Теоретический модуль «Показательная и логарифмическая функции»

Алгебра и начала анализа, 11 класс

Показательная и логарифмическая функции

Теоретический модуль

Показательная функция, ( ;)

Определение

Логарифмическая функция , ( ;)

При

возрастает на R

При

убывает на R

Логарифмом положительного числа b по положительному и не равному единице основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

,

( ,,)

При

возрастает на

При

убывает на

Общие свойства показательной функции

Тождества

Общие свойства логарифмической функции

;

не является ни четной, ни нечетной;

не ограничена сверху, ограничена снизу;

не имеет ни наибольшего значения, ни наименьшего значения;

выпукла вниз;

непрерывна;

;

дифференцируема в любой точке области определения.

не является ни четной, ни нечетной;

не ограничена ни сверху, ни снизу;

не имеет ни наибольшего значения, ни наименьшего значения;

выпукла вверх;

непрерывна;

;

дифференцируема в любой точке области определения.

натуральный логарифм, е2,7

Свойства степеней (для неотрицательных а и в)

Свойства логарифмов (для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов)

1.;

2. ;

3. ;

4.;

5.

- При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются;

- При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются;

- При возведении в степень произведения в степень возводится каждый множитель;

- При возведении в степень дроби в степень возводится и числитель и знаменатель;

- При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел –

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов числителя и знаменателя -

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени -

1.

2.

3.

4.

5. - переход к новому основанию

6.

7.

8.

Теорема о равносильности показательных уравнений

Дифференцирование

;

;

Интегрирование

Теорема о равносильности логарифмических уравнений

Показательное уравнение (где ,) равносильно уравнению .

Уравнение, где a>0,, равносильно системе

Теорема о равносильности показательных неравенств

Теорема о равносильности логарифмических неравенств:

Показательное неравенство равносильно:

а) неравенству того же смысла, если ;

б) неравенству противоположного смысла, если .

Неравенство

Приa>1 равносильно системе

Неравенство

При 0<a<1 равносильно системе