Методическое пособие «Производная и ее применение» для преподавателей и обучающихся первого курса

Автономное учреждение

профессионального образования

Ханты-Мансийского Автономного округа-Югры СУРГУТСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ:

«Производная и ее применение»

Для преподавателей и обучающихся первого курса

Разработали:

С.А. Гладышева,

А.Н. Макарова

Преподаватели математики

Сургут, 2020г.

Методические рекомендации для преподавателей и обучающихся первого курса к разделу математики «Производная и ее применение»

Составители: С.А. Гладышева, А.Н. Макарова, преподаватели математики

Пособие предназначено для оказания помощи в преподавании и изучении математики на первом курсе по учебнику Ш.А. Алимова «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» к разделу «Производная и ее применение». На изучение данного раздела отводится 30 часов по программе ППКРС и 28 часов по программе ППССЗ.

Одобрено на заседании методического объединения «Математика, информатика, физика».

Протокол № «1» от «10» сентября 2020 г.

Рекомендовано к печати Методическим советом «Сургутский политехнический колледж».

Протокол № «3» от «10» ноября 2020_ г.

Содержание

Пояснительная записка

Пособие предназначено для оказания помощи обучающимся при изучении раздела «Производная и ее применение». На изучение данного раздела отводится 30 часов по программе ППКРС и 28 часов по программе ППССЗ.

В пособии содержится теоретический материал по темам раздела, представлены алгоритмы решения типовых задач, приведены решения примеров, задания для самостоятельных работ, практическая и контрольная работы по данному разделу.

Пособие содержит большое количество разнообразных задач устного и письменного характера, что даёт возможность осуществить индивидуальный подход, в частности, организовать работу с обучающимися со слабыми знаниями и проявляющих интерес к математике.

Задания разработаны таким образом, чтобы можно было осуществить проверку теоретических знаний: устная работа, математический диктант, тесты на образовательных порталах, а также предложены задачи практического содержания.

Сборник позволяет осуществить дифференцированный контроль знаний, так как задания распределены по двум уровням. Задания первого уровня соответствует обязательным программным требованиям, задания второго уровня предназначены для обучающихся со средними способностями и проявляющих повышенный интерес к математике.

Тема: Понятие производной

Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает. Если ось Oxнаправить вдоль дороги горизонтально, а Oy – вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:

О сь Ox – это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря. Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз. Также мы можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат).

А теперь подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина? Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние. Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).

Продвижение вперед обозначим Δx (читается «дельта икс»). Греческую букву Δ (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение». То есть Δx – это изменение величины x, Δy– изменение y;Δf - изменение величины f.

Важно: выражение Δx – это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы!

Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на Δx. Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции f(x), то как мы обозначим подъем? Конечно, Δf. То есть, при продвижении вперед на Δx мы поднимаемся выше на Δf.

Величину Δf посчитать легко: если в начале мы находились на высоте f₁, а после перемещения оказались на высоте f₂, то Δf=f₂−f₁. Если конечная точка оказалась ниже начальной, Δf будет отрицательной – это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.

В ернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

K= .

Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на 1 км дорога поднимается вверх на 1 км. Тогда крутизна в этом месте равна 1.

А если дорога при продвижении на 100м опустилась на 0,5км?

Тогда крутизна равна K=−=−5.

А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма.

Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец – через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.

Т о есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности. Просто на расстоянии в 1 км может очень многое поменяться. Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны. Если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно – ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить.

Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр?

Чем меньше, тем лучше!

В реальной жизни измерять расстояние с точностью до милиметра – более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству. Поэтому было придумано понятие бесконечно малого, то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать. Например: одна триллионная! Куда уж меньше? А поделив это число на 2 – и будет еще меньше. И так далее.

Если хотим написать, что величина x бесконечно мала, пишем так: x→0 (читаем «икс стремится к нулю»). Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.

Понятие, противоположное бесконечно малому – бесконечно большое (x→∞).

Ты сталкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать. Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится.

Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при x→0:  →∞, и наоборот: при x→∞:  →0.

Теперь вернемся к нашей дороге.

Идеально посчитанная крутизна – это куртизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:

K= при Δx→0.

При бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало. Но напомню, бесконечно малое – не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число.

Дорога, крутизна… И в математике все точно так же, только называется по-другому.

Производная функции - это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращении аргумента.

Приращением в математике называют изменение.

То, насколько изменился аргумент (x) при продвижении вдоль оси Ox, называется приращением аргумента и обозначается Δx.

То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси Ox на расстояние Δx, называется приращением функции и обозначается Δf.

Производная функции f(x) – это отношение Δf к Δx при Δx→0.

Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа: f '(x) или просто f' '​​.

Итак, запишем формулу производной, используя эти обозначения:

f′(x)=  при Δx→0

Иногда используются обозначения: f '(x) или .

Немного подробнее о приращениях (алгоритм).

1. Рассмотрим точку с координатой x₀. Значение функции в ней равно f(x₀);

2. Затем находим приращение: увеличиваем координату x₀на Δx. Аргумент равен: x₀+Δx;

3. Значение функции равно: f(x0+Δx);

2. Приращением функции это величина, на которую изменилась функция:

Δf=f(x₀+Δx)−f(x₀)

Рассмотрим примеры:

1. Найти приращение функции f(x)=2x+3 в точке x₀при приращении аргумента, равном Δx.

Решение:

Δf=f(x₀+Δx)−f(x₀)=2(x₀+Δx)+3−(2x₀+3)=2x₀+2Δx+3−2x₀−3=2Δx.

1. Найти приращение функции  y(x)=x²+2x−1 в точке x₀ при приращении аргумента, равном Δx.

Решение:Δy=y(x₀+Δx)−y(x₀)=(x₀+Δx)²+2(x₀+Δx)−1−(x₀²+2x₀−1)=x₀²+2x₀⋅Δx+Δx²+2x₀+2Δx−1−x₀²−2x₀+1=2x₀⋅Δx+Δx²+2Δx=Δx(2x₀+Δx+2)

Алгоритм нахождения производной для функции y = f(x) по определению

1. Зафиксировать значение x, найти f(x).

2. Дать аргументу x приращение Δx, перейти в новую точку x+Δx, найти f(x+Δx).

3. Найти приращение функции: Δy=f(x+Δx)−f(x).

4. Составить отношение  .

5. Вычислить _Δx→0. Этот предел и есть f′(x).

Рассмотрим примеры:

Найти производную функции, используя определение:

1) (x+13)'=== 1 _Δx→0=1;

2)=====.

Задание для самостоятельной работы

Вычисляя с помощью определения производные функций, заметили закономерность и создали таблицу.

Таблица производных элементарных функций:

Рассмотрим примеры вычисления производной по таблице:

1. (10)^’= 0

2. (π)^’= 0

3. ( )^’= 0

4. (5х)^’= 5

5. (-7х+3)^’= -7

6. ( – 14)^’=

7. ( – 14)^’=

8. (х²)^’= 2x^2-1= 2x

9. (х³)^’= 3x^3-1= 3x²

10. (х¹⁰)^’= 10x^10-1= 10x⁹

11. (х^-5)^’= -5x^-5-1= -5x^-6=

12. ((2х-3)⁶)^’= 6·2(2x-3)^6-1= 12(2x-3)⁵

13. 

14. (3^x)^’= 3^x·ln3

15. log₃x =

Задание для самостоятельной работы

Тема: Правила дифференцирования

Если функция имеет производную в точке, то функция называется дифференцируемойв этой точке. Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то функция называется дифференцируемойна этом интервале. Процесс вычисления производной функции называютдифференцированием.

В основные правила дифференцирования функций входят вынесение констант за знак производной, сумма и разность, умножение и деление функций:

с – const (число)

f(x),g(x) – функции

1. Константу можно вынести за знак производной:

(Cf(x))′=C·(f(x))′

1. Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных:

(f(x)±g(x))′=(f(x))′±(g(x))′

1. Дифференцирование произведения двух функций выполняется по формуле:

(f(x)⋅g(x))′=(f(x))′⋅g(x)+f(x)⋅(g(x))′

1. Дифференцирование частного двух функций выполняется по формуле:

Рассмотрим примеры:

Правило 1 (коэффициент перед функцией)

1. (3х⁶)^’= 3·(х⁶)’= 3·6·x^6-1= =18x⁵

2. (4sinх)^’= 4·(sinх)^’= 4cosх

Правило 2 (сумма, разность функций)

1. (х⁴ + 3х²– 6 ) ^’=(х⁴)^’+ (3х²)^’– (6 )^’= 4х³+ 3·2·x¹– 0 = 4x³+6x

2. (е^х + 4х³– 5lnx - cosx ) ^’=( е^х) ^’+ (4х³) ^’ – (5lnx ) ^’- (cosx ) ^’= е^х + 12х² - + sinx

Правило3 (произведение функций)

1. (е^х ·sinx) ^’ =(е^х) ^’·sinx + е^х · (sinx) ^’ = е^х ·sinx + е^х ·cosx

2. (x³ · lnx)^’=(x³)^’ · lnx + x³ ·(lnx) ^’ = 3x² · lnx + x³ · = 3x² · lnx + =

3x² · lnx + x²

1. ((x² +3)· (3x-4))^’ = (x² +3)^‘· (3x-4) +(x² +3)· (3x-4)^’ =

= (2x¹ +0)· (3x-4) + (x² +3)· (3 - 0) = 2x · (3x-4) + (x² +3)·3 =

=6x² – 8x + 3x² +9 = 3x² – 8x + 9

Правило 4 (частное функций)

1. ^’ = ==

2. ^’ = ===

3. = = =

== =

1. Найти значение функции в точке у(x)= е^х·sinx при х = 0

у^’(x) = (е^х ·sinx) ^’ =(е^х) ^’·sinx + е^х ·(sinx) ^’ = е^х ·sinx + е^х ·cosx

у^’ (0)= е⁰ ·sin0 + е⁰ ·cos0= 1·0+1·1=0+1=1

Задание для самостоятельной работы

Тема: Производная сложной функции

Пусть есть функция y=f(g(x)), тогда производную сложной функции можно найти по формуле:

y′=f ′(g(x))⋅g′(x)

Проще говоря, нахождение производной сложной функции выполняется "по цепочке". Сначала находим производную от внешней функции без изменения её аргумента и умножаем на производную аргумента. Если аргумент в свою очередь тоже является сложной функцией, то снова берем производную ещё и от него.

Рассмотрим примеры вычисления производной сложной функции:

1. Найти производную сложной функции: y = (4sinх) ^’= 4·(sinх) ^’= 4cosх

y^’= (sin(4х+5)) ^’=cos(4х+5)·(4х+5) ^’= 4·cos(4х+5)

1. Найти производную сложной функции: y = cos(х²-3x)

y^’= (cos(х²-3x)) ^’= - sin (х²-3x) · (х²-3x)^’= - sin (х²-3x) · (2х-3)

1. Найти производную сложной функции: y =

2. функции: y =

y^’= () ^’=· (- 5x – 3)^’=-

1. Найти производную сложной функции: y = cos³(lnx)

y^’= (cos³(lnx)) ^’= 3cos²(lnx) · (cos(lnx))^’ = - 3cos²(lnx) ·sin (lnx) ·(lnx)^’=

=sin (lnx)·cos²(lnx)

Задание для самостоятельной работы

Практическая работа по теме: «Правила дифференцирования»

Тема: Геометрический смысл производной

Если к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х₀можно провести касательную, непараллельную оси у, то производная функции y=f(x) в точке х₀ будет равна угловому коэффициенту в уравнении касательной (у = kx+b) и равна тангенсу угла наклона этой касательной к положительному направлению оси абсцисс:

f′(x₀) = k = tga

Алгоритм нахождения углового коэффициента/тангенса угла наклона касательной в точке х₀

1. Найти производную f’(х)

2. Найти значение производной в точке х₀:f’(х₀)

3. Записать ответ k = f’(х₀)илиtgα = f’(х₀)

Рассмотрим примеры:

1. 1. 1. 1. Найти угловой коэффициент касательной функцииf(x)= х⁴ + 3х²– 6 в точкех₀=2:(по алгоритму)

1. f’(х) = (х⁴ + 3х²– 6 ) ^’=(х⁴)^’+ (3х²)^’– (6 )^’=

=4х³+ 3·2·x¹– 0 = 4x³+6x

1. f’(х₀) = f’(2) = 4·2³+6·2=32+12=44

2. k = 44

1. Найти угол наклона касательной к графику функцииf(x)= х² - х³+ 2х в точкех₀=1:(по алгоритму)

1)f’(х) = (х² - х³+ 2х) ^’=(х²)^’- (х³)^’+ (2х)^’=

= 2х- 3·x²+2

1. f’(х₀) = f’(1) =2·1- 3·1²+2=1

2. tgα = 1 , α = arctg 1 =

Также, зная функцию, заданную аналитически:y=f(x), к которой проводим касательную, и абсциссу точки касания х₀, можно, не производя построения графика функции, составить уравнение этой касательной, используя равенство:

Алгоритм составления уравнения касательной функцииf(х) в точке х₀

1. Найти значение функции в точке х₀: f(х₀)

2. Найти производную: f’(х)

3. Найти значение производной в точке х₀:f’(х₀)

4. Записать уравнение касательной, подставив свои данные:

y = f(x₀) + f^/ (x₀)(x – x₀)

Алгоритм нахождения всех точек графика функцииf(х), для которых угловые коэффициенты касательных, проведенных через эти точки, равны

1. Найти производную f’(х)

2. Приравнять полученное выражение к kи решить уравнение f’(х) = k

3. Записать ответ.

Рассмотрим пример:

Составить уравнение касательной к графику функцииf(x)=lnх - e^x в точке х₀=1:(по алгоритму)

1. f(х₀) = f(1)= ln1 – e¹= -e

2. f’(х) = (lnх - e^x) ^’=(lnх)^’- (e^x)^’ =

=e^x

1. f’(х₀) = f’(1)=e¹= 1-e

2. y = f(x₀) + f^/ (x₀) · (x – x₀)

y = -e + (1-e) · (x – 1) = -e + x -1 -ex + e

y = x -1 -ex

y = x(1 –e) -1

Задание для самостоятельной работы:

Тема: Физический смысл производной

Физический смысл производной состоит в том, что производная функции в точке показывает скорость изменения функции в этой точке.

Пусть S(t) – функция, задающая зависимость от времени t, тогда:

V=S’(t)

a(t) = V’(t),

гдеа– ускорение в момент времени.

Алгоритм нахождения скорости в момент времениt₀

1. Найти производную S’(t)

2. Найти значение производной в точке t₀:S’(t₀)

3. Записать ответ V = S’(t₀)

Алгоритм нахождения ускорения в момент времениt₀

1. Найти производную S’(t)

2. Найти производную V’(t)

3. Найти значение производной в точке t₀:V’(t₀)

4. Записать ответ a(t) = V’(t₀)

Алгоритм нахождения силы, действующей на точку в момент времени t₀

1. Найти производную S’(t)

2. Найти производную V’(t)

3. Найти значение производной в точке t₀ ,a(t) = V’(t₀)

4. Пользуясь формулой F = m·a, вычислить силудействующей на движущееся тело в момент времениt₀

5. Записать ответ .

Рассмотрим пример:

1) Найти скорость движущегося по законуS(t) = 8t² + 3t³– 6t + 1 тела в момент времени t₀=1:(по алгоритму)

1. S’(t) = (8t² + 3t³– 6t + 1 ) ^’= (8t²)^’+ (3t³)^’– (6t)^’ + (1) ^’= 16t+ 9t²– 6 + 0 = 16t+ 9t²– 6

2. S’(t₀) = S’(1)= 16·1+ 9·1²– 6=16+9-6=19

3. V = S’(t₀)= 19м/с

2) Найти ускорение движущегося тела по закону S(t) = 8t² + 3t³– 6t + 1 в момент времени t₀=1:(по алгоритму)

1. S’(t) = (8t² + 3t³– 6t + 1 ) ^’= (8t²)^’+ (3t³)^’– (6t)^’ + (1) ^’= 16t+ 9t²– 6 + 0 = 16t+ 9t²– 6

2. V’(t) = (16t+ 9t²– 6) ^’= (16t)^’ +(9t²)^’– (6)^’ = 16+ 18t

3. V’(t₀) = V’(1)= 16+ 18·1=34

4. a=V’(t₀)= 34м/с²

Задание для самостоятельной работы:

Вариант № 8982057 на портале «Решу ЕГЭ»

Инструкция для регистрации на сайте «РЕШУ ЕГЭ»: пройдите по ссылке

https://www.youtube.com/watch?v=j94-DBXjNn8

Тема: Возрастание и убывание функции

1. Критические (стационарные) точки

_{Рассмотрим функцию} y=f(x). Внутренние точки области определения функции называются критическими, если производная функции в этой точке равна нулю или не существует: f’(х) = 0

Алгоритм нахождения критических точек функции

1. Найти область определения функции D(f);

2. Найти производную функции f’(х);

3. Найти нули производной и точки, в которых производная не существует: f’(х)=0;

4. Записать ответ.

Рассмотрим примеры:

1) Найти критические точки функцииf(x)= х⁴ + 3х²– 6

1. D(f)=R

2. f’(х) = (х⁴ + 3х²– 6 ) ^’=(х⁴)^’+ (3х²)^’– (6 )^’= 4х³+ 3·2·x¹– 0 = 4x³+6x

3. f’(х) = 0

4x³+6x=0

x(x²+6)=0

х = 0 и x²+6=0 (уравнение не имеет решения, так как x²≠ - 6)

1. х = 0 критическая точка

точек, производная в которых не существует, нет

2)Найти критические точки функцииf(x)=+ х

1. D(f)=(

2. f’(х) = (+ х ) ^’=( )^’+ (х)^’ = + 1

3. f’(х) = 0

+ 1=0

=0

= 0 или x²≠0 (так как на ноль делить нельзя)

= Х₃≠ 0

Х₁= 1

Х₂= - 1

1. критические точки:

Х₁= 1

Х₂= - 1

х₃ = 0 (точка, производная в которой не существует)

Задание для самостоятельной работы

Вариант № 8982581 на портале «Решу ЕГЭ»

Инструкция для регистрации на сайте «РЕШУ ЕГЭ»: пройдите по ссылке

https://www.youtube.com/watch?v=j94-DBXjNn8

2 . Промежутки возрастания и убывания функции

Определение: Функция y=f(x) возрастает при х₂>x_1,y₂ > y₁на промежутке

х [a;b).

Определение:Функцияy=f(x) убывает при х₂<x_1,y₂ < y₁на промежутке

х [a;b).

Теорема 1: Еслифункцияy=f(x) дифференцируема на интервале(a;b) и

f^’(x)>0 для всех х (a;b), то функция y=f(x) возрастает.

Т еорема 2: Еслифункцияy=f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f^’(x)<0 для всех х (a;b), то функция y=f(x) убывает.

Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции

1. Найти область определения функции D(f);

2. Найти производную функции f’(х);

3. Найти критические точки, f’(х)=0;

4. Определить знак производной на каждом из полученных промежутков, разделенных критическими точками на числовой прямой;

5. Пользуясь теоремами возрастания и убывания записать ответ.

Помни! Если для некоторой функции определяется больше одного промежутка возрастания (убывания), то все промежутки в ответе перечисляются. Объединить промежутки нельзя!

Рассмотрим примеры:

1)Найти промежутки возрастания и убывания функции

f(x)= 2х³ - х²– 8х + 4.

1. D(f)=R

2. Найдем производную функции

3. f’(х) = (2х³ - х²– 8х + 4 ) ^’= 6х² - 2x – 8

4. Найдем критические точки (нули производной функции)

6х² - 2x – 8=0

D = b²-4ac

D = (-2)²-4·6·(-8) = 196,

,

x₁= -1, x₂ =

1. Определим знак производной на промежутках:

у^’ + - + x

-1

4) Функция возрастает при х [- ;-1] и при х [ ; ]

Функция убывает при х [-1; ]

2)Найти промежутки возрастания и убывания функцииf(x)=+ х.

1. D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞)

2. f’(х) = (+ х ) ^’=( )^’+ (х)^’ =

=+ 1

1. f’(х) = 0

+ 1=0

=0

= 0 или x²≠0 (так как на ноль делить нельзя)

= Х₃≠ 0

Х₁= 1

Х₂= - 1

1. Определим знак производной на промежутках:

у^’ + - - + x

-1 0 1

4) Функция возрастает при х [- ;-1] и при х [ ; ]

Функция убывает при х [-1; ] и при х [ ; ]

Тема: Экстремумы функции.

Определение: Критические точки, в которых функция достигает максимального или минимального значения на промежутке, называются точками экстремума.

Теорема 1: Пусть функцияy=f(x) дифференцируема на интервале (a;b) , х₀ (a;b), и f^’(x) = 0. Если при переходе через критическую точку х₀ функции y=f(x) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», т.е. f^’(x) >0 слева от точки иf^’(x) < 0 справа от точки, то х₀ - точка максимума функции.

Теорема 2: Пусть функцияy=f(x) дифференцируема на интервале (a;b) , х₀ (a;b), и f^’(x) = 0. Если при переходе через критическую точку х₀ функции y=f(x) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс», т.е. f^’(x) < 0 слева от точки иf^’(x) >0 справа от точки, то х₀ - точка минимума функции.

Помни! Критические точки, производная в которых не существует, не могут быть точками экстремума функции.

Алгоритм нахождения точек экстремума функции

1. Найти область определения функции D(f);

2. Найти производную функции f’(х);

3. Найти критические точки, f’(х)=0;

4. Определить знак производной на каждом из полученных промежутков разделенных критическими точками на числовой прямой;

5. Пользуясь теоремами максимума и минимума функции, записать ответ.

Рассмотрим примеры:

1. Найти точки экстремума функции f(x)= 2х³ - х²– 8х + 4.

1. D(f)=R

2. Найдем производную функции f’(х) = (2х³ - х²– 8х + 4 ) ^’=

= 6х² - 2x – 8

1. Найдем критические точки (нули производной функции)

6х² - 2x – 8=0

D = b²-4ac

D = (-2)²-4·6·(-8) = 196,

,

X₁= -1, x₂ =

1. Определить знак производной на промежутках:

у^’ + -1 - + x

max

4) х_max = -1 и х_min =

2) Функции у=f(x) задана на отрезке [-3;7]. На рисунке изображен график ее производнойу=f ´(x).Исследуйте функцию у=f(x)на критические точки, монотонность, экстремумы.

1 . Критические точки – производая в которых равна 0, а значит, точки пересечения графикау=f ´(x)сосьюОх и есть критические точки:х =1, х = 6,5;

2. Монотонность функции, это промежутки возрастания и убывания:

функциивозрастает на [-3;1], [6,5;7], так как f^’(x) >0, т.е. график производной функции лежит выше оси Ох

функцииубывает на [1;6,5], так как f^’(x) < 0, т.е. график производной функции лежит ниже оси Ох

1. Экстремумы функции: х_max = 1, так как значение производной меняется с «+» на «-», график переходит из положительных в отрицательные значения производной. х_min = 6,5 так как значение производной меняется с «-» на «+», график переходит из отрицательных в положительные значения производной.

Задание для самостоятельной работы:

Вариант № 8982057 на портале «Решу ЕГЭ»

Инструкция для регистрации на сайте «РЕШУ ЕГЭ»: пройдите по ссылке

https://www.youtube.com/watch?v=j94-DBXjNn8)

Тема: Применение производной к построению графиков функций

Вы уже знаете, что построение графика функции лучше начинать с её исследования, которое можно провести по нижеприведенному алгоритму.

Алгоритм исследования и построения графика функции у=f(x) с помощью производной

1. Найти область определения функции;

2. Определить четность (нечетность) функции:

еслиf(-x)=f(x), то функция чётная - график функции будет симметричен относительно оси ординат;

еслиf(-x)= - f(x), то функция нечётная - график функции будет симметричен относительно начала координат;

1. Найти точки пересечения с осями координат:

осью Оу: х= 0, у=f(0)

осью Ох: у = 0, х находим из уравнения f(х) = 0;

Исследовать функцию при помощи производной:

1. Найти производную и её критические точки;

2. Найти промежутки возрастания и убывания функции;

3. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках;

4. Найти дополнительные точки (при необходимости);

5. Построить график.

Рассмотрим пример:

1. Построить график функции у = х³ – 6х² + 9х – 3

1)Найти область определения функции

D(x) = R

2)Определить четность (нечетность) функции

у(-х)= (-х)³ – 6(-х)² + 9(-х) – 3 = - х³ – 6х² - 9х – 3 ≠ у(х) ≠ - у(х), так как знаки не совпадают и не противоположные, то функция ни чётная, ни нечётная

3)Найти точки пересечения с осями координат:

осью Оу: х= 0, у=f(0)= 0³ – 6·0² + 9·0 – 3= – 3, точка (0;-3)

осью Ох: у = 0, х находим из уравнения f(х) = 0,точка (0;0)

х³ – 6х² + 9х – 3 = 0 (если не решается, то можно не находить)

4)Найти производную

yʹ = 3x² – 12x + 9

Найти критические точки

3x² – 12x +9 = 0 | : 3

x² – 4x + 3 = 0

x₁ = 1, x₂ = 3 - критические точки

5)Найти промежутки возрастания и убывания функции

+ – +

1 3 х

(- ∞ ; 1), (3 ; ∞) – возрастает

(1; 3) – убывает

6)Найти точки экстремума и значения функции в этих точках

хmax = 1 (т.к. переход от + к -)

xmin = 3(т.к. переход от – к +)

Найдем значение функции у = х³ – 6х² + 9х – 3

в данных точках:

у_max = 1³ – 6·1² + 9· 1 – 3 = 1

у_min = 3³ – 6·3² + 9· 3 – 3 = - 3

7)Возьмем дополнительные точки и отметим их:

8) Отметим данные точки в прямоугольной системе координат и построим график функции у = х³ – 6х² + 9х – 3

2. Построить график функции у = :

1)Найти область определения функции

D(x) = R/0.

2)Определить четность (нечетность) функции

у(-х)= = у(х), так как знаки совпадают, то функция чётная. Значит, график функции будет симметричен относительно оси ординат.

3)Найти точки пересечения с осями координат:

Так как х ≠ 0, то и , а значит и у ≠ 0, т.е. график не пересекает оси координат.

4)Найти производную

yʹ =

Найти критические точки

, уравнение не имеет решения, так как х ≠ 0

х = 0 - критическая точка, производная в которой не существует.

5)Найти промежутки возрастания и убывания функции

yʹ + –

0 х

(- ∞ ; 0) – возрастает

(0; ∞) – убывает

6)Найти точки экстремума и значения функции в этих точках

Точек экстремума нет, так как х = 0 - критическая точка, производная в которой не существует.

7)Возьмем дополнительные точки и отметим их:

1. Отметим данные точки в прямоугольной системе координат и построим график функции

у

1

-1 0 1 х

Задание для самостоятельной работы:

Критерии оценивания: оценка «5» - 8 баллов, оценка «4» - 6-7 баллов, оценка «3» - 4-5 баллов.

Тема: Наибольшее и наименьшее значение функций

На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.

Обычно мы определяем эти значения в рамках некоторого интервала xx, который может в свою очередь соответствовать всей области определения функции или ее части. Это может быть как отрезок [a; b], так и открытый интервал (a;b), [a;b), (a;b], бесконечный интервал  промежуток (−∞; a), (−∞; a], [a; +∞), (−∞; +∞).

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a;b]

1. Найти производную функции f’(х);

2. Найти критические точки, f’(х)=0;

3. Вычислить значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку [a; b];

4. Выбрать наименьшее и наибольшее значение: у_наим, у_наиб.

Рассмотрим пример:

Найти наименьшее и наибольшее значение функции f(х) = х³ – 6х² + 9х – 3 на отрезке [-2; 2].

1. Найти производную функции f’(х) = (х³ – 6х² + 9х – 3) ’ = 3x² – 12x + 9;

2. Найти критические точки, f’(х)=0;

3x² – 12x +9 = 0 | : 3

x² – 4x + 3 = 0

x₁ = 1

x₂ = 3(не принадлежит отрезку [-2; 2])

1. Вычислить значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку [-2; 2];

f(-2) = (-2)³ – 6(-2)² + 9(-2) – 3= -53

f(2) = 2³ – 6·2² + 9·2 – 3= -1

f(1) = 1³ – 6·1² + 9·1– 3=1

1. Выбрать наименьшее и наибольшее значение:

у_наим= -53, у_наиб.= 1

Задание для самостоятельной работы:

Вариант № 8982057 на портале «Решу ЕГЭ»

Инструкция для регистрации на сайте «РЕШУ ЕГЭ»: пройдите по ссылке

https://www.youtube.com/watch?v=j94-DBXjNn8)

Тема: Подготовка к контрольной работе

Задания (дифференцированные) направлены на подготовку к контрольной работе с целью систематизировать знания обучающихся. Задания уровня А соответствуют обязательному уровню знаний и умений (задания стандартного типа на знание формул, определений иприменения их в знакомой ситуации). Задания уровня Б соответствуют среднему, высокому уровню сложности, ориентированы на более подготовленных учащихся (применение знаний и умений в изменённой ситуации).

1. Найдите производную функции:

Задания уровня А:

1. y = e^x-x⁷;

2. у= .

3. у=5^х-cosx.

4. у= -5х³+ 25x² – 24x +23

5. .

6. 

Задания уровня Б:

1. у=lnx·^·sinx

2. .

3. 

4. у =cos(e^x)

5. у =

6. у =(8x³-2x)⁷

1. Найти угловой коэффициент касательной функции в точке:

Задание уровня А:

1. f(x)= х²–3х+1,x₀=1,5;

Задания уровня Б:

1. f(x)=cos2x,x₀=.

1. Составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке:

Задание уровня А:

1. f(x)= 3х² – 2х + 1, х₀=2;

Задания уровня Б:

1. f(x)= , х₀= 7.

1. Найти все точки графика функции у= +2х²-12х +3, в которых касательная параллельна оси Ох.Задание уровня Б.

2. При каком значении х касательные к графикам функции у= и у=х² параллельны. Задание уровня Б.

Тело движется по закону S(t) = t⁴ – t². Определить скорость и ускорение в момент времениt₀=3с, если расстояние измеряется в метрах.Задание уровня А.

1. Тело движется по закону S(t) = t² – t. Определить ускорение в момент времениt₀=4с и силу, действующую на тело, если его масса 2 кг, а расстояние измеряется в метрах. Задание уровня Б.

2. Найти критические точки функции:

Задание уровня А:

1. у = 2x² - 8х + 3;

Задание уровня Б:

1. у = sin(x-).

1. Найти промежутки возрастания и убывания функции:

Задание уровня А:

1. y= х³ – х²–3х + 2;

Задание уровня Б:

1. y = 2х²–lnх.

1. Найти экстремумы функции:

Задание уровня А:

1. y= х²–3 + 2х;

Задание уровня Б:

1. у = 9х – х³+ 2.

1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке:

Задание уровня А:

1. у = х³ – 3,5х² + 10х – 3, [0;3];

Задание уровня Б:

1. у = 2sin(),[-π;].

1. Исследовать функцию и построить её график:

Задание уровня А:

1. у = х² – 2х – 3;

2. у = 2х⁴ – 4х²;

Задание уровня Б:

1. у =.

Контрольная работа по теме: «Производная и ее применение»

Список литературы

1. Башмаков, М. И. Математика : учебник СПО / М. И. Башмаков. - 6-е изд., стер. – Москва : КноРус, 2020. - Текст : электронный // ЭБС КноРус : [сайт]. – URL:https: //book.ru (дата обращения 29.09.2019).

2. Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10˗11 классы : учебник : базовый и углублённый уровни / [ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва и др.]. – 4-е изд. – Москва : Просвещение, 2017. ˗ 463 с.

3. Алгебра и начала анализа: Дидактические материалы для 10-11кл. /[М.И.Шабунин и др.]– 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2001. – 251с.

4. Алгебра и начала математиеского анализа. 10-11классы: В помощь старшекласснику/[Н.М.Литвиненко]– Москва: Эксмо, 2018. – 160с.

5. Математика в школе : научно-теоретический и методический журнал / учредители Министерство образования и науки Российской Федерации, ООО «Школьная Пресса» ; главный редактор Е. А. Бунимович. – Москва, 2016-2019. – Выходит 10 номеров в год.

6. Контрольные работы по математике для обучающихся по программам ППКРС, ППССЗ: методическое пособие /составитель С. А. Гладышева, С. И. Османкина. – Сургут : Сургутский политехнический колледж, 2019. – 22 с.

7. Практические работы по математике для обучающихся по программам ППССЗ : методическое пособие / составители С. А. Гладышева, С. И. Османкина. – Сургут : Сургутский политехнический колледж, 2019. – 22 с.

8. Практические работы по математике для обучающихся по программам ППКРС : методическое пособие / составители С. А. Гладышева, С. И. Османкина. – Сургут : Сургутский политехнический колледж, 2019. – 22 с.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/473046-metodicheskoe-posobie-proizvodnaja-i-ee-prime