МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ по выполнению самостоятельных работ обучающихся по дисциплине «Математика» специальность: 21.02.17 Подземная разработка месторождений полезных ископаемых

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Прокопьевский горнотехнический техникум им. В.П. Романова

Методические рекомендации

по выполнению самостоятельных работ обучающихся по дисциплине «Математика»

специальность:

21.02.17 Подземная разработка месторождений полезных ископаемых

Рассмотрено

на заседании методического совета

ГБПОУ ПГТ им. В.П. Романова

Методист

_________________

«_____» _______________ 20 г.

Пояснительная записка

Настоящий сборник методических рекомендаций предназначен в качестве методического пособия при проведении самостоятельных работ по программе дисциплины «Математика».

Студент должен выполнить самостоятельные работы в объеме 26 часов.

Самостоятельная работа является одним из видов учебных занятий студентов.

Основные цели самостоятельной работы:

систематизация и закрепление знаний и практических умений студентов;

углубление и расширение теоретических знаний, формирование умений использовать справочную документацию и дополнительную литературу;

развитие познавательных способностей и активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

формирование самостоятельного мышления;

развитие исследовательских умений.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

- решать задачи на вычисление объёмов и площадей геометрических фигур;

- решать прикладные задачи с использованием элементов комбинаторики.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

-значение математики в профессиональной деятельности и при освоении ППССЗ;

-основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

- основные понятия и методы математического анализа, линейной алгебры, теории комплексных чисел, теории вероятностей и математической статистики;

- основы интегрального и дифференциального исчисления;

-формулы вычисления площадей плоских фигур и объемов тел вращения;

- формулы комбинаторики.

Каждый студент после выполнения работы должен представить отчет о проделанной работе.

Отчет о проделанной работе следует делать в тетради для самостоятельных работ.

Оценку по самостоятельной работе студент получает, с учетом срока выполнения работы, если:

расчеты выполнены правильно и в полном объеме;

отчет выполнен в соответствии с требованиями к выполнению самостоятельной работы.

Самостоятельная работа студентов способствует формированию профессиональной компетентности, обеспечивает процесс развития навыков самоорганизации и самоконтроля собственной деятельности.

При выполнении данного вида работы знания, полученные студентами на занятиях, интегрируются через дополнительную проработку материала и развитие навыков самостоятельного поиска информации и принятия решений.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен освоить общие и профессиональные компетенции:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ПК 1.1. Оформлять техническую документацию на ведение горных и взрывных работ.

ПК 1.2. Организовывать и контролировать ведение технологических процессов на участке в соответствии с технической и нормативной документацией.

ПК 1.3. Контролировать ведение работ по обслуживанию горно-транспортного оборудования на участке.

ПК 1.4. Контролировать ведение работ по обслуживанию вспомогательных технологических процессов.

ПК 1.5. Обеспечивать выполнение плановых показателей участка. 

ПК 3.3. Анализировать процесс и результаты деятельности персонала участка.

Методические рекомендации разработаны на основе рабочей программы по дисциплине «Математика» для специальности 21.02.17 Подземная разработка месторождений полезных ископаемых.

Самостоятельная работа №1: Доклад на тему «История развития комплексных чисел»

Цель: расширить знания по теме «История развития комплексных чисел», формирование умений и навыков осуществлять поиск и отбор необходимой информации.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9,ПК 1.1-1.5, ПК 3.3

Уметь: пользоваться понятиями теории комплексных чисел.

Знать: основные понятия теории комплексных чисел.

Количество часов: 2

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности, интернет ресурсы.

Форма контроля: письменный отчет.

Задание для выполнения работы:

Подготовить доклад на тему «История развития комплексного числа»

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №1.

Выполнить доклад (см.«Общие требования к выполнению доклада» приложение 2).

Критерии оценки выполнения задания:

Масштаб и глубина проработки материала, полнота раскрытия темы, сумма обобщенного материала, степень критического осмысления. (Приложение 1)

Самостоятельная работа №2: Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах

Цель:закрепить умения и навыки выполнения действий над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9,ПК 1.1-1.5, ПК 3.3

Уметь: выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Знать: основные понятия теории комплексных чисел.

Количество часов: 3

Оборудование: тетрадь для практических работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет.

Задания для выполнения работы:

Задание №1:

Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел :

1 и

2 и

3 и

4 и

5 и

6 и

7 и

8 и

9 и

10 и

Задание №2:

Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Результат записать в алгебраической форме:

6.

7.

9.

Задание №3

Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме. Результат записать в тригонометрической форме:

_10.

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №2

Опр. Комплексными числами называются выражения вида, а+bi, где

а и b - действительные числа, i – мнимая единица, где

Комплексное число принято обозначать буквой z.

z = а+bi

a- действительная часть комплексного числа

b-мнимая часть комплексногочисла.

Правила действий над комплексными числами.

Сложение, вычитание, умножение, деление комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

1.Сложение

(2+3i)+ (5-7i) =2+3i+5-7i=7-4i

2.Вычитание

(2+3i)- (5-7i) =2+3i-5+7i=-3+10i

3.Произведение

(2+3i) (5-7i)=10-14i+15i-21 =10+i-21(-1)=10+i+21=31+i

4.Деление

1)

2)

3)

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Определение:Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего данному комплексному числу.

По теореме Пифагора

-модуль комплексного числа

Пример:z=3+4i

Определение:Аргументом комплексного числа z0 называется угол между положительным направлением оси Ox и вектором, соответствующим данному комплексному числу. - аргумент комплексного числа.

z=a+bi- алгебраическая форма комплексного числа (1)

(2)

Подставим (2) в (1)

- тригонометрическая форма комплексного числа

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

1. Умножение:

Пример:

2.Деление:

Пример:

3. Возведение в степень:

Пример:

Алгоритм перехода из алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической

1) По знакам a и b определить четверть, в которой лежит комплексное число.

2) Найти модуль комплексного числа r:

3) Найти острый угол между осью Ox и вектором, соответствующим данному комплексному числу, для этого вычислитьtg и найти угол .

4) Найти аргумент .

Если комплексное число находится в

1 четверти, то

2 четверти, то

3 четверти, то

4 четверти, то

5) Записать комплексное число в тригонометрической форме

Контрольные вопросы

1.Как производится сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел?

2.Какие числа называются сопряженными комплексными числами?

3.Как геометрически изображаются комплексные числа?

4.Что называется модулем комплексного числа?

5.Что называется аргументом комплексного числа?

6.Как записываются комплексные числа в алгебраической и тригонометрической формах?

7.Сформулируйте правила умножения, деления, возведения в степень для комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

Литература:[5] глава 10 §10.1,10.2, 10.3

Критерии оценки выполнения задания:

- оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение 1)

Самостоятельная работа №3 :Применение производной к исследованию функций и построению их графиков.

Цель:закрепить умения решать задачи на применение производной к исследованию функций, организовывать собственную деятельность, выбирать типовые способы и методы выполнения поставленных задач, воспитывать сознательное отношение к процессу обучения, самостоятельность.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9,ПК 1.1-1.5, ПК 3.3

Уметь: решать задачи на применение производной к исследованию функций..

Знать:основные понятия и методы математического анализа

Количество часов: 4

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет.

Задания для выполнения работы:

Исследовать функцию на экстремум с помощью первой производной:

Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной:

.

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №3

Исследование функций с помощью производной

По знаку производной функции у=f(x) можно судить о поведении функции: если, то функция возрастает в точке х₀, если , то функция убывает в этой точке.

Построим график функции у=f(x)

Р
ис. 2

В точке х₁ функция имеет максимум, т.к. значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к х₁. В точке х₂ функция имеет минимум, т.к. значение функции в этой точке меньше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к х₂.

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции.

Исследование функции на экстремум с помощью первой производной (первое правило)

Найти область определения функции.

Найти первую производную функции.

Найти критические точки, для этого производную приравнять к нулю и решить полученное уравнение.

Отметить на числовой прямой область определения функции и разбить ее критическими точками на интервалы монотонности.

Исследовать знак производной в каждом интервале.

Сделать вывод: если производная при переходе через критическую точку х₀ слева направо меняет знак с плюса на минус, то при х=х₀ функция имеет максимум, если с минуса на плюс, то – минимум, если производная не будет менять знака, то нет ни максимума, ни минимума.

Вычислить максимальные и минимальные значения функции, для этого критические значения аргумента нужно подставить в данную функцию y=f(x).

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Областью определения является множество всех действительных чисел, т.е. .

Найдем производную функции

.

Так как эта функция имеет производную всюду, то критические точки определим, решая уравнение: .

.

Отметим критические точки на числовой прямой (рис. 3)

Исследуем знак производной в каждом из полученных интервалов:

Делаем вывод: при переходе через точку х=0 производная меняет знает с плюса на минус, следовательно, при х=0 функция имеет максимум. При нет ни максимума, ни минимума, т.к. при переходе через эти точки производная сохраняет свой знак.

Исследование функции на экстремум с помощью второй производной

(второе правило)

Найти область определения функции.

Найти первую производную функции.

Найти стационарные точки, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль.

Найти вторую производную функции.

Исследовать знак второй производной в каждой критической точке.

Сделать вывод: если вторая производная в точке х₀ положительна , то х=х₀ – точка минимума, если вторая производная в этой точке отрицательна , то х=х₀ – точка максимума.

Найти максимальные и минимальные значения функции.

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е. .

Находим первую производную функции

.

Функция имеет производную всюду, поэтому критические точки находим, решая уравнение

.

Находим вторую производную функции

.

Исследуем знак второй производной в каждой критической точке:

Делаем вывод: т.к. , то х=0 – точка минимума; т.к. , то х=-2 – точка максимума.

Расчетное задание

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте физический смысл производной.

Сформулируйте признак возрастания и убывания функции.

Какие точки называются точками экстремума функции?

Сформулируйте достаточное условие существования экстремума с помощью производной первого порядка.

Сформулируйте достаточное условие существования экстремума с помощью производной второго порядка.

Сформулируйте правило отыскания экстремума функции с помощью производной первого порядка.

Сформулируйте правило отыскания экстремума функции с помощью производной второго порядка.

Литература:[5] глава 12 §12.3, 12.4

Критерии оценки выполнения задания:

- оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение 1);

- аккуратность, эстетичность.

Самостоятельная работа №4 :Вычисление интегралов.

Цель:закрепить умения и навыки вычисления интегралов, организовывать собственную деятельность, выбирать типовые способы и методы выполнения поставленных задач, воспитывать самостоятельность и чувство ответственности за результат выполняемой работы.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9,ПК 1.1-1.5, ПК 3.3

Уметь: вычислять интегралы.

Знать:основные понятия и методы математического анализа

Количество часов: 2

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет.

Задания для выполнения работы:

Найти неопределенные интегралы:

Вычислить определенные интегралы:

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №4

Неопределенный интеграл и его свойства.

В предыдущей теме вы познакомились с тем, как, имея функцию, найти ее производную. Часто приходится решать обратную задачу: по производной нужно восстановить первоначальную функцию. Эта функцияF(х) называется первообразной для функции f(x), если выполняется равенство .

Например, для функции первообразной будет функция , т.к. .

Для каждой функции существует множество первообразных, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым С, где С – произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных F(x)+C для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается: .

Процесс нахождения интеграла называетсяинтегрированием функции.

Формулы интегрирования

1.2.;

3.;4.;

5.;6.;

7.;8.;

9.. 9.

10.

При нахождении интегралов применяют следующие свойства:

I., где k – постоянная.

II. .

Непосредственное интегрирование

Этот метод заключается в том, что данный интеграл путем простейших тождественных преобразований и применения свойств неопределенного интеграла приводят к табличным интегралам.

Пример 1. Найти неопределенный интеграл:

а);

б).

Решение.

а) Применяя свойства I и II, представим интеграл в виде суммы табличных интегралов:

теперь применим формулы 1, 6 и 3, получим

.

б) Преобразуем подынтегральное выражение, применив определение степени с дробным показателем и отрицательным и правило умножения степеней с одинаковыми основаниями:

Затем найдем интеграл, применяя формулу 2:

Интегрирование методом подстановки

Метод подстановки применяют в том случае, если с помощью элементарных преобразований интеграл нельзя привести к табличному. Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:

часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной;

найти дифференциал от обеих частей замены;

все подынтегральное выражение нужно выразить через переменную (после чего должен получиться табличный интеграл;

найти полученный табличных интеграл;

вернуться к прежней переменной.

Пример2. Найти интеграл .

Решение. Применим подстановку , где t – новая переменная. Найдем дифференциал от обеих частей равенства:

откуда

Выразим подинтегральное выражение через новую переменную t, применим свойство I и формулу 2 и вернемся к прежней переменной х:

Пример 3. Найти интеграл

Решение. Применим подстановку: , тогда , откуда .

Далее подынтегральное выражение выразим через новую переменную, применим свойство I, формулу 5 и вернемся к прежней переменной.

.

Определенный интеграл и его свойства.

- это неопределенный интеграл. Если аргумент изменяется от х=а до х=в, то первообразная функция F(x)+c получит приращение F(в)-F(a).Это приращение называют определенным интегралом и обозначают

,

где а – нижний предел интегрирования,

в – верхний предел.

Основные свойства определенного интеграла

Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

.

При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

.

Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

, где a<c<в.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, k – постоянная.

Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от каждой функции:

.

Непосредственное вычисление определенного интеграла

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, применяют формулу Ньютона-Лейбница:

.

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:

найти неопределенный интеграл от данной функции;

в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний пределы интегрирования;

из первого результата подстановки вычесть второй.

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Применяя свойство IV и указанное правило, получим:

.

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. Для приведения интеграла к табличномупочленно разделим подынтегральную функцию на знаменатель, дробь сократим, затем применим свойства IV и V и формулы 1 и 3, получим:

Вычисление определенного интеграла методом подстановки

Вычисление интеграла данным методом состоит в следующем:

Часть подынтегральной функции заменить новой переменной.

Найти дифференциал от обеих частей замены.

Найти новые пределы интегрирования.

Все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл).

Вычислить полученный определенный интеграл.

Пример 6. Вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку 11+5х=t, тогда

Определим пределы интегрирования новой переменной t.

При х=-2 получаем t=11+5(-2)=11-10=1,

При х=-1 получаем t=11+5(-1)=11-5=6.

Выразив подинтегральноевыражение через новую переменную t и перейдя к новым пределам интегрирования, получим:

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение. Применим подстановку: cosx=t, тогда dt=-sinxdx иsinxdx=-dt. Определим пределы интегрирования для новой переменной t. При х=0 получаемt=cos0=1, при получаем .

Выразив подинтегральноевыражение через t и dt и перейдя к новым пределам интегрирования, получим:

.

Контрольные вопросы

1. Какая функция называется первообразной?

Что называется неопределенным интегралом?

В чем состоит метод непосредственного интегрирования?

В чем состоит метод замены переменной?

Сформулируйте правило вычисления определенного интеграла.

Литература:[5] глава 13 §13.1, 13.2

глава 14 §14.2, 14.3

Критерии оценки выполнения задания:

- оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение 1);

- аккуратность, эстетичность.

Самостоятельная работа №5:Решение задач на вычисление объёмов и площадей геометрических фигур.

Цель:закрепить умения решать задачи с помощью определенного интеграла, организовывать собственную деятельность, выбирать типовые способы и методы выполнения поставленных задач, развивать такие профессиональные способности, как организованность, собранность, внимание, аккуратность.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9,ПК 1.1-1.5, ПК 3.3

Уметь: решать задачи с помощью определенного интеграла.

Знать:основные понятия и методы математического анализа

Количество часов: 4

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет.

Задания для выполнения работы:

Решить задачи:

Вариант 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у=х² +2, x=-1,x=1,y=0 (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у² = 4х и прямой у = х (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х³, х=1, у=8 (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х²-2х+4, х=-1, у=3 (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х²-4х+4, у= 4-х² (сделать чертеж).

Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями у = 4 - х² и у = 0 (сделать чертеж).

Вариант 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² и у²=х (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , х = 1 , х = 3, у = 0 (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , у=0, х =-1, х=2 (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х²-4х+8, х=0, х=2, у=0 (сделать чертеж).

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х², у= 2x-х² (сделать чертеж).

Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями у = 9 - х² и у = 0 (сделать чертеж).

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №5.

Понятие определенного интеграла широко используется для вычисления различных геометрических и физических величин.

Площади плоских фигур

Площадь криволинейной трапеции аАВв (рис.3), ограниченной графиком непрерывной функции , отрезком ав оси ох и прямымих=а и х=в, вычисляется по формуле:

.

Еслиf(x)<0, то .

Рис.3.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми х=-1 и х=2 и осью абсцисс (рис.4).

Рис.4

Решение. Сделаем чертеж, для этого построим каждую из заданных линий. Применим формулу:

.

Получим:

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим каждую из заданных линий (рис.5).

Рис.5

Так как f(x)<0, то применим формулу , получим:

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у²=4х и у=х.

Решение. Сделаем чертеж (рис.6), для этого построим каждую из заданных линий:

Рис. 6

Так как y>0, то используем формулу .

Найдем пределы интегрирования, для этого найдем абсциссы точек пересечения заданных линий, решив систему уравнений:

х²= 4х, х²- 4х = 0; х (х - 4) = 0 или х = 0 или х – 4 = 0, х = 4.

а = 0, в = 4.

Площадь искомой фигуры найдем как разность площадей двух плоских фигур:

Вычисление объемов тел вращения

Рис.7

Объем тела, образованного вращением вокруг осиОх криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией у=f(x), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=в вычисляется по формуле:

.

Пример 4. Вычислить объем шара радиуса R.

Решение. Шар образован вращением вокруг оси Ох полукруга, ограниченного дугой окружности с центром в начале координат и радиусом R.

Выразиму²;.

Рис.8

Применяя формулу , получим:

Если плоская фигура вращается вокруг оси Оу, то объем полученного тела вычисляют по формуле: , где а и в – пределы изменения переменной у.

Пример 5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой и прямой у=2.

Решение. Сделаем чертеж.

Рис.9

Полученное тело называется параболоидом и объем его вычислим по формуле:

, где х²= у – 1.

Путь, пройденный точкой

Если точка движется прямолинейно и ее скорость V=V(t) – функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени , вычисляется по формуле:

.

Пример 6. Тело движется прямолинейно со скоростью V(t) = 0,1t³ (V – в м/с). Вычислить путь, пройденный телом за 10 секунд.

Решение. Применяя формулу , находим:

Расчетное задание

Контрольные вопросы

1. Какая плоская фигура называется криволинейной трапецией?

2. Какой формуле вычисляется площадь криволинейной трапеции?

3.Какой формуле вычисляется площадь криволинейной трапеции?

По какой формуле вычисляется площадь криволинейной трапеции?

По какой формуле вычисляется объем тела вращения?

Литература:[5] глава 14 §14.5, 14.6

Критерии оценки выполнения задания:

- оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение 1);

- аккуратность, эстетичность.

Самостоятельная работа №6: Решение дифференциальных уравнений первого и второго порядков.

Цель: закрепить умения решать простейшие дифференциальные уравнения, организовывать собственную деятельность, выбирать способы и методы выполнения поставленных задач, воспитание самостоятельности и чувства ответственности за результаты выполняемой работы.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9,ПК 1.1-1.5, ПК 3.3

Уметь: решать дифференциальные уравнения первого и второго порядка.

Знать:основные понятия и методы математического анализа

Количество часов: 3

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет.

Задания для выполнения работы:

Решить дифференциальные уравнения:

Дано уравнение . Найти решение, удовлетворяющее начальным условиям: у = 2 при х = 1.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Дано дифференциальное уравнение . Найти интегральную кривую, проходящую через точку (0; -2).

Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее условию:

Найти частное решение дифференциального уравнения , если при х = 2 у = 6.

Найти общий интеграл уравнения .

Найти частное решение дифференциального уравнения

Найти частное решение дифференциального уравнения

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы № 6

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, ее производную или дифференциал функции.

Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называетсядифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения , где y=f(x) – искомая неизвестная функция, - ее производная по х, а F – заданная функция переменных .

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , обращающая это уравнение в тождество.

Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении С:, где С₀ – фиксированное число.

График любого частного решения дифференциального называется интегральной кривой. Общему решению этого уравнения соответствует семейство интегральных кривых.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, удовлетворяющее начальному условию . Другими словами, из всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения требуется выделить ту, которая проходит через данную точку (х₀, у₀).

Пример 1. Составить уравнение кривой, если угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен 3х+1.

Решение. Так как на основании геометрического смысла производной , то получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Чтобы найти искомую функцию y=f(x), надо проинтегрировать обе части уравнения

Итак, - общее решение дифференциального уравнения.

Геометрически это решение представляет собой семейство парабол. Чтобы из общего решения выделить частное решение, надо задать начальные условия. Пусть парабола проходит через т. А(-1; 2). Подставим начальные условия в общее решение и выразим С, получим:

, откуда С=1,5.

Найденное значение С подставим в общее решение, получим:

у = 1,5х² + х + 1,5 – частное решение.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение вида , где - непрерывные функции, называетсядифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Чтобы решить такое уравнение, нужно:

переменные разделить:

или

,

обе части проинтегрировать:

.

Переменные разделены, если каждая часть уравнения представляет собой произведение функции, зависящей только от одной переменной, на дифференциал этой переменной.

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Переменные уже разделены, поэтому можно проинтегрировать обе части уравнения

, применяя формулы интегрирования, получим:

(произвольную постоянную мы обозначаем не через С, а через , т.к. она может принимать любые значения. Это мы сделаем для удобства потенцирования).

Потенцируем:, откуда - общее решение.

С геометрической точки зрения – это множество прямых, проходящих через начало координат.

Пример 3. Решить уравнение ydy=xdx. Найти частное решение, удовлетворяющее условию: у=4 при х=-2.

Решение. Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим общее решение

.

Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представлено в виде . Тогда . Подставив в общее решение значения у = 4 и х = -2, получим 16 = 4 + с, откуда с = 12.

Итак, частное решение, удовлетворяющее начальному условию, имеет вид:

.

Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения , если у=3 при х=0.

Решение. Заменим , а затем умножим все члены на dx получим:

.

Обе части равенства разделим на (2+у):

Переменные разделены, можно интегрировать

.

Выразим х через логарифм: .

Тогда получим: .

Потенцируя, находим:

- это общее решение.

Чтобы найти частное решении, подставим в общее решение х=0, у=3 и определим с:

т.к.е⁰ = 1, то 3 = с - 2, с = 5.

Найденное значение С подставим в общее решение, получим: - частное решение.

Контрольные вопросы

Какое уравнение называется дифференциальным?

Что называется порядком дифференциального уравнения?

Что называется задачей Коши?

Как из общего решения получить частное решение?

Что значит разделить переменные?

Литература:[6] глава 23 §23.1, 23.2, 23.3, 23.5

Критерии оценки выполнения задания:

- оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение 1);

- аккуратность, эстетичность.

Самостоятельная работа №7:Решение комбинаторных задач.

Цель: закрепить умения решать простейшие комбинаторные задачи, организовывать собственную деятельность, выбирать способы и методы выполнения поставленных задач.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9,ПК 1.1-1.5, ПК 3.3

Уметь: решать комбинаторные задачи.

Знать:основные понятия теории вероятности .

Количество часов: 2

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет .

Задание для выполнения:

1. Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов из состава конференции, на которой присутствует 15 человек?

2. У одного человека есть 11 книг по математике, а у другого – 15 книг. Сколькими способами они могут выбрать по 3 книги каждый для обмена?

3. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани пяти различных цветов?

4. Сколькими способами 6 человек могут сесть на 6 стульев?

5. Сколько перестановок можно образовать из букв слова «элемент»?

6. Из группы в 20 голов крупного рогатого скота, предназначенного для откорма, для контрольного определения среднесуточного привеса отбирается группа из 8 животных. Сколькими способами это можно сделать?

7. В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его заместителя, секретаря и культорга. Сколькими способами это можно сделать?

8. Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани шести разных цветов и все стулья должны быть разного цвета?

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №7

Размещениями из элементов по элементов называются такие комбинации, которые отличаются друг от друга как самими элементами, так и их порядком.

Число возможных размещений из различимых элементов по находят по формуле:

Перестановками из элементов называются такие комбинации, которые отличаются друг от друга только порядком входящих в них элементов.

Число возможных перестановок из различимых элементов находят по формулам:

Сочетанияиз элементов по – такие комбинации, которые отличаются друг от друга входящими в них элементами. Порядок в комбинации не важен.

Число возможных сочетаний из различимых элементов по находят по формулам:

Контрольные вопросы

Что такое размещения, перестановки, сочетания?

Дайте определение символа !?

Какие формулы существуют для нахождения числа размещений, числа перестановок, числа сочетаний?

Литература:[5] глава 9 §9.1

Критерии оценки выполнения задания:

- оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение1);

- аккуратность, эстетичность.

Самостоятельная работа № 8: Доклад на тему «История развития теории вероятностей»

Цель:расширить знания по теме «История развития теории вероятностей», формирование умений и навыков осуществлять поиск и отбор необходимой информации.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9,ПК 1.1-1.5, ПК 3.3

Уметь:пользоваться понятиями теории вероятностей.

Знать:основные понятия теории вероятностей.

Количество часов: 2

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности, интернет ресурсы.

Форма контроля: письменный отчет.

Задание для выполнения работы:

Подготовить доклад на тему «История развития теории вероятностей»

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №8.

Выполнить доклад (см. «Общие требования к выполнению доклада» приложение 2).

Критерии оценки выполнения задания:

Масштаб и глубина проработки материала, полнота раскрытия темы, сумма обобщенного материала, степень критического осмысления.

Самостоятельная работа № 9: Доклад на тему «История развития математической статистики»

Цель:расширить знания по теме «История развития математической статистики».

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9,ПК 1.1-1.5, ПК 3.3

Уметь: находить основные числовые характеристики.

Знать:основные понятия теории вероятностей и математической статистикиКоличество часов: 2

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности, интернет ресурсы.

Форма контроля: письменный отчет.

Задание для выполнения работы:

Подготовить доклад на тему «История развития математической статистики»

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №9.

Выполнить доклад (см. «Общие требования к выполнению доклада» приложение 2).

Критерии оценки выполнения задания:

Масштаб и глубина проработки материала, полнота раскрытия темы, сумма обобщенного материала, степень критического осмысления.

Самостоятельная работа №10:Выполнение операций над матрицами.

Цель: закрепить умения и навыки выполнения операций над матрицами, развивать такие профессиональные способности, как организованность, собранность, внимание, аккуратность.

Проверяемые результаты обучения: ОК 1-9,ПК 1.1-1.5, ПК 3.3

Уметь: выполнять действия над матрицами.

Знать:основные понятия линейной алгебры.

Количество часов: 2

Оборудование: тетрадь для самостоятельных работ, конспект, учебники, пишущие принадлежности.

Форма контроля: письменный отчет.

Задания для выполнения работы:

Выполнить действия над матрицами и найти определитель матрицы А .

1.1. , . Найти .

1.2. , . Найти 

1.3. , . Найти .

1.4. , . Найти .

1.5. , . Найти .

1. 6. , . Найти .

1. 7. , . Найти .

1. 8. , . Найти .

1. 9. , . Найти .

1.10. , . Найти .

Методические рекомендации к выполнению самостоятельной работы №10.

Контрольные вопросы

Как осуществляется операция умножения матрицы на число?

По какому правилу производится умножение матриц?

Литература: [7] гл.1 §5, гл. 4 §1

Критерии оценки выполнения задания:

- оформление задания в соответствии с предъявляемыми требованиями (приложение 1);

- аккуратность, эстетичность.

Приложение 1

Требования к выполнению расчетного задания

Выполнению расчетных заданий должно предшествовать изучение всех вопросов темы по дисциплине в соответствии с рекомендациями методических указаний. Защита работ производится в форме письменного отчета с учетом срока выполнения работы.

Расчетные задачи выполняются в тетрадях для самостоятельных работ, в том порядке, в котором они даны. Обязательно пишется тема , цель самостоятельной работы, условие задачи, что дано, решение и ответ в полной форме.

Приступая к выполнению индивидуального задания, внимательноизучите теоретический материал данной темы по конспекту лекцийи по рекомендованному учебнику математики.

Критерии оценки выполнения самостоятельной работы

Максимальное количество баллов за каждое расчетное задание 100 баллов. Связь рейтинга студента с итоговой оценкой по дисциплине представлена в таблице.

Таблица – Шкала оценок

Любая контрольная точка, выполненная после срока без уважительной причины, оценивается на 10 % ниже.

– Оценки видов работ

Приложение 2

Общие требования к выполнению доклада

Доклад - это исследование на заданную тему, сделанный на основе критического обзора литературы и других ис­точников.

Доклад, как вид самостоятельной работы, используется в учебных и внеаудиторных занятиях, способствует формированию умений исследовательской работы, расширяет познавательные интересы, приучает критически мыслить. При написании док­лада по заданной теме составляется план, подбираются основ­ные источники. В процессе работы с источниками системати­зируются полученные сведения, делаются выводы и обобще­ния.

Цель написания доклада состоит в том, чтобы научить обучающихся связывать тео­рию с практикой, пользоваться литературой, статистическими данными, привить умение популярно излагать сложные вопросы.

Этапы работы над докладом:

подбор и изучение источников по теме;

обработка и систематизация материала;

разработка плана доклада.

подготовка выводов и обобщений;

написание доклада.

публичное выступление с результатами исследования.

В докладе соединяются три качества исследователя: умение провести исследование, умение преподнести результаты слушателям и квалифицированно ответить на вопросы.

Структура доклада:

содержание;

краткое введение;

изложе­ние основного содержания темы;

заключение;

список использованной литературы;

приложения (если таковы имеются).

Требования к письменному оформлению доклада:

доклад необходимо оформить в текстовом редакторе MicrosoftOfficeWord;

размер страницы – А4;

поля – обычные (левое – 3 см, правое – 1,5 см, нижнее – 2 см, верхнее – 2 см);

шрифт – times new roman, размер – 14 пт;

межстрочный интервал – 1,5;

объем: 3 – 4 страницы;

доклад сдается на проверку на листах белой бумаги формата А4.

Продолжительность выступления – 5-7 минут. Текст доклада должен быть существенным и лаконичным. Выступление начинается с представления темы доклады, завершается словами «Спасибо за внимание! Слушаю ваши вопросы».

Список источниов

Основные источники:

Данилов, Ю.М. Математика [Электронный ресурс] / Данилов Ю. М., Никонова Н. В., Нуриева С. Н. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2016. - (ЭБС Знаниум)

2. Дадаян, А.А.Математика  [Электронный ресурс] / А.А. Дадаян. — М. : ИНФРА-М, 2018.  - (ЭБС Знаниум)

Дополнительные источники:

5. Колягин, Ю.М. Математика [Текст]: Учебное пособие: В 2 кн. Кн.1. / Ю.М.Колягин, Г.Л. Луканкин, Г.Н.Яковлев. - М.: ООО «Издательство Новая Волна», 2008.-656 с.: ил.

6. Колягин, Ю.М. Математика [Текст]: Учебное пособие: В 2 кн. Кн.2. / Ю.М.Колягин, Г.Л. Луканкин, Г.Н.Яковлев. - М.: ООО «Издательство Новая Волна», 2008.-592 с.: ил.

7. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: В 2ч. Ч.1 Учебное пособие для вузов / П.Е.Данко, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. - М.: Издательский дом « ОНИКС 21 век»: Мир и образование,2002.-304 с.: ил.

8. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах [Текст]: В 2ч. Ч.2 Учебное пособие для вузов / П.Е.Данко, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. - М.: ООО «Издательский дом ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и образование»,2002.-416 с.: ил.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/371681-metodicheskie-rekomendacii-po-vypolneniju-sam