Конспект урока. Решение задач. Векторы и координаты

Тема:Решение задач.Векторы и координаты.

Цель: Закрепить знания по теме: «Векторы, координаты вектора, скалярное произведение векторов в пространстве».

1. В метапредметном направлении.

Воспитание культуры личности, отношения к геометрии как к части общечеловеческой культуры, формирование понимания значимости геометрии для научно-технического прогресса.

1. В направлении личностного развития.

Формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, пространственных представлений, элементов алгоритмической культуры, способности к преодолению трудностей

Задачи:

образовательные:

– повторение с учащимися вопросов теории

– формирование навыков решения задач базового и продвинутого уровня

воспитательные:

– формирование информационной компетенции
– формирование коммуникативной компетенции

развивающие:

– интеллектуальное, эмоциональное, личностное развитие ученика
– активизация самостоятельной деятельности ученика

План

1. Как находить координаты вектора по координатам его начала и конца, как находить длину вектора, если известны его координаты

2. Как находить координаты вектора суммы и вектора разности  двух векторов, как находить координаты середины отрезка

3. Что такое скалярное произведение векторов, как находить угол между векторами

1.Действия с векторами и координатами в пространстве совершаются абсолютно по тем же правилам,что и с векторами на плоскости. Только добавляется третья координата.

Сначала несколько  слов о том, что такое координаты вектора.

Рассмотрим координатную плоскость и в ней единичные векторы i и j, которые сонаправлены осям координат, и длина которых равна единичному отрезку:

Эти векторы называются базисными. Тогда любой вектор мы можем представить в виде линейной комбинации базисных векторов:

Мы видим, что 

Для произвольного вектора   числа   и   в разложении  вектора   по базисным векторам называются координатами вектора.

Координаты векторов на рисунке выше:

Внимание! При записи координат вектора мы всегда на первом месте пишем   коэффициент при  i, а на втором месте коэффициент при  j.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены. Два равных вектора имеют одинаковые координаты.  Мы видим, что 

Если начало вектора совпадает с началом координат, то координаты вектора совпадают с координатами его конца:

 и 

Если вектор   задан координатами его начала   и конца  , то чтобы найти его координаты, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала:

Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны:

Противоположные векторы имеют противоположные координаты:

При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число:

Если  , то 

Если число  k>0, то векторы   и   сонаправлены.

Если число  k<0, то векторы   и   направлены в противоположные стороны.

Вектора, которые лежат на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Если вектора   и    коллинеарны, то их координаты пропорциональны:

1. Как находить координаты вектора суммы и вектора разности  двух векторов, как находить координаты середины отрезка

При вычитании векторов их координаты вычитаются:

Если  ,   и   , то 

При сложении векторов их координаты складываются:

Если  ,  , и   , то 

Пример.  , . Найдите координаты вектора 

;

Длина вектора  вычисляется по формуле:  

Если вектор    задан координатами его начала   и конца  , то его длина вычисляется по формуле:

С помощью этой же формулы находится длина отрезка , или расстояние между точками  и .

Если точка   является серединой отрезка  , то ее координаты вычисляются по формуле: 

1. Что такое скалярное произведение векторов, как находить угол между векторами

Скалярным произведением векторов   и    называется  число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:

Скалярное произведение векторов   и    равно сумме произведений одноименных координат.

Если мы приравняем правые части выражений для скалярного произведения, мы получим формулу для нахождения косинуса угла  между векторами    и   :

Выразим длины векторов через их координаты и получим формулу, выражающую косинус угла между векторами через координаты векторов:

Рассмотрим примеры  решения задач из открытого банка заданий

1. Вектор    с началом в точке  A(3; 6) имеет координаты (9; 3). Найдите сумму координат точки B.

Пусть координаты точки  .   Тогда 

Отсюда:   , значит, 

, значит, 

Сумма координат точки В равна 

Ответ: 21.

2. Даны вектора   и 

Задания для самоконтроля:

1. Сумму координат вектора 

2. Квадрат длины вектора 

3. Скалярное произведение векторов   и 

4. Угол между векторами   и 

1. Найдем координаты векторов   и  . Для этого сначала найдем координаты начала и конца каждого вектора:

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала:

Координаты вектора  .

Координаты вектора  

Координаты вектора    равны сумме соответствующих координат векторов   и  : 

Сумма координат вектора   равна 20

Ответ: 20.

2. Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат, поэтому квадрат длины вектора   равен 

Ответ: 200.

3.Скалярное произведение векторов   и    равно сумме произведений одноименных координат.

Ответ: 40.

4. Косинус угла   между векторами   и    вычисляется по формуле:

Отсюда 

Ответ: 

Домашнее задание:

1. Какие векторы называются равными?

2. Как найти длину вектора по координатам его начала и конца?

3. Какие векторы называются коллинеарными?

1. Д ано: ; . Найти: .

2. Дано : ; ; ; .Равны ли векторы и

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/615965-konspekt-uroka-reshenie-zadach-vektory-i-koor