Тема урока: Угол между прямой и плоскостью

Тема урока: Угол между прямой и плоскостью

Общеобразовательная средняя школа № 59 г.Актобе

Учитель математики Ажиенко Юлия Викторовна

Тема урока: Угол между прямой и плоскостью

Цель урока: повторение и закрепление знаний умений и навыков учащихся при решении задач

Ход урока:

1 этап: орг момент

2 этап: повторение

Определение.Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Р ассмотрим плоскость α и прямую АН, НМ - перпендикуляр, АМ - проекция прямой. Угол между прямой АН и плоскостью α – это угол между прямой АН и ее проекцией АМ на плоскости, т.е. это угол МАН = φ₀. Обозн.: 

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она проектируется в точку, угол между прямой и плоскостью считается равным 90°.

3 этап: решение задач

Задача 1 Прямая МА проходит через точку А на плоскости α и образует с этой плоскостью угол φ₀ ≠  90°. Докажите, что φ₀ является наименьшим из всех углов, которые прямая МА образует с прямыми, проведенными в плоскости α через точку А.

Дано: 

Доказать:

Доказательство:

Проведем перпендикуляр МН к плоскости α. АН – проекция прямой АМ (рис. 5). Через точку А проведем произвольную прямую р. Угол между прямой АМ и плоскостью α – это угол между прямой АМ и ее проекцией АН, обозначим его за φ₀. Нужно доказать, что угол между прямой АМ и ее проекцией АН меньше, чем угол между прямой АМ и прямой р.

Опустим перпендикуляр МN на прямую р. Рассмотрим два прямоугольных треугольника МАН, МАN. Они имеют одну и ту же гипотенузу АМ.

Рассмотрим синусы углов MAH и MAN:  .

Рассмотрим следующее отношение:

Длина перпендикуляра MH меньше длины наклонной MN, значит   (так как углы   – острые). Задача доказана.

Задача 2 Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна d.Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен: а) 45°; б) 60°; в) 30°?

Р ешение:

Имеем плоскость α, наклонную АМ. С точки А опустим перпендикуляр АН на плоскость α, МН – проекция наклонной АМ. Тогда угол между прямой АМ и плоскостью α – это угол между прямой АМ и ее проекцией МН, то есть угол АМН. Рассмотрим прямоугольный ∆ АНM. По условию АМ = d. Находим МН:

а)  б) в)

4 этап: подведение итогов

5 этап: домашнее задание №

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/205658-tema-uroka-ugol-mezhdu-prjamoj-i-ploskostju