В царстве треугольников

Конспектурокав 7 классе «Вцарстветреугольников».

Цели:

обобщить и систематизировать знания учеников о треугольнике, его элементах; рассмотреть свойства замечательных линий треугольника; показать прикладную направленность свойств треугольника;

развивать и обогащать пространственное мышление, развивать познавательные умения;

формировать навыки групповой работы в сочетании с самостоятельностью учеников,

формировать навыки культурной дискуссии.

Подготовка к уроку.

Группа разбивается на 5 подгрупп. Каждая из них получает отдельное задание по теории. Она должна изучить соответствующие разделы учебника, прочитать дополнительную литературу и приготовить один-два типичных задания по заданной теме.

Задания.

«Дать определение треугольника, его элементов»; записать «Неравенства треугольника»; «Средней линии треугольника», «Сумма углов треугольника», «Виды треугольников».

Признаки равенства и подобия треугольников.

Замечательные линии треугольников. Теорема Чевы.

Применение свойств треугольника при решении задач практического характера.

Занимательная геометрия. Треугольник в художественной литературе.

Нужно приготовить карточки-задания (по одной на парту) с вопросами по каждому сообщению. Это делается для того, чтобы все внимательно слушали и смогли найти ответ на вопрос из карточки. А чтобы ученики не могли по номеру догадаться, когда наступит их черед отвечать на данный вопрос, номер вопроса на карточке должен быть произвольным.

Вопросы.

21. Существует ли треугольник ABC со сторонами:

а) АВ = 5 см, АС = 18 см, ВС = 12 см?

б) АВ = 7 см, АС = 8 см, ВС = 12 см?

42. Как установить, равны два треугольника или нет?

45. Назовите свойства равнобедренного треугольника. Какие из них содержатся в определении, а какие нужно доказывать?

28. Есть ли ошибки в следующих определениях:

а) Треугольник, у которого две стороны и два угла равны, называется равнобедренным?

б) Средней линией треугольника называется прямая, проходящая через середины двух его сторон.

в) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон и параллельный основанию.

18. Могут ли равносторонние треугольники быть:

а) прямоугольными?

б) тупоугольными?

Ответ обоснуйте.

63. Как найти центр окружности, если он неизвестен?

37. В каком месте открытого участка треугольной формы нужно поместить фонарь, чтобы все три угла были одинаково освещены.

57. В треугольной пластине нужно так просверлить отверстие, чтобы оно было равноудалено от ее сторон. Где находится центр этого отверстия?

Оборудование.Персональный компьютер, класс-комплект, мультимедийный проектор, презентация «В мире треугольников», карточки-задания.

Ход урока.

Вступительное слово преподавателя из истории треугольника.

Природа говорит языком математики:

буквы этого языка – круги, треугольники

и иные математические фигуры.

Галилео Галилей

Треугольник – это простейшая фигура из многоугольников: три стороны, три угла – играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

Изучение треугольника породило целую науку – тригонометрию, которая возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт местности, конструировании различных механизмов.

Первые упоминания о треугольнике и его свойствах содержатся в египетских папирусах. 4 000 лет назад в них, например, предлагается находить площадь равнобедренного треугольника как произведение половины основания на боковую сторону, хотя для любого равнобедренного треугольника с малым углом при вершине, противоположной основанию, такой способ дает приближенное значение площади.

Через 2 000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника ведется очень активно. Пифагор открывает свою теорему (Как звучит эта теорема? – Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.); Герон Александрийский находит формулу, выражающую площадь треугольника через его стороны (Запись формулы на доске - где p – полупериметр треугольника), которая получила название формулы Герона; становится известным, что биссектрисы, как и медианы и высоты пересекаются в одной точке.

Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV-XVI веках. Вот одна из красивейших теорем того времени, принадлежащая Леонарду Эйлеру: «Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков высот от вершины до точки их пересечения лежат на одной окружности». Эта окружность получила название «окружности девяти точек». Ее центр оказался в середине отрезка, соединяющую точку пересечения высот с центром описанной окружности.

Огромное количество работ по геометрии треугольника, проведенное в XV-XIX веках, создало впечатление, что о треугольнике уже известно все. Тем удивительнее было открытие, сделанное американским математиком

Ф. Морли. Он доказал, что если в треугольнике через вершины провести лучи, делящие углы на три равные части, то точки пересечения смежных трисектрис являются вершинами равностороннего треугольника.

Вы изучали подробно свойства треугольника в школе. Сегодня мы обобщим ваши знания, приведем их в систему и, возможно, вы узнаете что-то новое о треугольнике.

Выступает первый представитель первой группы, который дает определение треугольника, его элементов. Также он рассказывает о «неравенствах треугольника», разных видах треугольников, дает определение средней линии треугольника, формулирует теорему о сумме углов треугольника.

(Основные положения записываются в тетрадях)

- На чьих карточках вопросы соответствуют докладу первой группы?

Ученики поочередно зачитывают свои вопросы (21, 45, 28, 18, 72) и отвечают на них. Далее продолжается отчет первой группы. Ее следующий представитель демонстрирует решение одной из выбранных ранее задач.

– Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся) геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на трех китах – трех признаках равенства треугольников. Лишь на рубеже XIX – XX веков математики научились строить геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятия геометрического преобразования, которому мы посвятим отдельные уроки. А сегодня вспомним три признака равенства треугольников.

Представитель второй группы формулирует эти признаки.

- А еще в геометрии существуют отдельные признаки равенства для прямоугольных треугольников:

1. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то данные треугольники равны.

2. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

Ученики разбирают ответы по карточкам (42, )

– Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых замечательных точек и линий, простейшие из которых мы и рассмотрим.

Представители третьей группы формулируют и демонстрируют свойства замечательных линий и точек, а также «Теорему Чевы».

Далее решаются задачи по карточкам (63, 37, 57).

– Немаловажный вопрос данного урока – прикладная направленность свойств треугольника. Приведем несколько примеров.

Инженеры любят треугольник за его «жесткость»: даже если стержни, образующие треугольник, соединить шарнирно, то его невозможно изменить, в отличие от четырехугольников и многоугольников с большим числом сторон, где такое соединение допускает изменение формы многоугольника. Взгляните на металлические фермы мостов – составляющие их балки образуют треугольники. А устойчивы они потому, что через три точки всегда проходит плоскость..

Даже в такой, казалось бы, далекой от геометрии науке – психологии не обошлось без треугольника. Американский психолог Картман разработал так называемый «Драматический» или «Конфликтный треугольник», позволяющий построить психологически здоровую личность.

А представитель четвертой группы расскажет нам о возникновении тригонометрии – науки об измерении треугольника, которая появилась из практической деятельности человека.

VI. - Французский император Наполеон Бонапарт был любителем математики. Он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одно из свидетельств тому – несколько составленных им геометрических задач.

ЗадачаНа сторонах произвольного треугольника АВС внешним образом построены как на основаниях равнобедренные треугольники. Доказать, что центры этих треугольников также являются вершинами равностороннего треугольника.

В₁

В

С₁

О₂

О₁

А С

О₃

А₁

- Первый представитель пятой группы демонстрирует решение задачи

- Второй представитель пятой группы демонстрирует решение задачи из задачника 1150 года «Венец системы»:

Над озером тихим, с полфута размером,

Высится лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока? (Перевод

Решение. По теореме Пифагора:

ПустьDC = х, тогда

BD²– x²= BC², т.е.

x²= (x + ² – 2², С В

x²=x²+ x +1/4 – 4

х = 3 .

D

Ответ: искомая глубина 3 фута.

^{VII. Подведение итогов урока.}

VIII. Домашнее задание.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/434145-v-carstve-treugolnikov