каждой точки фигуры, получим изображение самой фигуры. Такой способ изображения пространственной фигуры на плоскости соответствует зрительному восприятию фигуры при рассматривании ее издали.

Отметим некоторые свойства изображения фигуры на плоскости, вытекающие из описанного ее построения.   

 
Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа отрезками (рис. 337).

Действительно, все прямые, проектирующие точки отрезка АС, лежат В одной плоскости, пересекающей плоскость чертежа а по прямой А₁С₁. Произвольная точка В отрезка АС изображается точкой В₁ отрезка А₁С₁.

Замечание. В только что доказанном свойстве и далее предполагается, конечно, что проектируемые отрезки не параллельны направлению проектирования. Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельные отрезками (рис. 338).

Действительно, пусть АС и А'С' — параллельные отрезки фигуры. Прямые А₁С₁ и A'₁C'₁ параллельны, так как они получаются при пересечении параллельных плоскостей с плоскостью  . Первая из этих плоскостей проходит через прямые АС и АА₁, а вторая — через прямые А'С' и A'A'₁.

Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняется при параллельном проектировании. Покажем, например, что (рис. 339)
 

 
Проведем через точку В прямую А₂С₂, параллельную A₁C₁ Треугольники ВАА₂ и BСС₂ подобны. Из подобия треугольников и равенств A₁B₁=А₂В и B₁C₁=BC₂ следует пропорция (*).

Приведем пример решения задачи

Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника?

Решение. При параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков прямой. Поэтому середина стороны треугольника проектируется в середину проекции этой стороны. Следовательно, проекции медиан треугольника будут медианами его проекции.

Задания для выполнения.

Составить кроссворд, состоящий из 20 вопросов. В конце указать ответы.

Правила составления кроссвордов

Среди кроссвордистов существуют определенные правила, касающиеся, как собственно составления кроссвордов, так и подбора определений к словам и создания сеток кроссвордов. Правил же составления кроссвордов не так уж много:

- не используются слова, пишущиеся через тире и имеющие уменьшительно-ласкательную окраску;
- в каждую белую клетку кроссворда вписывается одна буква;
- каждое слово начинается в клетке с номером, соответствующим его определению, и заканчивается черной клеткой или краем фигуры;
- можно включать не более трех однородных понятий и не включать однокоренные слова;
- имен собственных в кроссворде может быть не более 1/3 от всех слов. - слов с правильным чередованием согласных и гласных букв может быть не более половины;
- начальные буквы загаданных слов должны полнее представлять алфавит, то есть не стоит загадывать слова на одну букву;
- слова должны быть в именительном падеже и единственном числе, кроме слов, которые не имеют единственного числа;

-слова-ответы должны быть существительными в именительном падеже и единственном числе, множественное число допускается только тогда, когда оно обозначает единственный предмет;
- не следует применять при составлении кроссвордов слова, которые могут вызвать негативные эмоции, слова, связанные с болезнью, жаргонные и нецензурные, если только именно это и не является целью составления кроссворда;
- не желательно при создании кроссвордов употреблять малоизвестные географические названия, специализированные термины, фамилии малоизвестных героев кинофильмов и других произведений, устаревших и вышедших из обихода слов.

В тематических кроссвордах, особенно узкоспециальных, некоторыми из этих правил можно пренебречь.
При составлении определений к словам тоже существуют определенные правила, поскольку именно продуманные определения к словам делают кроссворд интересным и оригинальным, выгодно отличающемся от большого количества кроссвордов, составляемых при помощи специальных программ по составлению кроссвордов. Обычно приветствуется легкий тон определений, наличие юмора сделает кроссворд более интересным.

Для внешнего вида (сетки) кроссворда тоже существуют некоторые правила. Что касается сеток кроссвордов, то существует разные их виды: от нерегулярных крестословиц до правильных, максимально заполненных фигур. Причем, такие фигуры не обязательно должны быть квадратными. Хорошим тоном считается максимальная плотность кроссворда, определяемая отношением числа белых клеток кроссворда к их общему количеству. Чем выше плотность, тем труднее составлять и легче разгадывать кроссворд. Сетки могут быть как регулярными (симметричными), так в виде различных фигур. Составление кроссворда начинают с самых длинных слов.

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

«5» - кроссворд оставлен из 20 вопросов, аккуратно прочерчен, соответствует теме.

«4» - кроссворд составлен из 17-19 вопросов, аккуратно прочерчен, соответствует теме

«3»- кроссворд составлен из 15 - 16 вопросов, аккуратно прочерчен, соответствует теме

Практическое занятие 54

Тема: Задачи на построение сечений

Цель: повторить, обобщить и проверить знания по теме: “Двугранный угол”; выработка основных навыков

Оборудование (приборы, материалы, дидактическое обеспечение): методические рекомендации к выполнению работы; задание и инструкционная карта для проведения практического занятия

Теория: для выполнения заданий по данной теме необходимо предварительно изучить теоретические материалы, а также методические рекомендации к выполнению работы

Порядок выполнения задания, методические указания:

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- изучить схему решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

Дополнительные задания: могут быть сформулированы по ходу занятия

Содержание отчета: отчет по практической работе должен содержать: основные определения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ; вывод по работе

Литература: 1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2016. – 256 с.

2. Геометрия, 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Б. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2005.– 206 с. (Рекомендован Методическим советом № 1 ГАПОУ «БНК» г. Бугуруслана Оренбургской области, Протокол № 9 от 16.05.2017 г.)

4 http://mvm-math.narod.ru

5 http://www.pm298.ru

Время:45 мин.

Теоретический материал

При решении многих стереометрических задач используют сечение многогранника плоскостью, поэтому необходимо уметь строить на чертеже их сечения различными плоскостями.

1) Определение секущей плоскости

Секущей плоскостью многогранника называют такую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

2) Сечения тетраэдра и параллелепипеда

Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней, поэтому его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники.

3) Свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны, сформулировать следующим образом: если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны.

4) Алгоритм построения сечений многогранников:

а) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет две общие точки, и провести через данные точки прямые; 
б) определить грани, с которыми секущая плоскость имеет одну общую точку, построить вторую общую точку и провести через них прямую; 
в) определить грани, с которыми секущая плоскость не имеет общих точек, построить две общие точки,  и провести через них прямую; 
г) выделить отрезки прямых, по которым секущая плоскость пересекает ребра многогранника, заштриховать полученный многоугольник.

Приведем пример составления сечения

Задача 1. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R.

Дано

Сначала надо попробовать отыскать такие точки, которые принадлежат одной плоскости. У нас это точки P и Q – они принадлежат грани ASC, а также пара P и R – они принадлежат грани ABC. Их можно сразу соединять:

Шаг 1

Теперь, чтобы понять, как плоскость рассечет грань SBC, нужно заполучить точку в этой грани, или в плоскости, которой принадлежит грань. Но нужна нам не любая, а особенная точка, которая также будет принадлежать и плоскости сечения. Чтобы точка принадлежала плоскости нужно, чтобы она принадлежала прямой этой плоскости. Заметим, что прямая PR лежит в плоскости основания и принадлежит искомому сечению. Прямая CB тоже лежит в плоскости основания, но не только. Она еще лежит в плоскости грани SBC, где нам необходима точка, чтобы построить сечение.  Воспользуемся случаем: найдем точку, где прямые PR и CB пересекутся. Такая точка принадлежит сечению, а также плоскостям боковой (SBC) и нижней (ABC)  граней пирамиды.

Шаг 2

Так как построенная точка T и точка Q лежат в одной плоскости, то можем соединить их прямой:

Шаг 3

Эта прямая пересечет ребро SB в точке F – это и есть еще одна нужная нам точка для построения сечения. Соединяем R и F – они лежат в одной плоскости (SAB). Теперь смотрим: можно ли пройти по линиям сечения, принадлежащим граням пирамиды,  от точки P и снова попасть в нее непрерывным маршрутом? Если да, то построение окончено. У нас такой маршрут замкнутый: P-Q-F-R-P. Это и есть сечение.

Шаг 4

Задания для выполнения

1. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R (1 балл).

2. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R (1 балл).

3. Построить сечение пирамиды, проходящее через точки P, Q, R, причем точка P принадлежит грани ASC (1 балл).

4. Составить задание по теме, отдать задание соседу по парте для выполнения (2 балла).

Сделайте вывод о проделанной практической работе и оцените себя по шкале от 1 до 5.

Критерии оценивания:

5 баллов – «5»

4 балла - «4»

3 балла – «3»

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/315325-sbornik-prakticheskih-zanjatij-po-razdelu-geo