Занятие Тема: Шар и сфера. Взаимное расположение сферы и плоскости. Сечение шара и сферы

Тема: Шар и сфера.

Взаимное расположение сферы и плоскости.

Сечение шара и сферы.

Конспект лекции (дистанционного занятия).

Дисциплина: Математика
Курс: 1
Форма обучения: дистанционная
Цели занятия

Образовательная цель:
Сформировать у обучающихся чёткое представление о шаре и сфере как геометрических телах, раскрыть закономерности их взаимодействия с плоскостью и научить находить элементы сечений через геометрические связи.

Развивающая цель:
Развивать пространственное воображение, умение «видеть» трёхмерные объекты в сечениях, а также навыки логического вывода формул на основе анализа геометрических отношений.

Воспитательная цель:
Воспитывать аккуратность при построении чертежей, уважение к строгости математических рассуждений и стремление к пониманию, а не к механическому запоминанию.

Задачи занятия

1. Различать понятия «шар» и «сфера», знать их определения и элементы.

2. Изучить три случая взаимного расположения сферы и плоскости.

3. Вывести и применять формулу связи радиуса шара, радиуса сечения и расстояния до плоскости.

4. Понять свойства касательной плоскости к сфере.

5. Научиться решать задачи на нахождение элементов сечений.

6. Установить связь с реальными объектами (планеты, резервуары, спортивные снаряды).

План:

1. Основные понятия

2. Примеры

3. Самопроверка.

4. Домашняя работа.

1.Изучение материала. Теоретическая основа.

1.1. Шар и сфера: в чём разница?

Многие путают эти понятия, но разница принципиальна:

Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек пространства, удалённых от заданной точки (центра) на фиксированное расстояние (радиус).
→ Сфера полая внутри, как оболочка мяча или мыльный пузырь.

Шар — это тело, ограниченное сферой. Включает в себя и поверхность, и всё внутреннее пространство.
→ Шар заполнен, как арбуз, яблоко или металлический шарик.

Запомни: сфера — «кожура», шар — «кожура + мякоть».

Элементы шара и сферы:

• Центр — точка , равноудалённая от всех точек поверхности.

• Радиус — отрезок от центра до любой точки поверхности ().

• Диаметр — отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки поверхности ().

1.2. Взаимное расположение сферы и плоскости: три случая

Пусть дана сфера радиуса с центром и плоскость . Обозначим — расстояние от центра сферы до плоскости (длина перпендикуляра , где ).

Возможны три принципиально разных случая:

Случай 1. Плоскость пересекает сферу ()

Плоскость «режет» сферу, и линия пересечения — окружность.

Центр окружности — точка (основание перпендикуляра из к плоскости).

Радиус окружности связан с итеоремой Пифагора в треугольнике (где— точка на окружности):

Это ключевая формула всего раздела. Запомните её!

Случай 2. Плоскость касается сферы ()

Плоскость имеет с поверхностью ровно одну общую точку — точку касания .

В точке касания радиус перпендикулярен плоскости.

Такая плоскость называется касательной плоскостью к сфере.

Аналогия: шарик лежит на столе — стол является касательной плоскостью, точка касания — нижняя точка шарика.

Случай 3. Плоскость не пересекает сферу ()

Плоскость расположена «в стороне» от сферы, общих точек нет.

Расстояние от любой точки сферы до плоскости больше нуля.

Минимальное расстояние равно .

1.3. Сечение шара плоскостью

Когда плоскость пересекает шар (а не только его поверхность — сферу), сечение представляет собой круг, заполненный внутри.

Если(плоскость проходит через центр), сечение называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара ().

Все большие круги равны между собой и делят шар на две равные половины.

Площадь сечения (круга): .

Интересный факт: Земля — почти шар. Экватор и все меридианы — большие круги. Параллели (кроме экватора) — малые круги.

1.4. Касательная плоскость: свойства и признак

Свойство:
Если плоскость касается сферы в точке , то радиус , проведённый в точку касания, перпендикулярен этой плоскости.

Признак:
Если радиус перпендикулярен плоскости , проходящей через точку , то — касательная плоскость к сфере.

Это свойство аналогично свойству касательной к окружности на плоскости и часто используется в задачах на доказательство.

1.5. Почему это важно в жизни?

Геодезия и навигация: расчёт кратчайших маршрутов по поверхности Земли (ортодромии — дуги больших кругов).

Архитектура: купольные конструкции, где сечение сферы даёт арки и своды.

Машиностроение: подшипники, шаровые опоры — расчёт зазоров и контактов.

Медицина: компьютерная томография — срезы тела пациента плоскостями, интерпретируемые как сечения объёмных структур.

Понимание сечений позволяет «заглянуть внутрь» объекта без его разрушения.

1. Примеры

Пример 1. Нахождение радиуса сечения

Условие:
Радиус шара равен 13 см. Расстояние от центра шара до секущей плоскости — 5 см. Найдите радиус сечения.

Решение:
Применим ключевую формулу:

Ответ: 12 см

Проверка: получили «египетский» треугольник 5-12-13 — значит, решение верно.

Пример 2. Обратная задача: нахождение расстояния до плоскости

Условие:
Шар радиусом 10 см пересечён плоскостью. Радиус сечения — 6 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости.

Решение:
Из формулы выразим:

Ответ: 8 см

Пример 3. Площадь сечения

Условие:
Радиус шара — 15 см. Секущая плоскость удалена от центра на 9 см. Найдите площадь сечения.

Решение:

Найдём радиус сечения:

Площадь круга:

Ответ:см²

Пример 4. Касательная плоскость

Условие:
Через точку на поверхности шара радиусом 7 см проведена касательная плоскость . Точка лежит в плоскости на расстоянии 24 см от точки касания . Найдите расстояние от центра шара до точки .

Решение:

—радиус,(свойство касательной плоскости).

Треугольник— прямоугольный ().

По теореме Пифагора:

Ответ: 25 см

Снова «египетский» треугольник — 7-24-25.

Пример 5. Большой круг

Условие:
Площадь большого круга шара равна см². Найдите радиус шара и его объём.

Решение:

Площадь большого круга: см.

Объём шара:

Ответ:см,см³

Пример 6. Две параллельные плоскости

Условие:
Шар радиусом 25 см пересечён двумя параллельными плоскостями. Расстояния от центра шара до плоскостей — 7 см и 15 см. Найдите площади обоих сечений.

Решение:

Для первой плоскости ( см):

Для второй плоскости ( см):

Ответ:см² и см²

Пример 7. Сфера и три взаимно перпендикулярные плоскости

Условие:
Сфера касается трёх взаимно перпендикулярных плоскостей. Расстояние от центра сферы до точки пересечения плоскостей равносм. Найдите радиус сферы.

Решение:

Точка пересечения плоскостей — начало координат .

Центр сферы имеет координаты , так как расстояние до каждой плоскости равно радиусу (касание).

Расстояние.

По условию: см.

Ответ: 3 см

Пример 8. Практическая задача: глубина погружения шара

Условие:
Деревянный шар радиусом 10 см плавает в воде так, что глубина погружения (расстояние от плоскости воды до нижней точки шара) равна 2 см. Найдите радиус круга, по которому вода соприкасается с шаром.

Решение:

Центр шара находится на расстоянии см ниже плоскости воды.
→ см (расстояние от центра до плоскости воды).

Радиус сечения (линии контакта):

Ответ: 6 см

Такие расчёты используются в судостроении при определении осадки плавающих тел.

1. Самопроверка.

Задания

1. Радиус шара — 25 см. Расстояние от центра до секущей плоскости — 20 см. Найдите радиус сечения.

2. Площадь сечения шара плоскостью равнасм². Расстояние от центра шара до плоскости — 5 см. Найдите радиус шара.

3. Может ли сечение шара плоскостью быть эллипсом? Обоснуйте.

4. Через точку на поверхности шара радиусом 9 см проведена касательная плоскость. На расстоянии 12 см от точки касания в этой плоскости лежит точка . Найдите расстояние от центра шара до точки .

5. Две параллельные плоскости пересекают шар. Радиусы сечений — 9 см и 12 см. Расстояние между плоскостями — 3 см. Найдите радиус шара.

Ключи и ответы

1. см

2. см;см

3. Нет, сечение шара любой плоскостью — всегда круг (или точка). Эллипс получается при сечении эллипсоида.

4. см

5. Пусть расстояния от центра до плоскостей и. Тогда:
   см
   (Отрицательноеозначает, что центр между плоскостями)

1. Домашняя работа

Задание 1 (обязательное)
Радиус шара — 17 см. Секущая плоскость удалена от центра на 8 см. Найдите:
а) радиус сечения,
б) площадь сечения,
в) длину окружности сечения.

Задание 2 (обязательное)
Через точку на поверхности шара радиусом 15 см проведена касательная плоскость. Точка лежит в этой плоскости на расстоянии 20 см от. Найдите расстояние от центра шара до прямой .

Задание 3 (по желанию)
Шар радиусом касается всех граней куба. Найдите отношение объёма шара к объёму куба.

Объяснение:

В задаче 1 используйте формулу , затем стандартные формулы круга.

В задаче 2 постройте перпендикуляр из центра шара к прямой — получите прямоугольный треугольник.

В задаче 3 шар — вписанный в куб → диаметр шара = ребру куба.

Формат сдачи: в тетради или PDF-файле.
Срок: до следующего занятия.

Заключение:
Шар и сфера — одни из самых «правильных» и симметричных фигур в геометрии. Их сечения подчиняются простой, но мощной формуле , которая открывает путь к решению самых разных задач — от абстрактных до практических. Освоив её, вы получите надёжный инструмент для работы с объёмными фигурами.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/634583-zanjatie-tema-shar-i-sfera-vzaimnoe-raspolozh