Учебно-методическое пособие «Корни и степени» для обучающихся по программам подготовки квалифицированных рабочих (служащих) и специалистов среднего звена

Автономное учреждение

профессионального образования

Ханты-Мансийского автономного округа – Югры

«СУРГУТСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

Учебно - методическое пособие

«Корни и степени»

для обучающихся по программам подготовки квалифицированных рабочих (служащих) и специалистов среднего звена

г. Сургут, 2021

Учебно - методическое пособие «Корни и степени»

© Сургутский политехнический колледж - 2021

Составители: Е.А.Рязанцева, преподаватель математики, высшая категория

А.Н.Макарова, преподаватель математики, высшая категория

Учебно – методическое пособие «Корни и степени» составлено в соответствии с рабочей программой по математике и предназначено для лучшего понимания и усвоения учебного материала.

Одобрено на заседании методического объединения «Математика, информатика, физика»

Протокол № 7 от «3» апреля 2021 г.

Пояснительная записка

Пособие предназначено для оказания помощи студентам при изучении темы «Корни и степени». На изучение данной темы отводится 18 часов.

В пособии содержится теоретический материал, приведен разбор решений типичных заданий, предлагаются задания для самостоятельных работ, практическая работа по данной теме.

Задания разработаны таким образом, чтобы можно было осуществить проверку знаний.

Урок 1. Арифметический корень натуральной степени

1. Теоретический материал

Определение: Арифметическим корнем натуральной степени, где n≥2, из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

Например:= = 3, так как .

Давайте рассмотрим такой пример:  .

Мы знаем, что (–4)³ = –64, следовательно,  .

На основании этого примера, можно сделать вывод:

Свойства арифметического корня натуральной степени:

Арифметический корень й степени обладает следующими свойствами: если , и – натуральные числа, причем , то

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

Примеры применения свойств:

1. ;

2.

3. ;

4. ;

5. ;

6.

2. Разбор решений заданий

• Упростить выражения:

1)

Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых является кубом целого числа, и применим свойство 2:

2)

• Найти значение выражения:

1)

Извлечем корни из чисел, затем выполним умножение и вычитание полученных результатов.

При вычислении используем 1-ое свойство корней:

.

2)

Преобразуем подкоренные выражения, извлечем корень, а затем упростим полученное выражение:

.

• Возвести в степень:

1)

Воспользуемся свойством степени – возведение произведения в степень

2)

Возведем в квадрат и упростим, используя формулу сокращенного умножения: т

• Решить уравнение:

1)

Преобразуем уравнение путем переноса числа в правую часть:

;

При решении уравнений такого типа важное значение имеет показатель степени при х. Так как показатель степени нечетное число, то уравнение всегда имеет один корень. Для его нахождения нужно извлечь корень той степени, в которую возводится х, из числа после знака равенства:

;

;

Ответ:

2)

Выразим степень: ;

Так как показатель степени четный, а число после знака равенства положительное, то уравнение имеет два корня:

;

Ответ:

3) ;

;

Так как показатель степени четный, а число после знака равенства отрицательное, то уравнение решения не имеет!

Ответ: решений нет.

3. Задания для письменной самостоятельной работы

Выполнить задания по учебнику: №28- 36 (нечетные).

Проверочная работа

Урок 2. Иррациональные уравнения

1. Теоретический материал

Определение: иррациональным уравнением называется уравнение содержащее неизвестное под знаком корня.

Иррациональные уравнения решают путём возведения обеих частей уравнения в натуральную степень, равную показателю степени корня.

Важно!При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому выполняем проверку, путем подстановки в первоначальный вид уравнения.

2.Разбор решений уравнений

Рассмотрим подробное решение с пояснениями:

Примеры оформления решения иррациональных уравнений:

Пример 1. Решить уравнение

Решение:

Так как корень нечетной степени, проверку не выполняем!

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение:

;

;

;

;

; .

Проверка:

;

;

;

;

Ответ: ; .

3. Задания для письменной самостоятельной работы

Выполнить задания по учебнику: №152- 155 (нечетные).

Проверочная работа:

Урок 3-4.Степень с рациональным и действительным показателями

1. Теоретический материал

Определение: степенью числа с рациональным показателем , где m- целое число, а n-натуральное ( ), называется число

1. Свойства степени:

Примеры применения свойств:

1.

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6..

2. Разбор решений заданий

• Упростить выражения:

1) ;

2) .

• Вычислить:

.

3. Задания для письменной самостоятельной работы

Выполнить задания по учебнику: №57 - 60, 64, 66 - 68, 76 - 78 (нечетные).

Проверочная работа

Урок 5-6. Показательная функция. Показательные уравнения

Определение:функция вида где – заданное число, , называется показательной функцией.

Рассмотрим свойства и график показательной функции

Показательнымуравнением называется уравнение, содержащее неизвестное в показателе степени.

Имеются три основных метода решения показательных уравнений:

1. Метод приведения к общему основанию, то есть преобразования заданного уравнения к виду , где , то оно имеет единственный корень

2. Метод вынесения общего множителя за скобки, например ,

Обращаем ваше внимание! Количество x в показателе степени должно быть одинаковым!

1. Метод введения новой переменной, например , заменив , сводится к квадратному .

Обращаем ваше внимание! Количество x в показателе одной степени должно быть в два раза больше показателя другой степени!

2. Разбор решений заданий

Пример 1. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение

Решение:

Ответ:

3. Задания для письменной самостоятельной работы

Выполнить задания по учебнику: №208 – 216, 218, 223 (нечетные).

Урок 7-8. Показательные неравенства

Решение показательных неравенств сводится к решению неравенств вида

а^х >a^b или а^хa^b, где а > 0, a ≠ 1.

Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции:

2. Разбор решений заданий

• Решить простейшие неравенства:

• Решить неравенства:

1) 5.

Решение:

 5;

;

;

;

;

D = ;

; и ;

Ответ:

2) 4^1+х + 4^х  5.

Решение:

4^1+х + 4^х  5;

4^х(4¹ + 1)  5;

4^х(4¹ + 1)  5;

4^х5 5;

4^х1;

4^х4⁰;

x0;

x .

Ответ:x .

3) 25^х – 6  5^х + 5 < 0.

Решение:

25^х – 6  5^х + 5 < 0;

5^2х – 6  5^х + 5 < 0.

Пусть , тогда неравенство примет вид

;

Решим неравенство методом интервалов. Приравняем левую часть неравенства к нулю:

;

D = ;

;и ;

или данное двойное неравенство расписать в виде системы

Выполним обратную замену:

Ответ:

3. Задания для письменной самостоятельной работы

Выполнить задания по учебнику: №228, 229, 230, 231 (нечетные).

Проверочная работа

Урок 9. Практическая работа по теме «Корни и степени»

1 вариант

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. Вычислите: а) ; б) ; в) г) .

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. Решите иррациональное уравнение .

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. Решите показательные уравнения:

                     ;	2)	3);
                     ;	;

                  2. Решите неравенство:

5. Решите систему уравнений

2 вариант

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. Вычислите: а) ; б) ; в) г) .

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. Решите иррациональное уравнение .

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. Решите показательные уравнения:

                     ;	2)	3) ;
                     ;	;

                  2. Решите неравенство:

5. Решите систему уравнений

Критерии оценивания:

оценка«3» ставится за правильно выполненные задания №1, №3(1-4), №4(1, 2); «4» - за правильно выполненные задания №1, №2, №3(1-5), №4(1, 2); «5» - все правильно выполненные задания.

Список литературы

1. Алимов Ш.А.и др. Математика: алгебра и начала математического анализа.10-11 классы. - М., 2018.

2. Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. -М., 2019.

3. Башмаков М.И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. - М., 2019.

4. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. - М., 2019.

5. Башмаков М.И. Математика. Электронный учеб.-метод. комплекс для студ. учреждений сред. проф. образования. - М., 2019.

6. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10 класс. - М., 2019.

7. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 11 класс. - М., 2019.

8. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа, геометрия. 10 класс. - М., 2019.

9. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 11 класс. Сборник задач: учеб. пособие. - М., 2019.

10. Богомолов Н.В. Математика для ссузов - М. Дрофа, 2018.

11. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике - М.: Дрофа, 2018.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/473028-uchebno-metodicheskoe-posobie-korni-i-stepeni