Открытый урок по алгебре «Формулы приведения» , 10 класс

Конспект открытого урока по алгебре и начала математического анализа в 10 классе

Тема: Формулы приведения.

Разработка учителя математики Васильченко Елена Валерьевна

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

формулы приведения;

мнемоническое правило для формул приведения;

преобразование тригонометрических выражений на основе использования формул приведения;

вычисление значений тригонометрических выражений на основе формул приведения;

доказательство тригонометрические тождества на основе формул приведения;

решение уравнения с использованием формул приведения.

Цели урока:

- введение формул приведения; формирование умений и навыков применения формул приведения при преобразовании тригонометрических выражений и решении простейших тригонометрических уравнений;

- формирование навыков самостоятельной работы над поставленной проблемой;

- развитие умения вести деловую беседу, критического отношения к самому себе.

Ход урока

- Используя формулы сложения, выполните задания

Я попрошу к доске двух учащихся. Записать нужно только ответ.

- Что вы получили?

- Что позволили сделать формулы сложения в рассматриваемой ситуации?

- Что у этих формул общего?

(- Они позволяют привести значение тригонометрических функций к более удобным для данной задачи углам) Выражения типа π + α, 3π/2 – α , π/2 + α и т.п. можно упростить так, что они будут состоять лишь из одного аргумента α)

- А раз они ПРИВОДЯТ, как бы вы их назвали?

- Сформулируйте тему нашего урока

- Итак, сегодня на уроке мы познакомимся с формулами приведения, научимся применять их при преобразовании тригонометрических выражений.

(Запись темы урока).

Формулы приведения – это формулы, которые позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.

III. Объяснение нового материала:

Для вычисления углов больше 90  используют формулы приведения. Они позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.

Пример: Вычислить   и .

Представим число  .

Рассмотрим точку А(1;0) на единичной окружности. При повороте вокруг начала координат на угол α она сделает 2 полных оборота и ещё повернётся на угол α. Переместится в точку В, в которую могла бы попасть, сделав поворот на угол α .

Значит,  ,  .

А так как  , то  ,

Количество полных оборотов по 360  или по   может выражаться любым целым числом k, как положительным, так и отрицательным и нулём. При повороте точки А(1;0) на угол  , где k  получается та же самая точка, что при повороте на угол α

Рисунок 1 – точки А и В на единичной окружности

Справедливы равенства:

, где , , где

Пусть точка А(1;0) переместилась в точку В₁ при повороте на угол   и в точку В при повороте на угол  (рис. 2).

Рисунок 2 – точки А, В, В1 на единичной окружности

Запишем   в виде:  . На единичной окружности точки В₁ и В симметричны относительно оси Оу, значит их ординаты (синусы) равны, абсциссы (косинусы) – противоположные числа.

Поэтому  , а  .

А так как  , то  ,  .

Помним, что  , тогда  ,  .

Докажем, что для всех углов α справедливы формулы:

,  .

Воспользуемся формулой синуса и косинуса разности: , подставим известные значения   в формулу, получаем:

.

 (1)

 (2)

Аналогично доказываются формулы:

 (3)

 (4)

 (5)

 (6)

 (7)

 (8)

 (9)

 (10)

 (11)

 (12)

Эти формулы называются формулами приведения для синуса и косинуса.

Пример: вычислите  . Представим  , тогда  .

Выведем формулы для тангенса, используя его определение

 ,

Найдём 

Получаем формулы для тангенса и котангенса:

, где   и  , где   (13)

 (14)

 (15)

 (16)

 (17)

Пример: вычислите  .

Преобразуем выражение в скобке 

.

Обратите внимание, что все эти формулы связывают синусы с синусами или косинусами, а тангенсы с тангенсами или котангенсами. В одних случаях синус меняется на косинус и наоборот, в других – нет. Так, например, в формулах 1,2,3,8 и 13, где в левой части присутствуют   синусы, косинусы и тангенсы не меняются.

В остальных формулах, где в левой части присутствуют  или , синус меняется на косинус и наоборот, а тангенс на котангенс.

Формул приведений много и их не обязательно каждый раз выводить и запоминать.

Для этого придумали мнемоническое правило.

Если в левой части присутствуют   и т.д. синусы, косинусы и тангенсы не меняются.

Если в левой части присутствуют   или  , синус меняется на косинус,косинус на синус, тангенс на котангенс.

Знак в правой части ставим тот же, который имело исходное число в левой части, при условии   .

Существует легенда про рассеянного математика, который всё время забывал менять или не менять синус на косинус и наоборот. Он смотрел на свою сообразительную лошадь и она кивала головой вдоль той оси, где стояли числа  и  ,  . (рис. 3)

Рисунок 3 – «правило лошади»

Если аргумент содержал  или  , лошадь кивала вдоль оси Оу. Это означало «да, менять». А если  , кивала вдоль оси Ох – «не менять».

Так же помните: чётные числа вида 2π, 4π, 6π и т.д. находятся на оси Ох справа от нуля на единичной окружности, а нечётные π, 3π, 5π и т. д. слева от нуля.

Если в выражении перед α стоит плюс, то точка перемещается по окружности по часовой стрелке, если стоит минус, то против часовой стрелке.

IV. Применение знаний, формирование умений и навыков

Примеры и разбор решения заданий

Пример 1: упростите выражение  .

 находится на оси Ох, слева от нуля, косинус не меняем. Перед α минус, точка перемещается против часовой стрелке и попадает во вторую четверть, здесь косинусы отрицательные (рис.4)

Рисунок 4 – перемещение точки по единичной окружности

Значит  = .

Пример 2: вычислите 

Преобразуем выражение в скобке:  .   находится слева на оси Ох, синус не меняем. Угол в третьей четверти, синусы отрицательные.

Задание для самостоятельной работы (с проверкой)

V.Итог урока

- Ребята, наш урок подходит к концу. Что нового и интересного вы узнали сегодня в процессе решения поставленных перед вами проблем?

Оценка работы класса. Выставление учащимся отметок за урок.

- Ребята, домашнее задание не должно вызвать у вас затруднений, оно по новой теме.

№ 9.4, 9.6, 9.7

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/439724-otkrytyj-urok-po-algebre-formuly-privedenija-