Обучение семиклассников осознанному усвоению содержания, формулировок и доказательств теорем

ОБУЧЕНИЕ СЕМИКЛАССНИКОВ ОСОЗНАННОМУ УСВОЕНИЮ

СОДЕРЖАНИЯ, ФОРМУЛИРОВОК И ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРЕМ

Абубикерова Г.

Россия, г. Астрахань, ГБОУ АО «Астраханская лингвистическая гимназия»

Обоснована необходимость разработки заданий, выполнение которых приводит к пониманию содержания теорем непосредственно перед их доказательством. Это приводит к непроизвольному усвоению содержания теорем, запоминанию их формулировок.

Преподавание геометрии в школе играет особую роль в умственном воспитании детей. Это единственный школьный курс, имеющий вполне дедуктивный характер. Даже школьная алгебра не может сравниться с этим предметом в данном отношении. Конечно, и в курсе геометрии в школе не все доказывается совершенно строго, и в ряде случаев при доказательствах мы используем жизненные представления вместо точных теоретических обоснований. Но несмотря на это, геометрия обеспечивает логическое развитие учащихся. Под правильным преподаванием здесь имеется в виду такое преподавание, в котором ни одна теорема, доказываемая в учебнике, не остается без доказательства в изложении учителя и учащихся. Особое внимание необходимо уделять задачам на построение. Следует считать обязательным требование, чтобы каждый ученик свободно владел алгоритмами решения следующих задач на построение циркулем и линейкой, о которых говорится в стандарте образования: деление отрезка пополам, построение треугольника по трем сторонам, построение перпендикуляра к прямой, построение биссектрисы, деление отрезка на n равных частей. К этому нужно добавить умение строить угол, равный данному, а также построение третьего пропорционального к двум отрезкам и четвертого пропорционального к трем отрезкам. Добиваться этого можно, помещая эти задачи в математические диктанты.

Теоремы бывают разных видов. Совершенно особо выглядят теоремы существования, формулируемые так: «существует объект, имеющий данные свойства: хА(х)».Теорема 19.1. Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов этого отрезка. [ 3, с. 125].

Теоремы единственности: «существует только один объект, обладающий данным свойством».Теорема 5.1. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. [3 , с. 35].

В большинстве теорем школьного курса математики доказываются свойства или признаки тех или иных объектов. Строение этих теорем таково: если верно высказывание А(х), то верно высказывание В(х), т. е. (хМ(А(х)В(х)).

Например, теорема о вертикальных углах может быть прочтена таким образом: для любых двух углов, если верно, что эти углы вертикальные, то верно, что эти углы равны. Или короче: для любых двух углов, если углы вертикальные, то они равны.

В теоремах можно выделить три части:

разъяснительную часть (хМ), показывающую, на каком множестве рассматривается теорема;

условие А(х), показывающее, что известно об объектех;

заключение В(х), показывающее, что требуется доказать.

Если АВ, то А называется достаточным свойством для В, а В – необходимым свойством для А.

Если у теоремы поменять местами условие и заключение, сохраняя разъяснительную часть, то получится обратная теорема. Именно, для теоремы хМ(А(х)В(х)) обратной является теорема хМ(В(х)А(х)). Например, для теоремы о накрест лежащих углах: Теорема 14.2. Если сумма односторонних углов. Образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180^о,то прямые параллельны [ 3, с. 89].Обратная ей будет Теорема 15.2.(обратная теореме 14.2.) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180[3 , с. 97].

Если у теоремы заменить условие и заключение их отрицаниями, сохраняя разъяснительную часть, то получится противоположная теорема. Именно, для теоремы хМ (А(х)В(х)) противоположной является теорема хМ(А(х)В(х)). Например, для теоремы о накрест лежащих углах Теорема 14.1: Если два внутренних или два внешних накрест лежащих угла, образованных при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны [3 , с. 88], противоположная теорема выглядит так Теорема 15.1: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то пары внутренних или пары внешних накрест лежащих углов равны [ 3, с. 96].

Бывает, что исходная теорема АВ верна, а обратная и противоположная теоремы не верны. Поэтому прежде чем начать доказывать теоремы, нужно сначала поработать над формулировкой теорем, уяснением их содержания, так как учащимся необходимо иметь представление, о чем идет речь в целом, чтобы они сами приходили к нужным выводам. Выше мы рассмотрели, какие теоремы преподаются в 7 классе за первое полугодие. А теперь попытаемся понять, как нужно отрабатывать формулировки. Для этого сначала на листе А4 изображаются рисунки, на которых наглядно показаны правильные и неправильные иллюстрации формулировки теоремы, а затем задаются вопросы по тексту теоремы. Учащиеся, глядя на чертежи, пытаются сопоставить каждый чертеж с изучаемой теоремой, на основании чего делается выбор рисунка, правильно отображающего содержание теоремы. Учитель использует и контрпримеры – на таких рисунках не отражено или неправильно отражено что-то из условия теоремы. Это делается для того, чтобы учащиеся сопоставляли данные на рисунке элементы с данными в тексте теоремы. В процессе такой работы учащиеся, формулируя ответы, лучше усваивают смысл той или иной изучаемой теоремы.

В качестве примера приведем теорему о первом признаке равенства треугольников [ 1, с. 53].

Теорема 8.1. (Первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Предлагаем учащимся внимательно посмотреть на рисунки 8.1 и выделить те из них, которые соответствуют формулировке теоремы.

На одном из рисунков (8.1а) изображена иллюстрация теоремы о первом признаке равенства треугольников, и можно на основании этой иллюстрации провести рассуждения, приводящие к выводу о равенстве треугольников. На других же рисунках какие-либо из условий теоремы о I признаке равенства треугольников нарушены: на одном (8б) нет равенства второй пары соответственных сторон, на другом – нет равенства углов между двумя парами соответственно равных сторон (8с), на третьем (8d) – только одна пара равных углов.

Эта работа проводится для того, чтобы учащиеся уяснили, что нарушение какого-то условия в формулировке теоремы не приводит к справедливости заключения. Учащиеся, проанализировав рисунки, отчетливо это видят. Они самостоятельно приходят к выводу, что полностью отражает содержание теоремы лишь рис. 8.1а. Судя по условию теоремы равенство двух сторон и угла между ними дает нам равенство треугольников.

(Когда отработана формулировка теоремы, можно приступать к доказательству.

Равенство треугольников ABC и А₁В₁С₁ будем обозначать так: Δ ABC = Δ А₁В₁С₁. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы. Доказательство теоремы производится на доске по частям и записывается учащимися в тетрадях. Для закрепления доказательства ставится вопрос: “На какие знания мы опирались в доказательстве теоремы?”, “Облегчит ли полученный признак решение задач на равенство треугольников?”, “Из равенства треугольников будет ли следовать равенство соответственных сторон и соответственных углов?”.

Д ано:

АВ = A₁B₁, АС = A₁C₁ ∠ А = ∠ А₁

Доказать:

Δ ABC = Δ A₁B₁C₁.

Рис. 1. Иллюстрация теоремы о первом признаке равенства треугольников

Доказательство.

Отработав формулировку теоремы на чертежах, начинаем доказательство.

Доказательство

- Вспомним определение равных треугольников.

[Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.]

- Так и поступим: будем накладывать ∆ АВС на ∆ А₁В₁С₁. Теперь нужно решить, с чего начать: Накладывать сразу весь треугольник или сначала одну сторону?

[Конечно, сначала одну сторону. Это легче.]

- И еще вопрос: сразу накладывать сторону или сначала вершину?

[Сначала вершину треугольника.]

- Обязательно обратите внимание, в ходе доказательства необходимо четко различать, какие элементы треугольника совпадают благодаря наложению

(мы их занумеруем), а какие – по условию теоремы. Будем накладывать ∆ АВС на ∆ А₁В₁С₁так, чтобы

1) точка А совместилась с точкой А₁;

2) луч АС прошел по лучу А₁С₁.

Что можно сказать про точку С?

[Так как АС = А₁С₁, то точка С совпадает с точкой С₁.]

- Правильно. Так какА = А₁ по условию, то мы можем наложить

∆ АВС на ∆ А₁В₁С₁Так, чтобы: 3) луч АВ прошел по лучу А₁В₁.

Что происходит дальше?

[Так как АВ = А₁В₁, то точка В совпадет с точкой В₁. И сторона ВС совпадет со стороной В₁С_1..]

- Почему? Точка В совпала сточкой В₁, точка С совпала сточкой С₁, а через две точки можно провести только одну прямую – есть такое утверждение. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ полностью совместились, значит они равны по определению равных треугольников. Теорема доказана.

После доказательства задаются вопросы.

- Всегда ли нам удаётся реально совместить треугольники?

Действительно, иногда совместить треугольники нет возможности.

- Что же делать?

Поставленный вопрос подразумевает сравнение треугольников. Ясно, что наложение треугольников невозможно, появляется потребность сравнения отдельных элементов.

- Все шесть элементов треугольников надо сравнить?

Достаточно сравнить лишь три элемента одного треугольника с тремя элементами другого треугольника.

- Какие, например?

Вот тут нам на помощь придут признаки равенства треугольников, они нам расскажут, какие именно элементы нужно сравнивать.

- Что такое признак равенства треугольников и сколько существует признаков?

Условия, при которых два данных треугольника оказываются равными, называются признаками равенства треугольников. Можно сказать, что признак – это примета, по которой можно узнать те или иные свойства фигур.

- О каких элементах для сравнения мы будем сегодня говорить?

Далее применяем доказанную теорему к решению задач.

При построении чертежей целесообразно использовать цветные мелки. Работа в классе, один ученик работает у доски, остальные с места помогают решить задачу.

Задача № 173 [2, с. 58]. Даны ΔАСВ и ΔА₁С₁В₁,где  АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁;

А = А₁, АР = А₁Р₁. Докажите равенство ΔВРС и ΔВ₁Р₁С₁.

Рис.2. Иллюстрация условия задачи № 173

Дано: ΔАСВ и ΔА₁С₁В₁; АВ = А₁В₁; АС = А₁С₁;

А = А₁; АР = А₁Р₁.

Доказать: ΔВРС = ΔВ₁Р₁С₁.

Доказательство

Рассмотрим ΔАСВ и ΔА₁С₁В₁:

АВ = А₁В₁ (по условию), АС = А₁С₁ (по условию), А = А₁ (по условию), тогда ΔАСВ = ΔА₁С₁В₁ (первый признак, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними).

Отсюда ВС = В₁С₁ и В = В₁.

По условию АВ = А₁В₁ и АР = А₁Р₁, тогда и РВ = Р₁В₁ как разности двух пар соответственно равных отрезков

Рассмотрим ΔВРС и ΔВ₁Р₁С₁:

Литература

1. Атанасян Л.С. Геометрия. 7-9 классы.   2-е изд. — М., 2014. — 384 с.

2. Левитас Г.Г. Методика преподавания математики в основной школе: учебное пособие. — Астрахань: Изд-во АГУ, 2008.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Геометрия: учебник для 7 класса. — М.: Вентана-Граф, 2012. — 192 с.

ОБУЧЕНИЕ СЕМИКЛАССНИКОВ ОСОЗНАННОМУ УСВОЕНИЮ

СОДЕРЖАНИЯ, ФОРМУЛИРОВОК И ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРЕМ

Абубикерова Г.

Россия, г. Астрахань, ГБОУ АО «Астраханская лингвистическая гимназия».

Обоснована необходимость разработки заданий, выполнение которых приводит к пониманию содержания теорем непосредственно перед их доказательством. Это приводит к непроизвольному усвоению содержания теорем, запоминанию их формулировок.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/602998-obuchenie-semiklassnikov-osoznannomu-usvoenij