Электронный образовательный ресурс по алгебре для обучающихся 10-11-х классов. Сборник задач «Способы решения уравнений с параметрами»

Сборник задач

«Способы решения уравнений с параметрами»

Беловол И.А.,

учитель математики

МБОУ «СОШ №5 с УИОП г. Шебекино Белгородской области»

Пояснительная записка

Тема «Задачи с параметрами. Способы решения уравнений с параметрами» является одной из важнейших тем элементарной математики. Ее элементы изучаются в курсе школьной математики (более подробно в классах с углубленным изучением математики, профильных классах и только примеры некоторых типов – в общеобразовательных классах), но без должного теоретического обоснования, что затрудняет деятельность обучающихся.

Тема «Способы решения уравнений с параметрами» формирует у обучающихся умения и навыки решения алгебраических и трансцендентных уравнений, углубляет знания о различных методах их решения и базовых математических понятиях, используемых при обосновании того или иного метода решения. Кроме того, у обучающихся при решении уравнений с параметрами формируются навыки исследовательской деятельности, развиваются их познавательные и аналитические способности.

Опыт показывает, что проблема изучения уравнений с параметрами в школе весьма актуальна. Ежегодно на ЕГЭ по математике предлагаются задания, включающие в себя исследование уравнений в зависимости от параметра. В связи с этим предлагаемые учебно-методические материалы посвящены изложению способов решения алгебраических и трансцендентных уравнений, содержащих параметры.

Для успешного овладения методами решения различных типов уравнений с параметрами разработан контрольный лист, предназначенный для самостоятельного усвоения теории уравнений с параметрами. В нем с использованием принципа постепенности последовательно изложены вопросы, на которые необходимо обратить внимание при изучении данной работы. После изучения каждого пункта листа можно ставить отметку о его выполнении.

При изучении настоящих учебно-методических материалов обучающийся должен быть уверен в том, что он не пропустили ни одного непонятного слова в разделе. Если он пришел в замешательство или запутался при чтении текста, ему необходимо вернуться к моменту до возникновения трудностей, и найти то, что ему непонятно и разобраться с этим.

Данные учебно-методические материалы помогут учителям математики, работающим как в профильных так и в общеобразовательных классах.

Контрольный лист

Контрольный лист – это список всех шагов, которые Вы предпринимаете во время изучения этого курса. Вы проделываете шаги в том порядке, который указан в контрольном листе. Когда все шаги сделаны – изучение курса завершено, и Вы получаете в свое распоряжение новые знания, которые можете использовать в дальнейшем.

Когда Вы заканчиваете шаг (пункт) контрольного листа, подпишите свои инициалы на линии справа от этого шага. Это означает, что Вы знаете и можете применять материал соответствующего пункта листа.

ФИО __________________________________________________________

Дата начала ______________ Дата завершения ________________________

Базовые понятия темы.

1.1. Прочитайте текст на стр. 4

1.2. Приведите три примера уравнений, содержащих параметры

1.3. Что значит решить уравнение с параметром?

1.4. Сформулируйте определение «контрольное значение параметра»

1.5. Сформулируйте условия нахождения контрольного значения

параметра в примере на стр. 4

1.6. Приведите примеры контрольных значений параметра

2. Линейные уравнения с параметрами и сводящиеся к ним.

2.1. Прочитайте текст на стр. 4-6

2.2. Сформулируйте определение линейного уравнения с параметрами

2.3. Перечислите способы нахождения контрольных значений параметра

2.4. Сформулируйте алгоритм решения линейных уравнений с параметрами

2.5. Приведите три примера линейных уравнений с параметрами решите их по алгоритму

2.6. Какие уравнения с параметром называют уравнениями, сводящимися

к линейным?

2.7. Сформулируйте алгоритм решения таких уравнений

2.8. Приведите два примера уравнений с параметром, сводящихся к

линейным и решите их по алгоритму

2.9. Выполните самостоятельную работу №1 на стр. 6

Квадратные уравнения с параметрами и уравнения, сводящиеся к ним.

3.1. Прочитайте текст на стр. 7-10

3.2. Какие уравнения называются квадратными уравнениями с параметрами?

3.3. Сформулируйте условия нахождения контрольных значений параметра для таких уравнений

Сформулируйте алгоритм решения квадратных уравнений с параметром

Покажите использование этого алгоритма на трех примерах

3.6. Какие уравнения с параметром называют уравнениями, сводящимися

к квадратным?

3.7. Сформулируйте алгоритм их решения

3.8. Покажите использование этого алгоритма на трех примерах

3.9. Сформулируйте алгоритм решения двух типовых задач, сводящихся

к исследованию расположения корней

3.10. Покажите использование этого алгоритма на примерах

3.11. Решите самостоятельную работу №2 на стр. 10

Иррациональные уравнения с параметрами

4.1. Прочитайте текст на стр. 11-14

4.2. Укажите три типа задач по изучаемому разделу

4.3. Покажите использование этих алгоритмов на примерах

4.4. Выполните самостоятельную работу №3 на стр.14

5. Уравнения с параметрами, содержащие абсолютную величину

5.1. Прочитайте текст на стр. 14-20

5.2. Перечислите типы задач

5.3. Сформулируйте алгоритм решения каждого типа

5.4. Покажите использование алгоритмов на конкретных примерах

5.5. Разберите три способа решения уравнений третьего типа

5.6. Составьте аналогичное задание

5.7. Выполните его

5.8. Выполните самостоятельную работу №4 на стр.20

6. Трансцендентные уравнения с параметром

6.1. Прочитайте текст на стр. 21-24

6.2. Уясните формулы решения простейших тригонометрических

уравнений с параметром

6.3. Выполните самостоятельную работу №5 на стр.21

6.4. Какие уравнения с параметром называют показательными?

6.5. Сформулируйте алгоритмы их решения

6.6. Какие уравнения с параметром называют логарифмическими?

6.7. Сформулируйте алгоритмы их решения

6.8. Какие уравнения с параметром называют тригонометрическими?

6.9. Сформулируйте алгоритмы их решения

6.10. Выполните самостоятельную работу №6 стр.26

7. Подведение итогов

7.1. Каких результатов Вы достигли в усвоении материала?

Уравнения с параметром. Линейные уравнения, содержащие параметр.

Пусть дано уравнение f (a,b,c, …, k,x) = φ (a,b,c, …, k,x) (1) где a,b,c, …, k,x – переменные величины.

Любая система значений переменных a = a0,b = b0,c = c0, …, k = k0,x = x0, при которой обе части уравнения (1) принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменныхa,b,c, …, k,x.

Переменныеa,b,c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение (1) называется уравнением, содержащим параметры.

Решить уравнение (1) – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения, и каковы они, т.е. исследовать его относительно параметра. При этом, множество значений параметра разбивают на подмножества, границами которых служат те значения параметра, в которых, или при переходе через которые, происходит качественное изменение уравнения. Такие значения параметра называют «особыми» или контрольными.[1]

Пример: Решить уравнение a(a – 5)x = a-5. (2)

Контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0, т.е. a = 0 и a = 5. При этих значениях параметра невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х, в то время как при значениях параметра a ≠ 0 и a ≠ 5 это деление возможно. Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) при следующих значениях параметра: 1) a = 0, 2) a = 5, 3) a ≠ 0 и a ≠ 5.

приa = 0 уравнение (2) принимает вид 0 * Х = -5. Это уравнение не имеет корней;

приa = 5 уравнение (2) принимает вид 0 * Х = 0. Значит Х – любое действительное число;

п риa ≠ 0 и a ≠ 5 получаем х = a – 5 , х = 1

a (a - 5) a .

Ответ: при a = 0 решений нет; пр a = 5 х - любое действительное число;

приa ≠ 0 и a ≠ 5 х = 1/a.

Уравнение вида Ах – В = 0, где А и В – выражения, зависящие от параметров, а х – неизвестное, называется линейным уравнением относительно х. I тип – простейшие линейные уравнения с параметром.

Исследуем линейное уравнение ах = b (3):

1 случай: a ≠ 0, b є R – уравнение (3) имеет единственный корень х;

2 случай: a = 0, b = 0 – уравнение (3) имеет корнем любое действительное число;

3 случай: a = 0, b ≠ 0 – уравнение (3) решений не имеет.

Пример №1. ах = 2 ; при а = 0 – решений нет, при а ≠ 0 х = 2/а.

№2. 0х = b ; при b = 0 – х є R, при b ≠ 0 – решений нет.

№3. ‌‌|х| = с ; при с = 0 – х = 0, при с > 0 – х = ± с, при с < 0 –решений нет.

II тип – несложные уравнения с параметром, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничением на их области решения.

Алгоритм решения таких уравнений:

Найти ОДЗ.

Решить уравнение относительно х.

Определить контрольные значения параметра.

Проверить, нет ли таких значений параметра, при которых значение х было бы равно числу, исключенному из ОДЗ.

Пример №1. b / х – 4 = 1

ОДЗ: х ≠ 4.

Контрольное значение параметра: b = 0;

Решим уравнение относительно х:

- При b = 0 уравнение примет вид 0 / х – 4 = 1. Это уравнение корней не имеет;

- При b ≠ 0 уравнение имеет вид b = х – 4, х = b + 4.

4. Проверим, нет ли таких значений параметраb, при которых значение х было бы равно 4, т.е. решим уравнение: 4 = b + 4, b = 0.

Ответ: при b = 0 – решений нет; при b ≠ 0 – х = b + 4.

Пример №2. 2(а+1)х / а = 3(х+1) + 7/а

ОДЗ: х є R, а ≠ 0;

Решим уравнение относительно х: умножим обе части уравнения на а ≠ 0:

2(а+1)х – 3ах – 3а = 0, (2-а)х = 3а + 7.

Контрольное значение параметра: а = 2, т.к. коэффициент при х обращается тогда в 0.

- При а = 2 – решений нет.

- При а ≠ 2 х = 3а + 7 / 2 – а.

Ответ: при а = 0 уравнение не имеет смысла; при а = 2 решений нет;

при а ≠ 0 и при а ≠ 2 х = 3а + 7 / 2 – а.

Необходимо отметить, что если при каком-нибудь значении параметра а = а0 данное уравнение не имеет смысла, то, разумеется, и решений нет при а = а0. Обратное утверждение не верно. Нельзя утверждать, например, что при а = 2 решенное выше уравнение не имеет смысла. Если подставить в исходное уравнение а = 2, то получим вполне определенное уравнение 6х/2 = 3(х+1) + 7/2. Значит, при а = 2 исходное уравнение имеет смысл, хотя корней при данном значении параметра не имеет. Может оказаться, что при контрольном значении параметра уравнение будет иметь корни, но они окажутся посторонними, т.е. не будут входить в ОДЗ. Рассмотрим такой пример ниже.

III тип – уравнения, сводящиеся к линейным.

Пример №1. а + 3 / а + 2 = 2/х – 5 / (а+2)х

1. ОДЗ: х ≠ 0; а ≠ -2.

2. Решим уравнение относительно х. Умножим обе части уравнения на (а+2)х ≠ 0 и получим: (а+3)х = 2а-1.

3. Контрольное значение параметра: а = -3.

- При а = -3 – решений нет;

- При а ≠ 3 х = 2а-1 / а+3.

4. Проверим, нет ли значений параметра а, при которых найденное значение х равно 0: 0 = 2а-1 / а+3, а =1/2. Значит, при а = ½ - решений нет.

Ответ: при а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ ½ х = 2а-1 / а+3;

при а = -3, а = -2, а = ½ решений нет.

Пример №2. 1+х / 1-х = а/b.

ОДЗ: х ≠ 1; b ≠ 0.

Решим уравнение относительно х: (а + b)х = а – b.

Контрольное значение параметра: а + b = 0, а = -b.

- При а = -b – решений нет;

- При а ≠ -b х = а-b / а+b.

4. Найдем значения параметров а и b, при которых найденное значение х равно 1:

а-b /а+b = 1, 2b = 0, b = 0. Значит, при b = 0 решений нет.

Ответ: при а = -b,b = 0 решений нет; при а+b ≠ 0, b ≠ 0 х = а-b / а+b.

IV тип – упражнения (развивающего характера) на составление уравнений с параметрами.[2]

Составьте уравнение с параметром а такое, чтобы каждому значению а соответствовало единственное значение х. (х = а, 3х + а = 1)

Составьте уравнение с параметром а такое, чтобы при любом значении а оно не имело корней. (1/ах = 0)

Составьте уравнение с параметром а, которое не имеет корней при всех а<0. (|х|=а)

Составьте уравнение с параметром а, которое имело бы корнем любое действительное число при каком-то одном значении а, а при всех остальных значениях параметра уравнение не имело бы корней. (7 + 2х = 2х + а + 5)

Накладывая различные условия на значение параметра, переменной, на число корней ветвлений, на тип уравнения и т.д. в зависимости от целей и математической подготовки, можно предположить много разнообразных заданий на составление уравнений с параметрами.

Упражнения для самостоятельной работы №1.[1]

х(а² - 2а + 1) = а² + 2а – 3

Ответ: при а = 1 х є R; при а ≠ 1 х = а+3 / а-1

х/а + а/3 + х+а / а+3 = 1

О твет: при а ≠ -3, а ≠ -1,5 и а ≠ 0 х = а(а²+3а-9); при а = -3, а = -1,5 и а = 0 решений нет - 3(2а+3)

k = 1/k + k-1 / k(х-1)

Ответ: при k ≠ 0, k ≠ ± 1 х = k+2 / k+1; при k = -1, k = 0 решений нет; при k = 1 х – любое действительное число, кроме 1.

kх – p = 2 + 2+3х

(k-2)p(х-1) p(k-2) (k-2)(х-1)

Ответ: при k ≠ 2, p ≠ 0, k ≠ 3p+2.k ≠ 6p х = 3p-2

k-3p-2

приk = 4, p = 2/3 х – любое действительное число, кроме 1

приk = 2, p = 0, k = 6p (p ≠ 2/3), k = 3p+2 (p ≠ 2/3) решений нет.

1 + 1/ах = 1/х – 3/а

Ответ: при а ≠ -3, а ≠ 0, а ≠ 1 х = а-1 / а+3; при а = -3, а = 0, а = 1 решений нет.

2b/х = 1/ а-b – 1 / а+b

Ответ: при а² - b² ≠ 0, b ≠ 0 х = а² - b² ; при а² - b² = 0 решений нет;

приb = 0, а ≠ 0 х – любое действительное число, кроме 0.

Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным.

Уравнения вида ах² + bх + с = 0 , где х – неизвестное, а, b, с – выражения, зависящие только от параметра, и а ≠ 0, называется квадратным уравнением относительно х.[1]

Для нахождения контрольных значений параметра при решении квадратных уравнений часто пользуются следующими фактами:

Коэффициент при х² не должен быть 0.

Значения параметра, при которых дискриминант уравнения D равен нулю, относят к контрольным, т.к., если дискриминант обращается в нуль при некотором значении параметра k = k0 и при переходе через эту точку меняется знак, то при переходе через точку k = k0 меняется число действительных корней квадратного уравнения.

Для решения квадратных уравнений воспользуемся алгоритмом, выделенным в предыдущем пункте.

Пример №1. (k-5)х² + 3kх – k +5 = 0 (1)

ОДЗ: множество действительных чисел.

Контрольное значение параметра: k = 5. Дело в том, что при k = 5 уравнение (1) является линейным, а приk ≠ 5 – оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Поэтому целесообразно рассмотреть два случая:

а)k = 5; b)k ≠ 5.

а) При k = 5 уравнение (1) принимает вид 15х = 0, откуда находим х = 0.

b) При k ≠ 5 решаем квадратное уравнение.

Составим дискриминант D уравнения (1): D = 9k² + 4(k-5)² , откуда видим, что D > 0. Значит, уравнение (1) имеет два различных корня:

х 1,2 = -3k ± √9k² + 4(k-5)²

2(k-5)

Ответ: при k = 5 х = 0; при k ≠ 5 х1,2 = -3k ± √9k² + 4(k-5)²

2(k-5)

Пример №2. ах² - 2х + 4 = 0 (2)

ОДЗ: множество действительных чисел.

При а = 0 уравнение принимает вид: 2х = 4, х = 2.

При а ≠ 0 составим дискриминант D уравнения: D = 4 – 16а = 4(1-4а).

Для того, чтобы определить знак D, найдем второе контрольное значение параметра а. Для этого решим уравнениеD = 0 и найдем а = ¼. Целесообоазно выделить три случая: а) а = ¼ ; b) а < ¼; c) а > ¼ .

а) При а = ¼ х = 4;

b) При а < ¼ D < 0, значит, уравнение не имеет действительных корней;

c) При а > ¼ D > 0, значит уравнение имеет 2 различных корня:

х1,2 = 1 ± √1-4а

а

Ответ: при а < ¼ х1,2 = 1 ± √1-4а

а

Покажем решение дробно-рационального уравнения:

х + 2 = 2х – а – 1

а + 1 х – 2

1. ОДЗ: х ≠ 2, а ≠ -1.

2. Решим уравнение относительно х: х² - 2х(а+1) + (а² + 2а – 3) = 0.

D = 4(а+1)² - 4(а² + 2а – 3) = 16; х1 = а + 3; х2 = а – 1.

3. Среди полученных корней могут быть и посторонние. Чтобы выделить их, необходимо узнать, при каких значениях а полученные корни принимают значение 2:

- х1 = 2, а + 3 = 2, а = -1. (не входит в ОДЗ);

- х2 = 2, а – 1 = 2, а = 3. Подставим это значение параметра в исходное уравнение и найдем : х = 2 (не входит в ОДЗ) и х = 6. Значит, при а = 3 х = 6.

Ответ: при а ≠ -1, а ≠ 3, х1 = а + 3, х2 = а – 1; при а = 3 х = 3; при а = -1 решений нет.

Выделим еще два типа задач, связанных с решением квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к квадратным.

I тип – задачи, в которых задано расположение корней относительно заданной точки А.[2]

По сути эти задачи сводятся к определению знаков корней квадратного трехчлена. Пусть дан квадратный трехчлен f(x) = ax² + bх + с, х1 и х2 – корни f(x), А –некоторое заданное значение. Тогда возможны три случая:

1) х1 < А, х2 > А ↔ а f(A) < 0, D > 0.

2) х1 > А, х2 > А ↔ а f(A) > 0, D ≥ 0, x0 = - b/2a > A.

3) х1 < А, х2 < А ↔ а f(A) > 0, D ≥ 0, x0 < A.

Пример №1. При каких значениях k оба корня уравнения

х² - 6kх + (2 - 2k +9k²) = 0 больше 3?

Для решения используем необходимое и достаточное условие того, когда оба корня уравнения больше заданного значения А. Следует проверить три условия:

D = 36k² - 4(2 - 2k + 9k²) = 8(k – 1);

а = 1, f(3) = 9k² - 20k + 11;

х0 = 3 k.

И меем систему неравенств, которую надо решить:

8(k – 1) > 0 k > 1

9k² - 20k + 11 > 0 k < 1; k > 11/9 → k > 11/9

3k > 3 k > 1

Ответ: k > 11/9

II тип – задачи, в которых исследуется расположение корней квадратного трехчлена относительно заданного отрезка [А ; В].

Пустьf(х) = 0, х1 х2 – корни f(х), т.е. D > 0. Тогда возможны два случая:

х1 є [А;В], х2 є [А;В] ↔ а*f(A) > 0, a*f(B) > 0, A < -b/2a < B. Это утверждение справедливо и для D = 0.

х1 є [А;В] или х2 є [А;В] ↔ f(A)*f(B) < 0. Причем, если х1 > х2,

то х1 є [А;В] ↔ а*f(A) > 0, а*f(B) < 0, а х2 є [А;В] ↔ а*f(A) < 0, a*f(B) > 0.

Пример №1. При каких значениях k оба корня уравнения х² - 2kх + k² - k = 0 принадлежат отрезку [-2 ; 6]?

Обозначимf(x) = х² - 2kх + k² - k.

Найдем значение f(x) на концах отрезка [-2 ; 6]: f(-2)=k² + 3k + 4; f(6)=k² - 13k + 36.

Воспользуемся утверждением для 1 случая и составим систему неравенств (в исходном уравнении а = 1:

D = k ≥ 0 k ≥ 0

k² + 3k + 4 > 0 k є R

k² - 13k + 36 > 0 k < 4, k > 9 → 0 ≤ k < 4. Ответ: 0 ≤ k < 4

-2 < k < 6 -2 k ≥ 0

Для составления задач развивающего характера можно также использовать следующие факты. Дано квадратное уравнение ах² +bх + с = 0, D > 0. Пусть а > 0, тогда знаки вещественных корней можно определить по теореме Виета:

х1 + х2 = - b/а

х1 * х2 = с/а

При этом могут быть следующие случаи:

О ба корня положительны, если b < 0

с > 0

Оба корня отрицательны, если b > 0

с > 0

К орни имеют разные знаки, причем отрицательный корень больше по абсолютной величине, если b > 0

с < 0

К орни имеют разные знаки, причем положительный корень больше по абсолютной величине, если b < 0

с < 0

к орни имеют разные знаки, причет абсолютная величина корней равна, если b = 0

с < 0

Пример №2. При каких значениях k корни уравнения х² + (k² - 4k – 5)х + k = 0 равны по модулю?

В оспользуемся условием равенства корней квадратного уравнения по модулю. Получаем смешанную систему:

k² - 4k - 5 = 0 → k1 = -1, k2 = 5 → k = -1

k < 0 k < 0

Проверка: при k = -1 имеем уравнение х² - 1 = 0, х1 = -1 и х2 = 1.

| -1| = |1 |, значит, |х1| = |х2|.

Ответ:k = -1

Упражнения для самостоятельной работы №2.

р х² + 3рх – (р + 2) = 0

О твет: при р > 0 и р < 8/13 х1,2 = -3р±√13р² + 8р ;

2р

при р = -8/13 х = -3/2; при -8/13 < р ≤ 0 решений нет.

х - 2k = 8k

х – k х + k х² - k²

Ответ: при k ≠ 0 х1 = 3 k, х2 = -2 k; при k = 0 решений нет.

х + 2 = 3х – 2а

2 а х – 2 2(х – 2)

Ответ: при а ≠ 0, а ≠ 1, а ≠ 2 х1 = 2а, х2 = а + 2; при а = 1 х = 3; при а = 0 решений нет; при а = 2 х = 4.

4(k-1)²х + 4k(k-1) + 3k+4 = 0

х

Ответ: при k < -1, k > 4 х1,2 = 1 * (-k±√k² - 3k – 4);

2(k-1)

приk = 4 х = -2/3; при k = -1 х = ¼; при -1 < k < 4 решений нет

(1 – а)х² + 2х + а + 1 = 0

Ответ: при а ≠ 0, а ≠ 1 х1 = -1, х2 = а+1 / а-1; при а = 0, х = -1.

При каком значении k корни уравнения 9х² - х + k(х+1) = 6 равны?

Ответ:k1 = 7, k2 = 31.

При каком значении р корни уравнения х² + 6х + р +3 = 0 будут отрицательными?

Ответ: -3 < р ≤ 6

При каком значении параметра k один корень уравнения х² - (3k + 2)х - 1 = 0 больше 1, а другой меньше 1?

Ответ:k > -2/3

При каком значении параметра р оба корня уравнения рх² - 2(2р - 1)х +2 – 3р = 0 больше 1?

Ответ: решений нет

При каких значениях а оба корня уравнения х² - ах + 2 = 0 принадлежат отрезку[0;3] ?

Ответ: 2√2 ≤ а < 11/3

При каких значениях р все корни уравнения х² - 2рх - 2 = 0 расположены на отрезке[2 ; 5] ?

Ответ: 2 + √2 < р < 5 - √2

Иррациональные уравнения с параметром.

Уравнениеf (a,b,c, …k,x) = φ (a,b,c, …k,x) называется иррациональным уравнением с одним неизвестным х, если одна или обе части уравнения содержат выражения, иррациональные относительно х.[2]

I тип – уравнения, решаемые с помощью возведения обеих частей уравнения в степень.

Алгоритм:

Преобразуем заданное уравнение к виду ⁿ√ f(х) = ⁿ√ φ(х)

Возведем обе части уравнения в степень (ⁿ√f(х))ⁿ = (ⁿ√ φ(х))ⁿ и получим уравнение f(х) = φ(х)

Найдем контрольные значения параметра.

Решим уравнение относительно х.

Делаем проверку, т.к. могут появиться посторонние корни. Уточним границы изменения параметра.

П ример: √х² + ах – 5а = х + 1 (1)

1. Возведем обе части уравнения в квадрат и получим х² + ах – 5а = (х + 1)²,

(а – 2)х = 5а + 1

2. При а = 2 уравнение принимает вид 0*х = 11. Следовательно, решений нет.

При а ≠ 2 х = 5а+1 / а-2

3.Проверка: подставим значение х в левую часть уравнения (1):

(5а+1)² а(5а+1) (6а-1)² 6а-1

+ -5а = =

√ (а-2)² а-2 √ (а-2)² а-2

|6а-1 / а-2| = 6а-1 / а-2, при а ≤ 1/6 и а > 2

1-6а / а-2, при 1/6 < а < 2

Подставим значение х в правую часть уравнения (1): 5а+1 / а-2 + 1 = 6а-1 / а-2

Отсюда видно, что х = 5а+1 / а-2 является корнем уравнения (1) при а ≤ 1/6 и а > 2..

Ответ: при а ≤ 1/6 и а > 2 х = 5а+1 / а-2; при 1/6 < а ≤ 2 решений нет.

II тип – уравнения, решаемые с помощью введения вспомогательной неизвестной величины (метод замены переменной).

Алгоритм решения уравнений II типа:

Находим ОДЗ и ограничения параметра (т.е. определяем контрольное значение параметра).

Вводим новую переменную, например, у.

Решаем уравнение относительно у.

Проверяем, удовлетворяют ли найденные корни условиям, наложенным на у.

Находим х.

Делаем проверку.

Пример: √2х+1 - √х-1 = а (2)

1 . ОДЗ: 2х + 1 ≥ 0 → х ≥ 1, а ≥ 0

х – 1 ≥ 0

2 . Пусть √х-1 = у и у ≥ 0. Тогда х – 1 = у² и х = у² + 1, 2х + 1 = 2у² + 3.

3. Уравнение (2) принимает вид: √2у² + 3 = у + а (3)

у + а ≥ 0

Значение у должно удовлетворять условию: 2у² + 3 ≥ 0 → у ≥ 0

у ≥ 0

Возведем обе части уравнения (3) в квадрат, и получим: 2у² + 3 = а² + 2ау + у²,

у² - 2ау + 3 - а² = 0. D = 4а² - 4(3 - а²) = 4(2а² - 3).

- При а < √1,5 D < 0. Значит, уравнение (3) не имеет действительных корней.

- При а ≥ √1,5 D > 0. Значит, уравнение (3) имеет два различных корня:

у1 = а + √2а² - 3, у2 = а - √2а² - 3.

Осталось проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию у ≥ 0:

у1 = а + √2а² - 3 ≥ 0, т.к. а ≥ √1,5

у2 = а - √2а² - 3 ≥ 0 и учитывая, что а ≥ √1,5, получаем √1,5 ≤ а ≤ √3.

Найдем х:

- При а > √3 х1 = у1² + 1 = (а + √2а² - 3)² + 1, х1 = 3а² - 2 + 2а√2а² - 3.

-При √1,5 ≤ а ≤ √3 х2 = (а - √2а² - 3)² + 1, х2 = 3а² - 2 - 2а√2а² - 3.

Найденные корни удовлетворяют условию х ≥ 1.

а = √3 – критическая точка в области допустимых значений параметра, поэтому при √1,5 ≤ а ≤ √3 уравнение (2) имеет 2 корня, при а > √3 один корень: х1.

Ответ: при а < √1,5 решений нет; при √1,5 ≤ а ≤ √3 х1,2 = 3а² - 2 ± 2а√2а² - 3;

при а > √3 х = 3а² - 2 + 2а√2а² - 3.

III тип – уравнения, решаемые переходом к равносильной совокупности уравнений.

Рассмотрим решение уравнения (1) (см. с.10) этим способом:

√х² + ах – 5а = х + 1 (1)

1 . ОДЗ: х² + ах – 5а ≥ 0

х + 1 ≥ 0

2. Возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение х² + ах – 5а = (х + 1)², каждый корень которого удовлетворяет условию х² + ах – 5а ≥ 0, т.к. (х + 1)² ≥ 0.

3. Отсюда следует, что уравнение (1) равносильно смешанной системе:

х² + ах – 5а = (х + 1)² ↔ (а – 2)х = 5а + 1

х ≥ -1 х ≥ -1

4. При а = 2 система решений не имеет.

х = 5а+1 / а-2

При а ≠ 2 получаем х ≥ -1

5.Найдем те значения параметра а, при которых х = 5а+1 / а-2 ≥ -1. Неравенство равносильно совокупности двух систем:

а > 2

5а + 1 ≥ -а + 2 а > 2

а < 2 ↔ а ≤ 1/6

5а + 1 ≤ -а + 2

( Неравенство можно решить и методом интервалов. В этом случае оно равносильно неравенству 6а – 1 ≥ 0 ↔ 6(а – 1/6)(а – 2) ≥ 0

а - 2 а ≠ 2 , откуда получаем а ≤ 1/6 и а > 2)

Ответ: при 1/6 < а ≤ 2 решений нет, при а ≤ 1/6 и а > 2 х = 5а+1 / а-2

Пример №2. √х - √х-а = а (4)

Р ешим уравнение относительно параметра а. Так как √х - √х-а ≥ 0 при всех допустимых значениях х и а, то должно выполняться условие а ≥ 0. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим систему, равносильную (4):

х - √х-а = а² ; √х-а = х - а²

а ≥ 0 а ≥ 0

Так как √х-а ≥ 0 при х ≥ а, то х - а² ≥ 0, т.е. х ≥ а² - это дополнительное условие. Далее получим систему:

х – а = (х - а²)² ; х² - (1+2а²)х + а⁴+ а = 0

х ≥ а² х ≥ а²

Решим полученное уравнение относительно х и найдем значение параметра а, при которых корни х₁ их₂удовлетворяет данной системе.

х1 = а² + а, х2 = а² - а + 1.

х1 ≥ а², а² + а ≥ а², а ≥ 0. Значит, при а ≥ 0 х = а² + а.

х2 ≥ а², а² - а ≥ а², а ≤ 1. Но т.к. а ≥ 0 (по условию), то при 0 ≤ а ≤ 1 х = а² - а + 1.

Изобразим это решение на числовой прямой и сделаем вывод:

х1

р/н

0 1

Ответ: при 0 ≤ а ≤ 1 х1 = а² + а, х2 = а² - а + 1; при а > 1 х = а² + а; при а < 0 решений нет.

Упражнения для самостоятельной работы №3.

√ х – а = а

Ответ: при а ≥ 0 х = а² + а

√х + а = а - √х

О твет: при а = 0 х = 0, а ≥ 1 х = (а-1)² / 4; при а < 0 и 0 < а < 1 решений нет.

√3х – а = а – 2х

О твет: при а < 0 решений нет; при а ≥ 0 х = 4а+3-√8а+9 / 8

√а² - √х² + а² = а – х

Ответ: п b < а ри а = 0 х ≤ 0; при а > 0 х1 = 0, х2 = 3а/4; при а < 0 решений нет.

√а-х + √b-х = √а+b-2х

Ответ: при b ≥ а х = а; при b < а х = b

√3х-2 + √х+2 = а

Ответ: при а ≥ 2√6 / 3 х = ½(2а²+4-а√3а²+16); при а < 2√6 / 3 решений нет.

√а - √х+а = х

Ответ: при а = 0 х = 0; при а ≥ 1 х = √4а-3 – 1 / 2; при а < 0 и 0 < а < 1 решений нет.

√х²+3а² - √х²-3а² = х√2

Ответ: при а ≥ 0 х = а√3; при а < 0 х = -а√3.

* 2√а+х + √а-х = √а-х + √х(а+х)

Ответ: при а ≥ 0 х = -а; при а < 0 решений нет

* 1 / √х+а + 1 / √х-а = 1 / √х²-а²

Ответ: при |а| < ½ х = 4а²+1 / 4; при |а| ≥ ½ решений нет.

Уравнения, содержащие абсолютную величину.[2]

I тип – уравнения, решаемые с помощью раскрытия модуля по определению:

|f(х)| = f(х), если f(х) ≥ 0

-f(х), если f(х) < 0

Пример №1. |2х - а| = х + 1 (1)

1. Раскроем модуль по определению, тогда уравнение (1) равносильно следующей совокупности двух смешанных систем:

х ≥ а/2 х ≥ а/2

2х – а = х + 1 ; х = а + 1

х < а/2 х < а/2

а – 2х = х + 1 х = а-1 / 3

2. Найдем значение параметра для каждой из этих систем:

- х ≥ а/2, 1+а ≥ а/2, а ≥ -2. При а = -2 х = -1; при а > -2 х = 1+а

- х < а/2, а-1 / 3 < а/2, а > -2. При а > -2 х = а-1 / 3

Ответ: при а = -2 х = -1; при а > -2 х1 = 1+а, х2 = а-1 / 3; при а < -2 решений нет.

Пример №2. х² + 4х - 2|х-а| + 2 – а = 0 (2)

Уравнение (2) равносильно совокупности двух смешанных систем:

х - а ≥ 0 х ≥ а (3)

х² + 4х – 2(х-а) + 2 – а = 0 х² + 2х + а + 2 = 0

х - а < 0 ↔ х < а (4)

х² + 4х + 2(х-а) + 2 – а = 0 х² + 6х - 3а + 2 = 0

Решим систему (3): х² + 2х + а + 2 = 0, D = 4 – 4(а+2) = 4(-а-1)

Найдем контрольное значение параметра а: D = 0 при а = -1.

- При а = -1 х = -1

- При а ≠ -1: если а > -1, то D < 0, решений нет;

Если а < -1, D > 0 и уравнение имеет два корня: х1,2 = -1±√-а-1

Найденные корни должны удовлетворять условию х ≥ а:

- х1 ≥ а, -1 + √-а-1 ≥ а, √-а-1 ≥ а +1. При а < -1 лева часть этого неравенства положительная, а правая – отрицательная, то неравенство справедливо для всех а < -1.

- х2 ≥ а, -1 - √-а-1 ≥ а, √-а-1 ≤ -а -1. Разделим обе части неравенства на выражение √-а-1, принимающее при а < -1 только положительные значения, получим неравенство: 1 ≤ √-а-1, 1 ≤ -а-1, а ≤ -2.

Вывод по решению системы (3):

при а > -1 решений нет; при а = -1 х = -1; при а = -2 х1 = 0, х2 = -2;

при -2 < а < -1 х = -1+ √-а-1; при а < -2 х = -1±√-а-1

Решим систему (4): х² + 6х - 3а + 2 = 0, D =36 – 4(2-3а) = 4(7+3а)

Найдем контрольное значение параметра а: D = 0 при а = -7/3

При а = -7/3 х = -3

При а ≠ -7/3: если а < -7/3, то D < 0, решений нет

При а > -7/3, то D > 0 и уравнение имеет два корня: х3,4 = -3±√7+3а

Найденные корни должны удовлетворять условию х ≤ а:

- х3 ≤ а, -3 + √7+3а ≤ а, √7+3а ≤ а + 3.

Поскольку при а > -7/3 обе части неравенства положительны, то, возведя в квадрат, получим равносильное неравенство: 7+3а ≤ (а + 3)², (а+1)(а+2) ≥ 0, откуда получаем а ≤ -2 и а ≥ -1. Значит, х3 – решение системы при а ≥ -1 и -7/3 < а ≤ -2.

- х4 ≤ а, -3 - √7+3а ≤ а, √7+3а ≤ -а - 3. При а > -7/3 левая часть неравенства положительна, а правая – отрицательная – неравенство истинно.

Вывод по решению системы (4):

при а < -7/3 решений нет; при а = -7/3 х = -3; при а = -1 х1 = -1, х2 = -5;

п ри -7/3 < а ≤ -2 и а > -1 х3,4 = -3±√7+3а; при -2 < а < -1 х = -3 - √7+3а;

при а = -2 х5 = -2 и х6 = -4.

Решение уравнения (2) есть объединение найденных решений систем (3) и (4). Это объединение нужно выполнить по отдельности при следующих значениях параметра:

а > -1; а = -1; -2 < а < -1; а = -2; -7/3 < а < -2; а = -7/3; а < -7/3

Ответ²: при а > -1 уравнение имеет два корня: -3±√7+3а;

при а = -1 уравнение имеет два корня: -1; -5;

при -2 < а < -1 уравнение имеет два корня: -1 + √-а-1 и -3 - √7+3а;

при а = -2 уравнение имеет три корня: -2; 0; -4;

при -7/3 < а < -2 уравнение имеет четыре корня: -1 ± √-а-1 и -3 ± √7+3а;

при а = -7/3 уравнение имеет три корня: -3; -1±2/√3;

при а < -7/3 уравнение имеет два корня: -1± √-а-1.

II тип – уравнения, решаемые возведением обеих частей в квадрат.

Решим уравнение (1) этим способом. Напомним, что |f(х)|² = (f(х))². |2х-а| = х + 1

1. Выражение, находящееся в правой части уравнения, должно быть неотрицательным: х + 1 ≥ 0. При этом условии возведение обеих частей уравнения в квадрат приведет к уравнению, равносильному (1). Значит, уравнение (1) равносильно смешанной системе: х + 1 ≥ 0

(2х-а)² = (х + 1)²

2.Решим уравнение системы относительно х:

3х² - 2х(1+2а) + а² - 1 = 0, D = 4(2а+1)² - 4*3(а²-1) = 4(а+2)².

3.Найдем контрольное значение параметра а:

D = 0 при а = -2. При а = -2 х = -1.

При а ± -2 D > 0 и уравнение имеет два корня: х1 = а + 1, х2 = - а-1 / 3.

4.Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию х ≥ -1:

- х1 ≥ -1, а+1 ≥ -1, а ≥ -2

- х2 ≥ -1, а-1 / 3, а ≥ -2. Значит, х1 и х2 – корни уравнения при а ≥ -2.

Ответ: при а = -2 х = -1; при а > -2 х1 = 1+а, х2 = - а-1 / 3; при а < -2 решений нет.

Пример №3. |2х-а| = |х+4|

По условию обе части уравнения неотрицательны, получаем уравнение, равносильное данному: (2х-а)² = (х+4)².

Решаем уравнение относительно х:

3х² - 4х(а+2) + а² - 16 = 0.

D = 16(а+2)² - 4*3(а²-16) = 4(а²+16а+64) = 4(а+8)².

Находим контрольное значение параметра а:

D = 4(а+8)² = 0 при а = -8

при а = -8 х = -4

при а ≠ -8 D > 0, значит, уравнение имеет 2 корня: х1 = а+4, х2 = а-4 / 3

Ответ: при а = -8 х = -4; при а ≠ -8 х1 = а+4, х2 = а-4 / 3

III тип – задачи, в которых накладываются ограничения на корни уравнения.

Пример: При каких значениях параметра а уравнение х + 2 = а |х-1| имеет единственное решение?

1 способ решения

1. Воспользуемся определением модуля, тогда наше уравнение равносильно совокупности двух смешанных систем:

х ≥ 0 х ≥ 1 (5)

х + 2 = ах – а х(а-1) = а + 2

х < 1 ↔ х < 1 (6)

х + 2 = а – ах х(а+1) = а - 2

2. Решим систему (5). Контрольное значение параметра: а = 1

- При а = 1 уравнение системы принимает вид: х*0 = 3. Это уравнение решений не имеет.

- При а ≠ 1 из уравнения системы находим х = а+2 / а-1

3. Система (5) имеет единственное решение, если а+2 / а-1 ≥ 1. Решая неравенство, находим а > 1.

4. Решим систему (6). Контрольное значение параметра: а = -1

- При а = -1 уравнение системы принимает вид: х*0 = -3. Это уравнение решений не имеет.

- При а ≠ 1 из уравнения системы находим х = а-2 / а+1

5. Система (6) имеет единственное решение, если а-2 / а+1 < 1. Решая неравенство, находим а > -1. (Отметим, что в этом случае при а = 1 х = -1/2).

6. Изобразим полученные результаты на числовой прямой:

(6) нет решения -1 единственное решение

а

(5) нет решения 1 единственное решение

Отсюда видно, что единственное решение данное уравнение имеет

при -1 < а ≤ 1.

2 способ решения

Воспользуемся графиками функций, входящих в данное уравнение:

у = х + 2 (7)

и

у = а|х-1| = а(х-1), если х ≥ 1

а(1-х), если х < 1 (8)

1. При а* = 0 х = -2 – единственное решение.

2. При а > 0 задача сводится к нахождению условия, при котором графики функций (7) и (8) имеют одну общую точку. Наклон лучей графика функции (8) зависит от параметра а (рис.1):

- если а = 1, то график функции (8) имеет одну общую точку с графиком функции (7);

- если а < 1, то тоже имеем одну общую точку, т.е. 0 < а ≤ 1 – данное уравнение имеет одно решение;

- если а > 1 – решений будет два.

3. При а < 0 ветви графика функции 98) направлены вниз (рис.2):

рис. 1 рис. 2

- если а = 1 – точек пересечения нет;

- если а < -1 –также нет точек пересечения;

- если а > 1 – одна точка пересечения.

Ответ: при -1 < а ≤ 1 уравнение имеет единственное решение.

3 способ решения

Решим данное уравнение относительно параметра а: а = х+2 / |х-1|. Исключим из рассмотрения х = 1, т.к. при любом значении а 1 не является корнем данного уравнения.

Пусть а = у. Построим график функции у = х+2 / |х-1| (рис.3).

- При х > 1 у = х+2 / х-1, у = 1 + 3 / х-1;

- При х < 1 у = х+2 / 1-х, у = -1 – 3 / 1-х.

По графику функции найдем множество ее значений и проанализируем полученный результат. Видим, что значения функции изменяются от -1 до ∞, причем значения из промежутка (-1 ; 1] она пробегает один раз, а из промежутка (1 ;∞) – по два раза.

Ответ: а є (-1 ; 1].

Пример: Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение |х+2| = ах+1?

1 способ решения

1. Воспользуемся определением модуля. Тогда данное уравнение равносильно совокупности двух смешанных систем:

х ≥ -2 х ≥ -2 (9)

х + 2 = ах + 1 (1-а)х = -1

х < 2 ↔ х < -2 (10)

-х - 2 = ах + 1 (1 +а)х = - 3

2. Решим систему (9). При а = 1 решений нет; при а ≠ 1 х = 1 / а-1. Система имеет единственное решение, если 1 / а-1 ≥ -2. Решая неравенство, находим а > 1 и а ≤ ½.

3. Решим систему (10). При а = -1 решений нет; при а ≠ -1 х = - 3 / а+1. Система имеет единственное решение, если - 3 / а+1 < -2. Решая неравенство, находим -1 < а < ½.

4. Изобразим полученные результаты на числовой прямой:

(9) один корень нет корней один корень

а

(10) нет корней -1 один корень ½ 1 нет корней

Ответ: при а ≤ -1, а = ½, а > 1 – один корень; при -1 < а < ½ - два корня;

при 1/2 < а ≤ 1 – корней нет.

2 способ решения.

1. Построим график функций

у = |х+2| (11)

и

у = ах + 1 (12)

и про анализируем, сколько раз в зависимости от а эти графики могут пересекаться.

2. При а = 0 х = -3 и х = -1, т.е. уравнение имеет два корня.

3. При а > 0 задача сводится к нахождению условия, при котором графики функций (11) и (12) пересекаются.

- Если а = ½, то график функции (12) имеет одну общую точку с графиком функции (11).

- Если а < ½, то имеем две общие точки, т.е. 0 < а < ½ - данное уравнение имеет два корня.

При а > 1 графики функций имеют одну общую точку. Если ½ < а ≤ 1, то графики функций не имеют общих точек, т.е. на этом промежутке данное уравнение корней не имеет (рис.4).

рис. 4 рис. 5

При а < 0 (рис.5):

- Если а ≤ -1, то графики функций имеют одну общую точку

- Если а > -1, то – две общие точки

3 способ решения:

1. Так как х = 0 не является корнем уравнения ни при каком значении а, решим его относительно а: а = |х+2| -1 / х

2. Введем функцию у = |х+2| -1 / х и построим ее график (рис. 6):

рис. 6

- Если х ≥ -2, то у = 1 + 1/х

- Если х < -2, то у = -1 - 3/х

По графику функций найдем множество ее значений и проанализируем полученный результат. Функция принимает значения: (-∞;1/2] U (1;∞). Причем, каждое свое значение из промежутков (-∞;-1] U {1/2} U (1; ∞) она «пробегает» один раз; каждое значение из промежутка (-1;1/2) она пробегает дважды, а значения из промежутка [1/2;1) она не принимает вообще.

Ответ: при а є (-∞;-1] U{1/2} U (1; ∞) – один корень; при а є (-1;1/2) – два корня; при а є [1/2;1) – корней нет.

Самостоятельная работа №4.

Решите следующее уравнение:

у – 1 = |2у + b|

Ответ: при b ≤ -2 у1 = -b-1, у2 = 1-b / 3; при b> -2 у є Ø

2c + t² + 3t = |t + c|

Ответ: при c < 0 t1,2 = -2±√4-3c; при с = 0 t1 = 0, t2 = -4;

при 0 <c<1t1 = -1+√1-c,t2 = -2-√4-3c; при c = 1 t1 = -1, t2 = -3;

при 1 <c< 4/3 t1,2 = -2±√4-3c; при c = 4/3 t = -2; при c > 4/3 нет корней.

|2у - 4| = |у - b|

Ответ: при b = 2 у = 2; при b ≠ 2 у1 = 4+b / 3, у2 = 4 - b

Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение 2ах = |х-2| + 4?

Ответ: при а < -1/2, а > ½ один корень; при -1/2 ≤ а ≤ ½ нет корней

Трансцендентные уравнения с параметрами.

Функции у = а^х , у = log_а х, у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х, у = arcsin х,

у = arсcos х, у = arctg х, у = arcctg х называются трансцендентными.

I тип – простейшие трансцендентные уравнения с параметрами. Эти уравнения решаются на основании определения соответствующей трансцендентной функции.

Примеры:

1.1 а^х =b – ОДЗ: а > 0, а ≠ 1, b > 0, х є R.

Ответ: при а > 0, а ≠ 1, b > 0 х = log_а b; при а < 0, а = 1 нет корней

1.2log_а х = b – ОДЗ: а > 0, а ≠ 1, b є R х > 0

Ответ: при а > 0, а ≠ 1, b є R х = а^х ; при а < 0, а = 1 нет корней

1.3sin х = а – ОДЗ: |а| ≤ 1, х є R

Ответ: при |а| ≤ 1 х = (-1)ⁿ arcsin а + nπ,n є Z; при |а| > 1 нет корней

1.4tg х = а – ОДЗ: а є R, х ≠ π/2 +kπ,k є Z

Ответ: при а є R х = arctg а + nπ,n є Z

1.5arcos х = а – ОДЗ: |х| ≤ 1, а є [0; π]

Ответ: при 0 ≤ а ≤ π х = cos а; при а < 0, а > π нет корней

arctg х = а – ОДЗ: х є R, |а| ≤ π/2

Ответ: при -π/2 < а < π/2 х = tg а; при а ≤ -π/2, а 1 ≥ π/2 нет корней

Упражнения для самостоятельной работы №5.

а^х= 5

Ответ: при а > 0, а ≠ 1 х = log_а 5; при а < 0, а = 1 нет корней

2^х= -b

Ответ: при b < 0 х = log₂ (-)b; при b ≥ 0 нет корней

cos х = b

Ответ: при |b| ≤ 1 х = ± arсcosb + 2πk,k є Z; при |b| > 1 нет корней

ctg х = b

Ответ: при b є R х = arcctgb + kπ,k є Z

arcsin х = b

Ответ: при |b| ≤ π/2 х = |b| > π/2 нет корней

arcctg х = -2b

Ответ: при b є (-π/2;0) х = ctg(-2b); при b < -π/2 и b > 0 нет корней

arсcos х = а/3

Ответ: при а є[0 ; 3π] х = cos а/3; при а > 3π и а < 0 нет корней

*cos² х+ sin² х = а

Ответ: при а = 1 х є R; при а ≠ 1 решений нет

*tg х ctg х = а

Ответ: при а = 1 х ≠ kπ / 2 , k є Z; при а ≠ 1 решений нет

II тип – несложные трансцендентные уравнения с параметрами, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничениями их области решения или множества значений соответствующих функций. При их решении будем пользоваться алгоритмом (см.с. 4).

Пример №1. Решить уравнение 2 32 = 4

ОДЗ: х ≠ 0, а ≠ -2.

Решим уравнение относительно х, выполнив преобразование по свойствам степеней: 2 2 = 2 , а+3 / а+2 = 5 / х(а+2) = 2/х

Умножим обе части уравнения на х(а+2) ≠ 0 и получим: (а+3) = 2а-1.

Найдем контрольные значения параметра а:

- при а = -3 уравнение решений не имеет

- при а ≠ -3 х = 2а-1 / а+3

Проверим, нет ли таких значений параметра а, при которых найденный корень равен 0: х = 0, 2а-1 / а+3 = 0, а = ½. Значит, при а = ½ решений нет.

Ответ: при а ≠ -2, а ≠ -3, а ≠ ½ х = 2а-1 / а+3; при а = -2, а = -3, а = ½ решений нет.

Пример №2. 2log_а |х| + 2log_а (х+2) = 1

ОДЗ: х ≠ 0, х > -2; а ≠ 1, а > 0

Решим уравнение относительно х: |х| (х+2) = ½, |х|(а+2) = √а

П усть х є (-2;0), тогда уравнение будет иметь вид –х(х+2) = √а или -х²-2х-√а = 0,

х²+2х+√а = 0. D = 4-4√а = 4(1-√а)

-D = 0 при а = 1, тогда х = 1. Найденный корень в ОДЗ не входит, значит, при а = 1 решений нет (да и само значение параметра в ОДЗ не входит, поэтому его сразу можно было исключить из рассмотрения).

-D > 0 при 0 < а < 1 (с учетом ОДЗ), тогда х_1,2 = -1 ±√1-√а. Проверим, принадлежат ли найденные значения промежутку (-2;0): действительно, если 0 < а < 1,

то -1 < -1+√1-√а < 0 и -2 < -1 -√1-√а < 0.

Пусть х > 0, тогда уравнение принимает вид х(х+2) = √а или х²+2х-√а = 0 D = 4(1+√а) > 0 при а > 0, тогда х_3,4= -1 ±√1+√а. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию х > 0: х₃= -1 +√1+√а > 0; х₄ = -1 -√1+√а < 0 – посторонний корень. Значит, при а > 0 х= -1 +√1+√а.

Ответ: при 0 < а < 1 х_1,2 = -1 ±√1-√а, х₃= -1 +√1+√а; при а > 1 х= -1 +√1+√а

При решении другого класса уравнений приходится использовать область определения и множество значений промежуточных функций.

Пример №3. 4^х – а 2^х – а + 3 = 0

Решим уравнение методом замены переменной. Получим:

2^х = у 2^х = у

у> 0 ↔ у > 0

у – ау – а + 3 = 0 у_1,2 = а ±√(а+6)(а-2) / 2

Отметим, что уравнение имеет корни у и у при а ≤ -6 и а ≥ 2.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию у > 0. Для этого решим неравенства ОДЗ:

-у₁ > 0,

а +√(а+6)(а-2) / 2 > 0 √(а+6)(а-2) > -а а > 0

а≥ 2 ↔ а ≥ 2 ↔ а ≥ 2 ↔ а ≥ 2 ↔ а ≥ 2 а ≤ -6 а ≤ -6 а ≤ -6 а < 0

а < 0 а > 3

(а+6)(а-2) > а²

Итак, при а ≥ 2 уравнение имеет корень у_1.

_-у₂ > 0

а-√(а+6)(а-2) / 2 > 0 √(а+6)(а-2) > а а > 0

а ≥ 2 ↔ а ≥ 2 ↔ а ≥ 2 → 2 ≤ а < 3

а ≤ -6 а ≤ -6 а ≤ -6

(а+6)(а-2) < а²

Итак, при 2 ≤ а < 3 уравнение имеет корень у_2.

Найдем х:

- При 2 ≤ а < 3 2^х= а ±√(а+6)(а-2) / 2 ↔ х = log₂ а ±√(а+6)(а-2) / 2

- При а ≥ 3 2^х= а +√(а+6)(а-2) / 2 ↔ х = log₂ а +√(а+6)(а-2) / 2

Ответ: при а є [2;3) х_1,2 = log₂ а ±√(а+6)(а-2) / 2;

При а є [3;∞) х а +√(а+6)(а-2) / 2; при а є (-∞;2) решений нет.

Пример №4. 1 + log₂ (2х² + 2х + 3,5) = log₂ (ах² + а)

ОДЗ: х є R, а > 0.

Решим относительно х уравнение: 4х² + 4х + 7 = ах² + а, (4-а)х² + 4х + 7 – а = 0.

Найдем контрольные значения параметра а:

- При а = 4 х = -3/4

- При а ≠ 4 составим выражение для дискриминанта D уравнения:

D = 16-(4-а)(7-а) = -4(а-8)(а-3). D = 0 при а = 8 и а = 3;

тогда при а = 8 х = ½, а при а = 3 х = -2.

При а < 3 и а > 8 D < 0, значит, действительных корней нет

При 3 < а < 8 D > 0, находим корни х_1,2 = -2 ±√(8-а)(а-3) / 4-а

Ответ: при а є (3;4) ﭞ (4;8) х_1,2 = -2 ±√(8-а)(а-3) / 4-а; при а = 3 х = 4;

При а = 4 х = -3/4; при а = 8 х = ½; при а є (0;3) ﭞ (8;∞) решений нет.

Пример №5. При каких значениях а уравнение а*sin х + cos х = 4 имеет решение?

Данное уравнение равносильно системе уравнений:

sin(х + φ) = 4 / √а²+9

sinφ = 3 / √а²+9

cosφ = а / √а²+9

Для того, чтобы уравнение имело решение, необходимо и достаточно, чтобы

| 4 / √а²+9| ≤ 1, √а²+9 ≥ 4, а²+9 ≥ 16, а² ≥ 7 ↔ а ≥ √7

а ≤ -√7

Ответ: а ≥ √7

а ≤ -√7

Уравнения для самостоятельной работы.

Решить уравнения:

sin х + cos(а+х) + cos(а-х) = 2

Ответ: при а є [-π/6 + kπ; π/6 + kπ] х = -arctg 2 *cos а + (-1)ⁿ arcsin 2/√1+4cos² а + nπ,

k,n є Z.

log_х а + log_а^0,5_х(х²√а) = 4

Ответ: при а > 0, а ≠ 1 х = -1±√17 / 8; при а < 0, а = 1 – решений нет

log_а (х²-х-а) = log_а (-х²+2х+3)

Ответ: при 0<а<1, 1<а<2 х = 3±√8а+33 / 4; при 2<а<6 х = 3+√8а+33 / 4; при а<0, а=1, а≥2 нет корней

III тип – трансцендентные уравнения с параметрами, в которых требуется найти те значения параметров, при которых уравнение имеет заданное количество корней или требуется найти количество корней в зависимости от значений параметров.

Пример №1. При каких значениях а уравнение 9^х – (3а-2)3^х + (2а²-а-3) = 0 (1)

Имеет а) два различных корня; b) один корень; с) не имеет корней.

ОДЗ: х є R, а є R.

Введем новую переменную у= 3^х , у > 0 и решим квадратное уравнение относительно у: у²-(3а-2)у + ((2а²-а-3) = 0 (2)

Получим: у₁ = 2а-3, у₂ = а+1

а) у₁ и у₂ будут различными тогда, когда

2а – 3 > 0 а > 1,5 а > 1,5

а + 1 > 0 ↔ а > -1 ↔ а ≠ 4

2а – 3 ≠ а + 1 а ≠ 4

b) уравнение (2), где у= 3^х , будет иметь один корень тогда, когда

2а – 3 > 0 а > 1,5

а + 1 ≤ 0 ↔ а ≤ -1 ↔ Ø

2а – 3 ≤ 0 а ≤ 1,5 -1 < а ≤ 1,5

а + 1 > 0 а > -1 а = 4

2а – 3 > 0 а > 1,5

2а – 3 = а + 1 а = 4

Итак, при а=4 и -1< а ≤1,5 уравнение имеет один корень.

с) Уравнение (2) не будет иметь корней тогда, когда:

2а – 3 < 0 а < 1,5

а + 1 ≤ 0 ↔ а ≤ -1 ↔ а ≤ -1

2а – 3 ≤ 0 а ≤ 1,5 а < -1 → а ≤ -1

а + 1 < 0 а < -1 а < -1

2а – 3 < 0 а < 1,5

а + 1 < 0 а < -1

Ответ: при а >1,5 и а ≠ 4 – два корня; при -1 <а ≤1,5 и а = 4 – один корень;

при а ≤-1 – корней нет.

Пример №2. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение

а / 2х+1 = ℮^-х² ?

1. ОДЗ: х ≠ -1/2, а є R.

2. Перепишем данное уравнение в виде а = ℮^-х² *(2х+1) и рассмотрим функцию

f(х) = ℮^-х² *(2х+1) при х ≠ -1/2

f´(х) = 2℮^-х² - 2℮^-х² (2х+1) = 2℮^-х² (-2х²-х+1)

f´(х) = 0 ↔ -2х²-х+1 = 0; находим х₁= -1 их₂= ½.

3.Найдем промежутки возрастания и убывания функции и построим ее график (рис. 7)

f´(х)

f(х)

х₁= -1 – точка минимума, f(-1) = -1/℮;

х₂= ½ - точка максимума, f(1/2) = 2/ ⁴√℮.

Уравнение горизонтальной асимптоты: у = 0, т.к. limf(х) = 0

х→±∞

Установим, сколько общих точек имеют графики функций у =а и у = (2х+1) ℮^-х² в зависимости от а. Легко видеть, что при а = 0, а < -1/℮ и а > 2/ ⁴√℮ корней нет.

рис.7

При а = -1/℮, а = 2/ ⁴√℮ - один корень; при 0 < а < 2/ ⁴√℮ и -1/℮ < а < 0 – два корня.

Ответ: при а = 0, а < -1/℮ и а > 2/ ⁴√℮ корней нет; при а = -1/℮, а = 2/ ⁴√℮ - один корень; при 0 < а < 2/ ⁴√℮ и -1/℮ < а < 0 – два корня.

Пример №3. При каких значениях а уравнениеcos²х – 3(а+1) cos х + 2а(а+3) = 0 не имеет корней?

Р ешим уравнение методом замены переменной:

cos х = t

|t| ≤ 1

t² - (3а+3)t + (2а² + 6а) = 0

Находим:t₁ = 2а, t₂ = а + 3

И сходное уравнение не будет иметь корней тогда, когда

2а > 1 а > 1/2

а + 3 > 1 ↔ а > -2

2а <-1 а < -1/2 а > 1/2

а + 3 < -1 а < -4 а < -4

2а > 1 а > ½ ↔ Ø

а + 3 < -1 а < -4 -2 < а < 1/2

2а < -1 а< -1/2

а + 3 > 1 а >-2

Ответ: при а є (-∞, -4) (-2, ½) (1/2,∞).

Упражнения для самостоятельной работы №6.

При каких значениях а уравнение sin² х/2 + (3а-2) sin х/2 + 2а² - а – 3 = 0 не имеет корней?

Ответ: а є (-∞, -2) (0,1) (2,∞).

Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение:

а)ln²х = а/х

Ответ: при 0 < а < 4/℮² три корня; при а = 4/℮² два корня; при а > 4/℮² и а = 0 один корень; при а < 0 корней нет.

b)log₃ (9^х + 9а³) = х

Ответ: при 0 < а < 1/ ³√ 36 два корня; при а = 1/ ³√ 36 и а ≤ 0 один корень;

при а > 1/ ³√ 36 нет корней.

Найти все а, при которых уравнение имеет 4 корня:

а) log₃ х² = √|log₃ х|⁸ + а Ответ: при а є (-1/4,0]

b) х² - (3а-1) |х| + 2а² - а = 0 Ответ: при а є (1/2,1) (1, ∞).

4. При каких значениях b уравнение log_2х+1 (3х² - bх – 0,25b) = 2 имеет ровно два различных корня?

Ответ: при b < -4.

Показательные уравнения с параметрами

Рассмотрим показательные уравнения с параметром, сводящиеся к квадратным вида

at²+bt+c=0,

где t=a и t>0.

Теоретической базой решения таких уравнений являются следующие факты:

Теорема Виета:

t +t = -b/a; t –t =c/a.

2. Уравнение (*) имеет 2 различных положительных корня, если имеет решение следующая система ограничений:

a ≠0,

D>0,

c/a>0, где D=b²-4ac.

-b/a>0,

3. Уравнение (*) имеет один корень положительный, а второй отрицательный, если имеет решение следующая система неравенств:

a ≠0,

D>0,

c/a<0.

4. Уравнение (*) имеет единственный положительный корень, если имеет решение хотя бы одна из следующих систем (причем общим решением уравнения (*) является объединение полученных решений):

а) a=0, б) a≠0, в) a≠0, г) a≠0, д) a≠0,

-c/b>0; D>0, D=0, c/a=0, b/a=0,

c/a<0; -b/a>0; -b/a>0; c/a<0.

5. уравнение (*) не имеет положительных корней, если имеет решение хотя бы одна из следующих систем:

а ) a=0, б) a≠0, в) a≠0, г) a≠0, д) a≠0,

-c/b<0; D<0; D≥0, c/a=0, b/a=0,

c/a>0; -b/a<0; c/a>0.

6. Уравнение (*) имеет хотя бы одно решение, если:

а ) a≠0, б) a≠0, в) a=0, г) a≠0,

D≥0, D≥0, -c/a>0; D≥0,

c/a<0; c/a≥0, b/a=0,

-b/a>0; c/a<0. [4]

7. Обобщенный алгоритм решения показательных уравнений, сводящихся к квадратному уравнению(*):

Свести данное уравнение к виду (*).

Сформулировать необходимое и достаточное условие выполнения требования данного задания.

Перебрать все условия, соответствующие заданию.

Обобщить полученные результаты и записать ответ.

Рассмотрим примеры использования перечисленных фактов.

Пример 1.

Найти все значения а, при которых уравнение (р + 1) * 4^х + 8 * 6^х + (р-5) * 9^х = 0 имеет единственное решение.

Решение.

Преобразуем уравнение к виду (р+1) (2/3)^2х + 8(2/3)^х + (р-5) = 0.

Обозначим (2/3)^2х = t, t>0. Получим (р+1)t² + 8t + р = 0 (*)

Данное уравнение будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение (*) имеет единственный положительный корень.

Исследуем перечисленные для этого случая системы ограничений:

а) р+1=0, р-1, р = -1

5-р / 8 > 0; р < 5;

Вывод: р = -1 удовлетворяет условию задачи.

б ) р+1 ≠ 0, р ≠ -1, р ≠ -1,

D/4 = 16-р²+4р+5 > 0, -р²+4р+21 > 0, -3 < р < 7,

р-5 / р+1 < 0 -1 < р < 5; -1 < р < 5

Вывод: значение р є (-1;5) удовлетворяют условию задачи.

в) р+1 ≠ 0, р ≠ -1,

D = 0, р = -3, р = -3

- 8 / р+1 > 0; р = 7,

р < -1;

В ывод: значение р = -3 удовлетворяют условию задачи.

г ) р+1 ≠ 0, р ≠ -1,

р-5 / р+1 = 0, р = 5, р є Ø

- 8 / р+1 > 0; р < -1;

Вывод: р = -5 не удовлетворяет условию задачи.

Обобщим полученные результаты: р = -1, -1 < р < 5, р = -3.

Обобщим решением будет объединение полученных решений: -3 -1;5)

Пример 2.

Найти р, при которых уравнение не имеет корней (р - 1) 4^х + 2р * 2^х + 3р - 2 = 0.

Решение.

1) Пусть 2^х =t, t>0. Тогда данное уравнение примет вид

(р-1)t² + 2рt + 3р -2 = 0 (*)

2) Для того чтобы данное уравнение не имело корней, необходимо и достаточно, чтобы уравнение (*) не имело положительных корней.

3 ) Исследуем решения систем соответствующих отсутствию положительных корней у уравнения (*):

а ) р – 1 = 0 р = 1, р = 1.

- 3р-2 / 2р < 0; р > 2/3, р < 0;

Вывод: р = 1 удовлетворяют условию задачи.

б ) р – 1 ≠ 0 р ≠ 1, р ≠ 1,

D < 0; D/4 = р² - 3р²+5р-2< 0; 2р²-5р+2> 0;

р ≠ 1, р < ½ или р > 2.

р > 2, р < ½

Полученное значение р также удовлетворяет условие задачи.

в) р ≠ 1, р ≠ 1,

D≥0, ½ ≤ р ≤ 2,

- 2р / р-1<0, р>1, р<0,

3р-2 / р-1> 0; р>1, р<2/3; 1< р ≤ 2.

Получим еще одно решение1< р ≤ 2.

г) р ≠ 1, р ≠ 1,

3р-2 / р-1 = 0, р = 2/3, р є Ø.

- 2р / р-1<0; р>1, р<0;

4) Обобщим полученные результаты:

р = 1 р < ½ или р > 2 1< р ≤ 2.

Ответ: р < ½, р ≥ 1.

Пример 3.

При каких р уравнение (р - 3) 4^х– 8 * 2^х + р + 3 = 0 имеет решение.

Решение.

Пусть 2^х =t, t>0, уравнение примет вид (р-3)t² - 8t + р + 3 = 0 (*). Данное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда имеет хотя бы один положительный корень уравнение (*). Это возможно в следующих случаях:

р-3 = 0 → р=3. Уравнение примет вид: -8t=-6,t=3/4 >0, следовательно, при р=3 уравнение (*) имеет один корень.

р≠ 3, р ≠ 3, р ≠ 3

D≥0, ↔ 25 - р² ≥0 ↔ -5 ≤ р ≤ 5, ↔ 3< р ≤ 5

8 / р-3> 0 р > 3 р > 3

Следовательно, при 3< р ≤ 5 уравнение (*) имеет хотя бы один положительный корень.

3) р ≠ 3, р ≠ 3

D≥0, ↔ -5 ≤ р ≤ 5, ↔ -3 < р < 3

р+3 / р-3 <0 -3 < р < 3

Следовательно, при -3< р< 3 уравнение (*) имеет хотя бы один положительный корень.

4 ) р ≠ 3

р+3 = 0 ↔ р = -3, т.е. нет положительных корней.

Объединив полученные результаты решения, запишем ответ.

Ответ: -3< р ≤ 5.

Упражнения для самостоятельной работы №7.[5]

Найти р, при которых уравнения имеют хотя бы один корень:

а) 4^х – р * 2^х - р + 3 = 0 Ответ: р ≥ 2.

б) (р+5) * 9^х + 6 * 3^х р - 3 = 0 Ответ: [-5;3) U {6}.

Найти р, при которых уравнения имеет два корня:

(р+1) * 4^х + 4 * 6^х + (р – 2) * 9^х = 0 Ответ: (2;3).

Найти р, при которых уравнения не имеют решения:

а) р* 4^х+1 - (3р + 1) * 2^х + р = 0 Ответ: р ≤ 0, р > 1

б) (р-4) * 9^х + (р+1) * 6^х + (2р – 1) * 4^х = 0 Ответ: р > ½, р ≥4

Системы уравнений с параметрами

При решении систем уравнений с параметрами, как правило, «работает» следующий алгоритм:

Записывают систему, равносильную исходной, включающую область определения системы и квадратное уравнение, полученное способом подстановки из исходных уравнений системы.

Формулируют необходимое и достаточное условие выполнения требований системы по отношению к квадратному уравнению системы.

Исследуют выполнимость всех требований системы и получают частные решения.

Обобщают полученные результаты и записывают ответ.[5]

Пример 1.

Найти а, при которых система log₂ х + log₂ у = 4, имеет единственное решение.

у = 4 +а(х-3)

Решение.

Упростим данную систему, сведя ее к алгебраической в области определения:

х >0 х > 0

у >0 у >0

ху = 16 у = 4 ах – 3а

у = 4 + ах – 3а ах² + х(4-3а) – 16 = 0 (*)

Исходная система будет иметь единственное решение тогда и только тога, когда единственное положительное решение имеет квадратное уравнение (*) системы. Это возможно при:

а ) а = 0. Уравнение (*) принимает вид 4х-16 = 0 ↔ х=4. Следовательно, при а=0 исходное уравнение имеет единственный корень.

б) а ≠ 0 а ≠ 0

D = 9а² + 40а + 16 = 0 ↔ а = -4 ↔ а = -4

3а-4 / а <0 а = -4/9 а = -4/9

а > 4/3

а <0

При а = -4 или а = -4/9 исходное уравнение также имеет единственное решение.

в) а ≠ 0 а ≠ 0

9а² + 40а + 16 ↔ а > -4/3 ↔ а > 0

-16/а < 0 а < -4

а > 0

При а > 0 исходное уравнение имеет единственное решение.

Ответом будет объединение полученных решений.

Ответ: а = -4, а = -4/9, а ≥0.

П ример 2.

Найти а, при которых система (х + а + 2)² + у² = 1, имеет 4 различных решения.

у² = 2ах

Решение.

Заменим данную систему на ей равносильную, сделав подстановку в первом уравнении:

х² + 2(2а+2)х + а² + 4а + 3 = 0, (*)

у² = 2ах

П олученная система имеет четыре различных решения тогда и только тогда, когда два различных корня имеет уравнение (*) системы. А два различных корня уравнение может иметь при условии

D>0 ↔ 3а²+4а+1>0 ↔ а>-1/3 ↔ -1/3<а<0 ↔ -1/3<а<0 ↔ х<0

2ах>0 2ах>0 а<-1 х<0 а>-1 -1/3<а<0

2ах>0 -2а-2<0 х<0

4а+3>0 а>-3/4

а≥0 а≥0

х>0 а<-1

-2а-2>0 х>0

а<-1 а<-1

х<0 х<0

-2а-2<0 а>-1

Ответ: (-1/3;0).

П ример 3.

Найти а, при которых система у = √х² - 8х имеет решение.

5х – 3у + а = 20

Решение.

Выполнив преобразования, запишем систему, равносильную исходной

у ≥ 0

х = 20-а+3у / 5

16у² + 6ау - а² + 400 = 0 (*)

Полученная система будет иметь решение тогда и только тогда, когда хотя бы один неотрицательный корень имеет квадратное уравнение (*), т.е. если

-3а+√D / 16 ≥ 0. (**)

Решив неравенство (**), получаем: а≤-20, а≥20.

Ответ: (-∞;-20], [20;∞).

Упражнения для самостоятельной работы №8.

Решить систему уравнений при всех действительных значениях а

√х² + 4ах + 4а² + 1 = а

|х+2а| = а – 1

Ответ: при а ≥ 1 х₁ = -а-1, х₂ = 1-3а; при а < 1 нет решений.

При каких а система имеет 2 различных решения

(х – 2а + 1)² + у² = а²

у² = 2х Ответ: (1/3;1) U {3}.

При каких а система имеет решение:

а) х² + 6х + (у+а)² = 16

у/2 = |х| / х Ответ: (-6;7]

б) log₂ (у+а-2) = log₂ (а+х) – 1

у = 2√1-х Ответ: (0;5]

в) у = 2х² / |х| - х

(х+2а)² + (у-а+1)² = 8 Ответ: (-1;3]

При каких значениях а система имеет единственное решение

х + √у = 1

а+3-√у = ½(а-х)² Ответ: {-5/4} U (-1;5]

Приложение

Контрольные работы по способам решения уравнений с параметрами.

Контрольная работа №1.[6]

Тема: Линейные уравнения с параметрами и уравнения, сводящиеся к ним.

Решите следующие уравнения:

1/х – 3/m = 1/mх + 1

2/b(а-2) + 2+3х / (а-2)(х-1) = ах-b / (а-2)(х-1)b

1/k– k = 1-k / k(х-1)

1 / а+b= 1 / а-b- 2b / х

Контрольная работа №2.[6]

Тема: Квадратные уравнения с параметрами и уравнения, сводящиеся к ним.

При каких b оба корня уравнения bх² - 4(2b+1)х + 3b – 2 = 0 больше 2?

При каком р корни уравнения х² + 5рх + 4 = 0 принадлежат отрезку [-2,0]?

Решите уравнения при всех действительных значениях параметра

а) (1+m)х² + 2х + m – 1 = 0

б) у / у+k + 2k / у-k = 4k² / у²-k²

Контрольная работа №3.[6]

Тема: Иррациональные уравнения с параметрами

Решить следующие уравнения:

√а+х + а = √х

b-2х = √3х-b

у√2 - √у²-3а² = √у²+3а²

b –х = √b²-х√х²+b²

√х² - 6х + а = х

Контрольная работа №4.[6]

Тема: Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины.

Решить следующие уравнения:

а) |х-2| = а(х-1)

б) |2х+а| = х-1

в) х² + 3 - |х+а| + 2а = 0

г) |х+2| = |х-2а|

Сколько решений в зависимости от b имеет уравнение |х+4| = 3bх – 3?

Контрольная работа №5.[6]

Тема: Трансцендентные уравнения с параметрами

При каком b уравнение log₂² |х| - (5b+1)log₂ |х| + 6b² + 2b = 0 имеет четыре корня?

При каком а уравнение sin²х – (5а+1)sinх + 6а² + 3а = 0 не имеет корней?

Сколько корней в зависимости от m может иметь уравнение e^х = m/х ?

Решить уравнения при всех а:

а)log_а sinх/2 = 2

б)cоs(ах) = b

Контрольная работа №6.[6]

Тема: Показательные уравнения с параметрами

Найти все а, при которых уравнение 16х + 5|а| 4х + 81 = а2 не имеет корней.

При каких р уравнение (р-1)16х – 4*36х + (р+2)*81х = 0 имеет единственный корень?

Решить уравнение при любом действительном значении а:

а) 25^х + а²(а-1)*5^х – а⁵ = 0

б) (р-1)*4^х – 4* 2^х + р + 2 = 0

Контрольная работа №7.[6]

Тема: Системы уравнений с параметрами

Найти все а, при которых системы имеют решение:

а ) log₂ (1-х) + log₂ (1-у) = 2

у = а – х

б ) (х+а+1)² + (у+2а-2)² = 1

у + |х| = 1

Решить систему уравнений:

а ) log₂ х + log₂ у = 4

у = 4 + а(х-3)

б ) у = а + √х

х + у = 5√х

в ) у = e^lnх

у = а + 5х - х²

Итоговая контрольная работа [1]

Р ешить уравнение при всех действительных значениях а:

√5 – 2х = а – х

Решить уравнение для каждого m: х / 2m + 2 / х-2 = 3х-2m / 2(х-2)

Р ешить уравнение 4^|х| - 2^|х|+1 + а = 0

Решить систему уравнений ах + у = а

х + ау = а²

При каком а уравнение log₃ (4^х + 2а³) = х имеет два корня?

Библиография

Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справочное пособие по математике.-Минск.: Асар, 1996.

Галицкий М.А., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением.-М.: Просвещение, 1992.

Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Шварцбуд С.И. Задачи повышенной трудности для 10-11 классов.-М.: Просвещение, 1990.

Литвиненко И.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению математических задач: Алгебра. Тригонометрия.-М.: Просвещение, 1984.

Мельников И.И., Сергеев И.Н. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах.-М.: Наука, 1980.

Ястребинецкий Г.А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры.-М.: Просвещение, 1972.

Содержание

Пояснительная записка 1

Уравнения с параметром. Линейные уравнения, содержащие параметр 4

Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным 7

Иррациональные уравнения с параметром 11

Уравнения, содержащие абсолютную величину 14

Трансцендентные уравнения с параметром 21

Показательные уравнения с параметрами 26

Системы уравнений с параметрами 30

Приложение 33

Литература 35

Областное государственное автономное образовательное учреждение

дополнительного профессионального образования

(повышения квалификации) специалистов

«Белгородский институт повышения квалификации и профессиональной переподготовки специалистов»

Задачи с параметрами

Способы решения уравнений с параметрами

(проектное задание)

Выполнил:

Беловол Ирина Алексеевна,

учитель математики

МБОУ «Средняя

общеобразовательная школа № 5

с углубленным изучением

отдельных предметов Шебекино

Белгородской области»

Руководитель курса:

Вертелецкая О.В.,

старший преподаватель кафедры

ествественно-математического

образования

Белгород

2012

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/318044-jelektronnyj-obrazovatelnyj-resurs-po-algebre