Алгебра бинарных отношений и отображений

Введение.

Алгебра бинарных отношений изучается в дискретной математике довольно долго. Ученые нашли много способов и методов изучения алгебры отношений, одним из которых является графы. В теории графов применяется понятие, которое называется "отношение". В математике отношение определяет некоторую связь нескольких объектов между собой. В обыденном сознании людей существуют различные отношения между предметами. Поэтому математики и специалисты в области вычислительной техники используют множество различных двуместных, или, иными словами, бинарных отношений. Бинарные отношения могут иметь имена, например "равенство", "отношение порядка" и т.п. Некоторые бинарные отношения имеют не только имена, но и символьные обозначения. Примерами можно назвать такие отношения как равенство (=), больше (>), меньше (<) и тому подобное.

В общем случае мы будем понимать отношения как "все бинарные отношения". Выражение "в общем случае" будет часто встречаться в нашем курсе в разных контекстах. Кроме бинарных отношений, в математике также существуют n-арные отношения, но у них нет символьного обозначения. Можно заметить, что n-арные отношения широко используются в теории реляционных баз данных.

Любое бинарное отношение представляется как множество упорядоченных пар элементов. В математике множество элементов a,b обозначается с помощью двух фигурных скобок {a,b}, а упорядоченная пара с помощью символов <a,b >. Так, например, множество {<1,6>,<7,9>,<4,2>}, будучи множеством, состоящим из трех упорядоченных пар, есть бинарное отношение. Пара <1,6> - элемент этого бинарного отношения. Элемент бинарного отношения, т.е. упорядоченную пару в общем случае обозначим {d,f}. В упорядоченной паре нельзя менять элементы местами и, наоборот, элементы множества можно менять местами и при этом множество не меняется, т.е. два множества с одинаковыми, но по-разному расположенными элементами равны. Например {4,8}={8,4}.

В качестве примера мы можем рассмотреть все упорядоченные пары элементов, которые мы сможем составить на множестве {2,3}. Для множества {2,3} можно составить лишь две упорядоченные пары <2,3> и <3,2> путем перестановки его элементов. Набор из двух упорядоченных пар <2,3>, <3,2> является примером бинарного отношения, установленного на множестве двух элементов {2,3}. Если множество состоит из трех элементов, то построенное на нем самое большое бинарное отношение, будет состоять только из 6-ти упорядоченных пар. Подмножество этого бинарного отношения может состоять, к примеру, только из 3-х упорядоченных пар. А значит, что для множества из n элементов самое большое или полное бинарное отношение.

Цель исследования – рассмотреть алгебру бинарных отношений и отображений.

Задачи исследования:

- рассмотреть алгебру отношений;

- изучить свойства бинарных отношений и основные теоремы.

Объектом исследования является бинарные отношения.

Субъектом исследования является алгебра бинарных отношений и отображений.

Глава 1. Алгебра отношений

1.1 Понятие отношение.

Из определения «множество», которое было сформулировано Н. Бурбаки, ясно, что в теории множеств, главное и основное значение имеют отношения между элементами этого множества. Поэтому многие ученые в области математики и вычислительной техники используют алгебру отношений, чтобы усилить описательные возможности теоретико-множественного языка. Помимо того, используя строгие отношения, такие как равно (=), больше (>) или , меньше (<),и др., алгебра отношений позволяет решать не только хорошо структурированных математических задачи, но и слабоструктурированные, которые связанны со сложными межличностными отношениями, например, родовыми. Примером родовых отношений можно считать отношения учителя и ученика.

Философское понятие «отношение» объединяет такие понятия, как «соответствие», «отображение», «функция».

Соответствие между множествами D и F называется подмножество, которое можно записать в таком виде, что обозначает подмножество пар. Такие отношения называются бинарными. В математической литературе встречается и другая запись бинарных отношений, например. Элемент «d» и элемент «f» - первая и вторая координаты упорядоченной пары.

1.2. Способы задания отношений

Одним из способов задания отношений является матричный способ. Примером может служить отношение обучающихся к знаниям по конкретной дисциплине, выраженных в оценках, которые они получили в течение определенного учебного семестра. Обозначим – множество обучающихся в учебной группе в количествеK человек, – множество оценок в количествеL, полученных учащимися за семестр (различают два вида оценок – удовлетворительных и неудовлетворительных),S – множество пар, которое ставит в соответствие каждого обучающегося оценкам, полученным за семестр. В этом случае учебный журнал можно представить как матрицу отношений, ставя на пересечении строк (пусть это будет фамилии учащихся) и столбцов (пусть это будет порядковый номер контрольного занятия, где всем обучающимся выставляются оценки) «1», если обучающийся имеет удовлетворительные знания и «0», если неудовлетворительные. Именно такое задание отношений называется матричным. Часто бинарные отношения задают не в виде матрицы отношений, а некоторых правил.

Другой способ задания бинарных отношений является графический, т.е. в виде графа. Здесь точками или вершинами задаются элементы множества, например, ребрами, т.е. линиями, которые соединяют эти вершины, множество отношений M. Эти графы можно назвать неориентированными. Если ребра обозначают стрелками, то их называют дугами, то граф будет принимать вид ориентированного или, орграфа.Графы обычно изображаются в виде геометрических фигур. Иллюстрируются декомпозиция сложного отношения «взаимодействие учащихся в учебной группе», обозначим его T, на типовые отношения, которые возникают в процессе учебы в учебном заведении. Будет видно, что множество вершин имеют одну природу. И тогда говорят, что построены графы отношений на множествеD. Одной из характерных особенностей графа является отсутствие каких-либо отношений, связанных с учебной деятельностью учащегося.

Граф называют «графом Понтрягина - Куратовского». Он является неориентированным и его особенностью является то, что его ребра пересекаются и поэтому он называется неплоским. Помимо неплоских графов существуют плоские, а также двудольный орграф. Подобным графом можно истолковать, например, отношения преподавателя (Р) с обучающимися (N) на лекционных занятиях. Для этого необходимо вершину обозначить другой буквой, например Z и считать одноэлементным множеством. И говорят, что построен граф отношений от Р к N. Например, биграфом можно разъяснить и другие отношения преподавателя и обучающихся, например, на экзамене. Для этого необходимо поменять одинарные стрелки на двойные, что будет обозначать отношение диалога между преподавателем и учащимися. [2]

Еще одной из особенностей графа отношений, является изолированность вершины. Эти графы называют несвязными. Граф отличается от остальных тем, что между его вершинами существует отношение строгого порядка, например, дежурства в соответствии со списком учащихся, приведенном в журнале.

От графического представления отношений в виде графов легко перейти к матричному представлению. В теории графов различают два вида матричного представления графов – матрицами смежности и инцидентности.

Матрица смежности это таблица, строки и столбцы которой соответствуют вершинам графа, ее элемент равен числу кратных ребер, связывающих вершины или направленных от вершины к вершине для орграфа.

Очевидно, что в случае матрица смежности равна нулю и единице, т.е. их элементы принимают значения «0» или «1» соответственно.

Задание отношений матрицами инцидентности будет основываться на понятии «инцидентность», определяющегося как отношение между разнородными объектами, такими как вершинами и ребрами графа. В то же время, смежность представляет собой отношение между однородными объектами, например, вершинами.

Тогда говорят, что, если вершина является концом ребра, то они инцидентны: вершина инцидентна ребру и обратно.

Одним из важных понятий в алгебре отношений является понятие «функциональное отношение». Оно определяется как отношение, если все его элементы или упорядоченные пары имеют различные первые координаты. Иначе, каждому элементу x из X такому, что соответствует один и только один элемент y из Y.

Важной особенностью матрицы функционального отношения приходится то, что в каждом ее столбце содержится не более одного единичного элемента. Граф функционального отношения характеризуется тем, что из каждой вершины может выходить только одна дуга.

Любое функциональное отношение в алгебре отношений будет рассматривается как функция. Первую координату x упорядоченной пары называют переменной, а вторую y – значением функции. Множество X тех пар, для которых выполнено соотношение, называют графиком функции.

Если его область определения совпадает с множеством Y функционального отношения, т.е., определено на Y, то его называют отображением множестваY в X. Отображение рассматривают как функцию f, определенную на множестве Y и принимающую значения в множестве X.

Из вышеизложенного видно, что различие между отображением и функцией сводится к способу определения этих отношений на множестве X, причем отображение будет рассматриваться как частный случай функции. Большинство авторов не различают понятия отображения и функции, оставляя открытым вопрос об области определения.

Используя числовые функции, можно привести пример функциональных отношений.

Представим, чтобы определить рейтинг преподавателей вуза исследуется его научная деятельность за определенный промежуток времени. Одним из показателей научной деятельности преподавателя может служить количество научных трудов, опубликованных им за этот период времени. Функциональное отношение между множеством моментов времени (выхода в свет публикаций) и значениями шкалы натуральных чисел, которые соответствуют количеству опубликованных работ.

Такие функциональные отношения будут представлены в учебной базе данных вуза для формирования логических выводов, например, если соискатель за интервал времени выполнил некоторые научные труды, то можно считать, что он выполнил минимальные требования по опубликованию научных результатов.

1.3 Классы бинарных отношений

На произвольном множестве среди всех бинарных отношений и в зависимости от свойств можно выделить несколько классов самых отношений.

Бинарное отношение на некотором множестве называют:

1) эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно;

2) толерантностью, если оно рефлексивно и симметрично;

3) порядком (или частичным порядком), если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно;

4) предпорядком (или квазипорядком), если оно рефлексивно и транзитивно;

5) строгим порядком, если оно иррефлексивно, антисимметрично и транзитивно;

6) строгим предпорядком, если оно иррефлексивно и транзитивно.

Определенные выше бинарные отношения называют отношениями эквивалентности, толерантности, порядка (частичного порядка), предпорядка (квазипорядка), строгого порядка, строгого предпорядка.

Приведем пример.

  а. Бинарное отношение параллельности двух прямых или двух плоскостей в евклидовой геометрии, если считать каждую прямую параллельной самой себе, есть отношение эквивалентности.

б. Бинарное отношение φ на множестве всех непустых подмножеств некоторого множества Z, для которого AB тогда и только тогда, когда  A⋂B≠∅, является толерантностью. Это отношение рефлексивно и симметрично, но не транзитивно. Действительно, из того, что A⋂B≠∅ и B⋂C≠∅, никак не следует, что A⋂C≠∅. Проиллюстрируем этот пример на рисунке.

в. Примером отношения порядка является естественный числовой порядок, т.е. отношение неравенства на любом числовом множестве.

Обычно это отношение называют просто естественным порядком. Поскольку в дискретной математике нам приходится иметь дело со многими порядками на нечисловых множествах, мы будем говорить „естественный числовой порядок", подчеркивая, что речь идет об отношении порядка на множестве действительных чисел (или об его ограничении на множества рациональных, целых или натуральных чисел).

г. На множестве натуральных чисел   зададим бинарное отношение  , означающее, что   делит   (  является делителем  ). Это отношение рефлексивно, поскольку любое число является делителем самого себя. Покажем антисимметричнсть. Пусть   делит   и в то же время   делит  . Тогда найдется натуральное число  , такое, что  , и найдется  , такое, что  . Отсюда  , что на множестве натуральных чисел возможно только при  . Следовательно,  . Покажем транзитивность. Если   делит  , а   делит  , то найдутся натуральные числа  , такие, что   и  . Отсюда имеем  , т.е.   — делитель  . Таким образом, "отношение делимости" на множестве   является отношением порядка.[4]

Если распространить отношение, то оно потеряет свои свойства асимметричности, только предпорядком. Например, 2 делится на –2 и –2 делится на 2, однако 2≠-2.

д. Рассмотрим множество   всех подмножеств множества  . Покажем, что отношение включения   на множестве   есть порядок. Это отношение рефлексивно, так как для любого множества   справедливо включение  . Поскольку для любых двух множеств   и   из   и  следует, что  , рассматриваемое отношение антисимметрично. Из определения включения вытекает, что если   и  , то  . Следовательно, отношение транзитивно.

е. Отношение строгого неравенства на числовом множестве, равно как и отношение строгого включения множеств, есть отношение строгого порядка.

ж. В качестве примера отношения строгого предпорядка можно привести отношение "строгой достижимости" на некотором множестве населенных пунктов: пункт   считаем строго достижимым из отличного от него пункта  , если есть дорога (автомобильная, железная и т.п.) из   в  , причем принимается, что никакой пункт не является строго достижимым из себя самого.

1.4 Связь между классами бинарных отношений

Важнейшим в современной математике является отношения толерантности, предпорядка и эквивалентности. Можно сказать, что эквивалентность есть транзитивная толерантность или симметричный предпорядок. Порядок же есть антисимметричный предпорядок.

Для любого бинарного отношения   можно построить отношение   следующим образом:   тогда и только тогда, когда   или существует последовательность  , такая, что     и для каждого   выполняется  . В частности, если  , то есть  , то это означает, что приведенное условие выполняется при  . Следовательно,  , то есть  .

Отношение   называют рефлексивно-транзитивным замыканием бинарного отношения φ на соответствующем множестве.

Можно также обозначить  , и тогда  .

Отношение   является рефлексивным, так как  . Докажем его транзитивность. Пусть для каких-то   выполняется   и  . Докажем, что  . Будем считать, что элементы   попарно различны (так как при   или   доказывать нечего). Тогда существуют последовательности

 и  ,

такие, что   для каждого   и   для каждого  .

В итоге получаем последовательность

, где  ,

для всякого  ,   для всякого  , такую, что   для любого  , то есть  , что и требовалось доказать.

1.5 Отображения в алгебре отношений и отображений

Определение. Бинарное отношение А—>В называется отображением, или
функцией, из множества A в множество B , если оно всюду определено и для любого х А его образ R(x) есть одноэлементное множество.[5]

Рассмотрим пример отображения. Формула у — sinx задает функцию sin: X —» Y, определенную
на множестве всех действительных чисел X и принимающую значения из
подмножества Y действительных чисел, определенного как интервал от -1
до 1 включительно. Формула + =1 определяет окружность единичного радиуса с центром
в начале прямоугольной системы координат. Однако зависимость у от x не
является функциональной из-за неоднозначности: подавляющему большинству значений переменной x соответствует не одно, а два значения переменной y= ± . Исключением являются только х = 1 и х = — 1. Кроме
того, данная зависимость определена не на всем множестве действительных
чисел, а только на замкнутом интервале от -1 до 1.

Большое значение в алгебре отношений имеют отображения. Различают отображения C в G, где каждый элемент имеет один и только один образ из G. Примером такого отображения может служить рассмотренный выше пример.

Говорят, что имеет место отображение C на G в том случае, если любой элемент из G есть образ хотя бы одного элемента изG. Такое отображение получило названиесюръекция, или другими словами накрытием.

Если для любых двух и более различных элементов из Х их образы также различны, то отображение f называется инъекцией.

Отображение, одновременно являющееся сюръекцией и инъекцией, называется биекцией или наложением. Принято говорить, что есть взаимно-однозначное отображение, а между элементами C и G имеется взаимно-однозначное соответствие.

Проиллюстрируем сюрьективные, инъективные и биективные отображения на следующих примерах.

Зададим множество - методических материалов, имеющихся в библиотеке вуза, множество - учебных дисциплин, изучаемых в вузе и соответствие между ними в виде сюрьективного отображения.

Можно утверждать, что в библиотеке вуза для любой учебной дисциплины найдется, по крайне мере, одна методическая разработка (учебник, пособие, конспект лекций и др.).

Зададим множество - преподавателей, занятых в учебном процессе в определенный учебный день недели, множество аудиторий вуза, в которых проводятся занятия. Тогда инъективное отображение согласно расписанию занятий ставит в соответствие преподавателей и аудитории, в которых они должны проводить занятия.

Взаимно-однозначное соответствие, т.е. биекция, имеет место между пронумерованными дисциплинами учебного плана и вершинами его структурно-логической схемы, которые пронумерованы в той же последовательности.

Следует заметить, что отношения можно рассматривать как множество и все операции, над множествами, которые рассмотрены выше, могут быть использованы для операций над отношениями.

Для алгебраических преобразований и классификации отношений необходимо знать свойства отношений, которые кратко описаны в следующей главе.

Глава 2. Свойства отношений. Основные теоремы

2.1 Рефлексивные и иррефлексивные бинарные отношения.

Здесь дана определенная классификация бинарных отношений на множестве. В основе этой классификации лежат свойства отношений.

Бинарное отношение p на множестве   называютрефлексивным, если диагональ   множества содержится в  , т.е.   для любого элемента   множества  .

Если же  , то бинарное отношение   на множестве   называютиррефлексивным.

Указанные свойства бинарных отношений на множестве   называют рефлексивностью и иррефлексивностью.

Бинарные отношения равенства и подобия на множестве геометрических фигур рефлексивны: каждый треугольник равен и подобен самому себе. Действительно, рефлексивны все отношения равенства: равенство чисел, равенство векторов, равенство множеств и т.п. Также рефлексивными являются, например, бинарное отношение нестрогого неравенства на множестве действительных чисел, поскольку для любого числа a всегда a≤b и отношение   включения множеств, так как для любого множества A всегда A≤A.[2]

Напротив, бинарное отношение на множестве действительных чисел, задаваемое строгим неравенством a<b, иррефлексивно, равно как и отношение   строгого включения множеств.

Не нужно путать иррефлексивное отношение с нерефлексивным, т.е. не являющимся рефлексивным, отношением. Иррефлексивное отношение нерефлексивно, но не всякое нерефлексивное отношение иррефлексивно. Иррефлексивному отношению на   не принадлежит ни один элемент диагонали  , а нерефлексивное отношение может содержать некоторые (но не все!) элементы диагонали. На рисунке приведены примеры графиков иррефлексивного и нерефлексивного отношений (пунктиром указаны диагонали множеств).

2.2. Симметричные и антисимметричные бинарные отношения

Бинарное отношение φ на множестве B называют:

1) симметричным, если для любых k,l принадлежат А из kl следует lk

2) антисимметричным, если для любыхk,l,принадлежащихB из одновременной справедливости kφl и lφk следует, что a=b.

Соответствующие свойства бинарных отношений на множестве   называютсимметричностью и антисимметричностью.

График симметричного бинарного отношения на множестве   симметричен относительно диагонали. Это продемонстрировано на рисунке.

Теорема 1.1. Бинарное отношение φ на множестве B симметрично, если и только если бинарное отношение на множестве B, обратное к φ, совпадает с  φ: =φ. Проведем доказательство теоремы. Пусть
, то есть  . В силу симметричности .Следовательно, . Аналогично доказывается включение 
.

Теперь пусть  . Тогда   и  . Из определения обратного отношения следует, что 
. А значит, φ — симметричное бинарное отношение.

Теорема 1.2. Бинарное отношение φ на множестве B антисимметрично, если и только если  .

Действительно, если  ,то   и   (т.е. ). Но из выполнения соотношений  и yввиду антисимметричности   следует, что x=y, то есть  .

Обратно, пусть  . Можно предположить, что   и  , причем x≠y. Тогда   и  , но 
. В данном случае получаем противоречие.

Можно отметить, что для антисимметричного бинарного отношения на множестве   может иметь место равенство 

Все бинарные отношения в геометрии типа равенства или подобия симметричны. Так, если треугольник   подобен треугольнику  , то и второй из этих треугольников подобен первому. Бинарные отношения неравенства чисел и включения множеств, как строгие, так и не строгие, антисимметричны.

Приведем пример:

а. Пусть S — некоторое множество населенных пунктов. Можно задать на нем бинарное отношение достижимости: если есть дорога, по которой можно доехать из D в пункт K, то из пункта D достижим пункт K. Если из пункта D можно доехать до пункта K, а из K есть дорога до L, следовательно, из D можно проехать в L, то отношение транзитивно,

б. Можно привести еще один пример. Так, например, бинарные отношения равенства и подобия в геометрии также являются транзитивными: если треугольник  ABC подобен треугольнику  , а этот последний подобен треугольнику  , то первый треугольник подобен третьему.

в. Бинарное отношение неравенства на множестве действительных чисел не транзитивно, Следуя из того, что x≠y и y≠z, вовсе не следует, что x≠z , Аналогично, если x друг y, а y друг z, то это никак не означает, что x друг z.

2.3 Транзитивность бинарного отношения

Бинарное отношение φ на множестве B называюттранзитивным, если для любых из того, что   и  , следует  . Соответствующее свойство бинарного отношения называют транзитивностью.

Докажем следующее важное свойство транзитивного бинарного отношения.

Теорема 1.3. Бинарное отношение   на множестве   транзитивно тогда и только тогда, когда его квадрат содержится в нем, т.е.  .

Пусть бинарное отношение   на множестве   транзитивно и  . Тогда, в силу определения композиции бинарных отношений на множестве  существует такой элемент  , что   и  , откуда ввиду транзитивности   получаем  , то есть  , а значит,  .

Предположим обратное, пусть бинарное отношение   на множестве   таково, что  , а   и . Тогда в силу определения композиции бинарных отношений на множестве   имеем  . Поскольку  , то  . Таким образом, из того, что   и  , следует, что  , т.е. бинарное отношение   на множестве   транзитивно.[3]

Доказанное свойство можно целесообразно использовать для проверки транзитивности бинарного отношения   на некотором множестве B в тех случаях, когда построение квадрата   является более легкой задачей по сравнению с исследованием свойства транзитивности   на основе определения.

2.4 Плотное бинарное отношение

Бинарное отношение φ на множестве B называетсяплотным, если для любых (a,b)∊B, отличных друг от друга и таких, что aφb, найдется c, отличный и от a и от b, такой, что aφc и cφ,b.

Для любой пары элементов, связанных плотным отношением, всегда найдется такой третий элемент, который находится между ними и связан с каждым из них тем же отношением. Значит, отношения неравенства как строгого, так и нестрогого, на множествах рациональных и действительных чисел плотны, но подобные отношения на множествах целых и натуральных чисел плотными не являются. Действительно, каковы бы ни были рациональные (или действительные) числа a и b, из того, что a<b, следует, что существует число c, отличное как от a, так и от b, такое, что a<c<b. Например, подходит число  c=(a+b)/3. Но для целых чисел k и k+1 такого "промежуточного" целого числа нет.

Если φ — плотное бинарное отношение на множестве B и для некоторых a,b∊B имеет место aφy, то найдется c∊B, такой, что  a≠c,b≠c и  aφ,c,c,cφ,b. В силу определения композиции отношений следует, что  . Значит, из   следует  , то есть  . Итак, если φ плотно, то оно содержится в своем квадрате. Cтоит напомнить, что для транзитивного бинарного отношения  . Значит, если бинарное отношение φ одновременно плотно и транзитивно, то оно будет равно квадрату этого бинарного отношения, т.е. φ=

Глава 3. Применение алгебры отношений и отображений

Алгебра отношений и отображений применяется в дискретной математике и имеет множество примеров. Приведем пример бинарного отношения. Бинарное отношение φ на множестве всех непустых подмножеств некоторого множества Z, для которого AB тогда и только тогда, когда  A⋂B≠∅, является толерантностью. Это отношение рефлексивно и симметрично, но не транзитивно. Действительно, из того, что A⋂B≠∅ и B⋂C≠∅, никак не следует, что A⋂C≠∅. Тогда, примером отображения может служить формула синуса. Формула у = sinx задает функцию sin: X —» Y, определенную
на множестве всех действительных чисел X и принимающую значения из
подмножества Y действительных чисел, определенного как интервал от -1
до 1 включительно. Формула + =1 определяет окружность единичного радиуса с центром
в начале прямоугольной системы координат. Однако зависимость у от x не
является функциональной из-за неоднозначности: подавляющему большинству значений переменной x соответствует не одно, а два значения переменной y= ± . Исключением являются только х = 1 и х = — 1. Кроме
того, данная зависимость определена не на всем множестве действительных
чисел, а только на замкнутом интервале от -1 до 1.[6]

Заключение

Из определения понятия «множество», сформулированного Н. Бурбаки, видно, что отношения между элементами множеств имеют основополагающее значения в теории множеств. Поэтому для усиления описательных возможностей теоретико-множественного языка многие математики используют алгебру отношений. Кроме того, алгебра отношений позволяет решать задачи формализации не только хорошо структурированных – математических задач, используя при этом строгие отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше (<), включение и др., но и слабоструктурированные, связанные со сложными межличностными отношениями, например, между преподавателем и обучающимися («быть преподавателем»), между преподавателями и администрацией вуза («быть начальником» или «быть подчиненным») и др. Последние отношения называют родовидовыми.

Понятие «отношение» является философской категорией и объединяет такие понятия как «соответствие», «отображение», «функция».

Соответствие между множествами А и В называется подмножество, которое записывается в виде, что обозначает подмножество пар. Такие отношения называются бинарными. В литературе встречается и другая запись бинарных отношений, например. Элемент «а» называют первой координатой, а элемент «b» - второй координаты упорядоченной пары.

Элементарным примером бинарных отношений может служить отношение обучающихся к знаниям по конкретной учебной дисциплине, выраженных в оценках, полученных ими в течение семестра.

Библиографический список

1. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнения. Москинова Г.И. М.: 2000.

2. Аналитическая геометрия в примерах и задачах. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. М.: Высшая школа, 2005.

3. Богомолов, А.М., Салий, В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. –М.: Наука, 1997,.

4. Куликов, Л.Я. Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. –М.: Просвещение, 1993,

5. Вадим Дунаев. Занимательная математика множества и отношения - Санкт-Петербург«БХВ-Петербург»2008

6. Учебно методическое пособие. Пенза: ПГПУ имени В.Г. Белинского, 2008.

7. Салий В.. Прикладная универсальная алгебра, КНиИТ, 2010

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/459762-algebra-binarnyh-otnoshenij-i-otobrazhenij