Арифметическая и геометрическая прогрессии

Разработка учителя математики МОУ лицея №7 г.Миллерово

Нос Людмилы Николаевны

Тема: Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Цели урока:

Обобщение и систематизация знаний об арифметической и геометрической прогрессиях.

Ознакомление учащихся с историческим материалом.

Ход урока.

I. Организационный момент. ..тема нашего сегодняшнего урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии ». В течении всего урока мы постараемся не просто повторить данную тему, но проверить свои знания по подготовки к ГИА.

Учитель:

Изучена данная тема,
Пройдена теории схема,
Вы много новых формул узнали,
Задачи с прогрессией решали.
И вот в последний урок
Нас поведет красивый лозунг
“ПРОГРЕССИО - ВПЕРЕД”

Сегодня у нас в классе состоится совет – Совет мудрецов.

Мудрецы – ученики, сидящие в классе по группам (ребята разбиты на четыре группы).

Узнаете ли вы их?

(За столом сидят Архимед, Гаусс, Магницкий).

II. Знакомство с историческим материалом.

Архимед:Кто формулу суммы квадратов нашел? И верной дорогой к прогрессу пришел? Математик и физик. Я – Архимед. О жизни моей ходит много легенд.

Магницкий:Господа! Имею честь представиться. Я – Леонтий Филиппович Магницкий – создатель первого учебника “Арифметика

Гаусс: О! Я – Карл Гаусс! Нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи учеником начальной школы.

Учитель: Скажите, ребята, почему эти ученые – математики вдруг собрались вместе за одним столом? Какой вопрос математики их объединяет?

(Ребята высказывают свои мнения и в подтверждение их высказываний прочитать легенду)

Ведущая: Немного истории:

Архимед: Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах».

На связь между прогрессиями первым обратил внимание Архимед

Магницкий: В 1703 году вышло первое русское печатное руководство под длинным заглавием «Арифметика» . В книге были сведения из механики, физики, гидравлики, метеорологии, навигации, корабельного дела и пр., то есть научный материал, который имел исключительное значение для всего русского народа, в том числе для поморов и М.В. Ломоносова.

Гаусс: Карл Гаусс нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи учеником начальной школы. С раннего возраста обнаружил выдающиеся математические способности. Рассказывают, что, будучи трех лет, Г. решал числовые задачи и любил чертить геометрические фигуры. Еще при жизни его называли «Принц математиков»

Легенда о шахматной доске

Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века и неудивительно, что с нею связаны различные придания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.

Чтобы понять ее, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно точно знать, что игра происходит на доске, разделенной на 64 клетки (попеременно черные и белые).

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку.

Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

– Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, – сказал царь. Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание – предложил царь.

– Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

– Не робей, – ободрил его царь. – Выскажи свое пожелание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

На что Сета сказал, что он обдумает ответ и завтра сообщит царю свою просьбу.

На другой день, когда Сета сообщил свою просьбу, царь удивился беспримерной скромности бедного Мудреца.

– Повелитель, – сказал Сета, – прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

– Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

– Да, повелитель. За вторую клетку выдать 2 зерна, за третью – 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32…

– Довольно, – с раздражением прервал его царь.  Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию. Но знай, что твоя просьба недостойна моей щедрости. Поистине, как учитель, ты мог бы показать лучший пример уважения к доброте своего государя. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей. 

Царь Шерам засмеялся.

Учитель: О, Мудрецы 9 класса, посоветуйтесь и скажите, стоит ли царю смеяться?

(запись на доске 1, 2,8, 16, 32, . . . S₆₄ - ?)

(Решает тот кто о шахматах говорит) b₁=1; q=2; n=64.

S=; S₆₄=2⁶⁴– 1

Архимед: Наимудрейшие! Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, и получить хороший урожай, то лет за пять он смог бы рассчитаться.

Гаусс:Математика – это точная наука.

(записывает на доске)

S₆₄=18 446 744 073 709 551 615 

– Читает:

Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать.

Магницкий: Господа Мудрецы 9 класса! Мои современники сказали бы так, что .Правда, признаюсь, что в моем учебнике “Арифметика”, изданном 200 лет назад, по которому целых полвека учились дети, много задач по теме “Прогрессии”. И чтобы решить ту или иную задачу по этой теме, нужно знать формулы, связывающие входящие в них величины.

III. Проверка знаний теории по теме “Прогрессии”.

Учитель: Итак, проверим знание формул по теме “Арифметическая и геометрическая прогрессии”.

(Каждому ученику раздается заготовка для проверки знаний теории).

(Ученики заполняют таблицу, затем на экране появляется таблица, ученики проверяют правильность заполнения таблиц друг у друга с таблицей на экране).

Учитель:Зная эти формулы, можно решить много интересных задач, и если вы, Мудрецы 9-го класса, справитесь с их решениями, то узнаете любимое изречение одного из Мудрецов.

IV. Решение задач на применение формул.

(Каждой группе дается задание.

Задания распределяются с учетом возможностей каждой группы)

1-я группа.

В арифметической прогрессии -1, 4, 9, … найдите:

1) d - ? ( 5 )
2) S₈ - ? ( 132 )
3) a₁₇ - ? ( 79 )

В геометрической прогрессии q=1/2 , найдите:

4) S₅ - ? ( 15,5 )
5) b₅ - ?

В арифметической прогрессии , найдите:

6) a₁ - ? ( 7 )
7) d - ? ( 3 )
8) a₁₀ - ? ( 34 )

Между числами –2 и –128 вставьте два числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия:

9) ( -8 )
10) ( -32 )

(Учащиеся составляют слово, используя таблицу)

 2-я группа.

В арифметической прогрессии –2, 5, 12 … найдите:

1) d - ? ( 7 )
2) S₅ - ? ( 60 )
3) a₁₇ - ? ( 110 )

В геометрической прогрессии b₁=-32;q=1/2 найдите:

4) S₁₀ - ?
5) b₆ - ? ( -1 )
6) S₅ - ? ( -62 )

В бесконечной геометрической прогрессии: -48, 24, -12 …

7) S - ? ( -32 )

Между числами 1 и 64 вставьте два числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия

8) ( 4 )
9) ( 16 )

Число 486 является членом геометрической прогрессии 2,6,18,…. Найдите номер этого члена? (6)

(Учащиеся составляют слово, используя таблицу)

Гаусс:

Изрядно потрудившись, собрали вы слова.
И поиск их был нами оценен.
Слова же следует теперь соединить,
В какую фразу можно их объединить?
“Математика – царица наук, арифметика – царица математики”

Я МАТЕМАТИКА – царица всех наук! Практическая каждая тема математики связывает её с другими науками. Вот примеры и задачи на прогрессию в других науках.

Прогрессия в БИОЛОГИИ:

В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Указать количество бактерий, рождённых одной бактерией за 7 минут.

Решение:

Задачи на прогрессию - это не абстрактные формулы. Они берутся из самой нашей жизни, связаны с ней и помогают решать некоторые практические вопросы

Задача: Вертикальные стержни фермы имеют следующую длину: наименьший 5 дм, а каждый следующий

В архитектуре: Амфитеатр состоит из 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр?

В строительстве: При хранение брёвен строевого леса, их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в её основании положить 12 брёвен

 V. Итог урока.

Учитель:

О мудрецы времен!
Дружней вас не сыскать.
Совет сегодня завершен,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут.

(Данный проект охватывает учебную тему «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Он рассчитан на учащихся 9 класса и реализуется в форме ролевой игры, что позволяет сделать уроки математики нескучными и при этом чрезвычайно насыщенными и интересными. Данную тему алгебры тесно связали с историей,так как вопросами исследования последовательностей занимались многие ученые на протяжении нескольких столетий. Данный проект предназначен для развития творческих способностей учащихся, нацеливает на самостоятельную исследовательскую деятельность, формирует навыки сравнительно-сопоставительного анализа. Проект формирует представление о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.)

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/48289-arifmeticheskaja-i-geometricheskaja-progressi