Из истории одного исследования

Из истории одного исследования…

А.Г.Аршина, учитель математики

МБОУ«Усть-Нерская гимназия»,

Республика Саха (Якутия),

пгт.Усть-Нера

Исследовательской деятельностью в нашей гимназии занимаются уже давно. Толчком к ней послужила проходящая на базе Томторской СОШ им. Н.М.Заболоцкого научно-практическая конференция школьников «Шаг в будущее», на которой были представлены кроме математики и другие естественно - научные секции. В сентябре школьникам предлагается к исследованию некоторый набор тем. Деятельность не носит обязательного массового характера. Некоторые исследования не доходят до конца, некоторые не выходят на уровень республиканских и российских и остаются для гимназических конференций, иногда исследования продолжаются и на следующий год. У каждой темы есть свой руководитель из числа учителей гимназии. Задачи в основном ставят руководители, так как школьники еще не обладают достаточными знаниями. Это наиболее трудная часть - выбрать тему, не только достаточно интересную, но и доступную для продвижения школьников. Сами задачи могут быть не новыми, но и не самыми известными.

Одна из задач пришла мне в голову, когда мы изучали тему «Квадратное уравнение» в 8 классе. Вот ее предыстория.

В 1879 году в Петербургском университете молодой человек 23 лет защитил магистерскую диссертацию под названием «О бинарных квадратичных формах положительного определителя». В ней решались труднейшие вопросы теории чисел и она определила новое направление в этой теории. Ее автором был будущий знаменитый академик Андрей Андреевич Марков (1856 – 1922).

В основу диссертации были положены две его статьи, опубликованные в Германии в 1879 и 1880 годах в одном из наиболее известных в мире математических журналов – “MathematischeAnnalen”. Несмотря на это, прошло более 30 лет, прежде чем на западе «открыли» работы Маркова. В 1913 году крупный немецкий математик Георг Фробениус (1849 – 1917) опубликовал мемуар под названием «О числах Маркова». В предисловии к нему он писал, что вопреки тому, что исследования А.А.Маркова являются «чрезвычайно замечательными и важными», они, по-видимому, остались мало известными. Г.Фробениус объяснил это сложностью их изложения.

Я не ставила себе целью дать хоть какое-либо представление о глубоких исследованиях А.А.Маркова. Но дело в том, что в своих построениях А.А.Марков неожиданно пришел к вспомогательному диофантову уравнению (называемому теперь его именем), имеющему вид X²+Y²+Z²= 3XYZ (1)

И вот – сенсация! А.А.Марков получил описание всех решений уравнения (1), пользуясь только средствами школьной математики.

Я предложила ребятам пройти по пути Андрея Маркова и решить уравнение (1) используя теорему Виета и формулу корней квадратного уравнения. Идеей загорелись «лучшие математики» класса. К итогу дошел только один. Предлагаю ход нашего исследования, опуская некоторые моменты, так как хочу показать красоту решения через аппарат школьной математики.

X²+Y²+Z²= 3XYZ (1)

Уравнение Маркова имеет очевидное решение (1, 1 , 1).

Выясним, как, зная какое-либо решение, можно находить другие решения.

Если (a,b,c) – решение уравнения Маркова, то можно утверждать, что aесть корень квадратного уравнения Ф(х) = х²+b² + c²– 3bcx = 0

Но по теореме Виета это уравнение будет иметь еще один корень x=a^/, такой, что a+a^/= 3bc;a*a^/ = b² + c² (2)

Очевидно,a^/> 0 и (a^/,b,c) также является решением уравнения (1). Назовем его соседним решением по координате а.

Очевидно, если (a^/,b,c) – соседнее решение для (a,b,c), то (a,b,c) является соседним по координате a^/ решением для (a^/,b,c).

Аналогично вводятся решения, соседние по координатеbи по координате с.

Найдем решение, соседнее по координате 1 решению (1, 1, 1). Для этого нужно решить квадратное уравнение x² + 1² + 1² – 3*1*1*x = 0

Кроме корня х = 1, это уравнение имеет корень х = 2. Таким образом, получено еще одно решение (2, 1, 1).

В решениях (1, 1, 1) и (2, 1, 1) две координаты совпадают. Такие решения назовем сингулярными (согласно Маркову).

Если у решения (a,b,c) уравнения Маркова две из координат равны, то в этом и только в этом случае решение является сингулярным.

Первое сингулярное решение (1, 1, 1) имеет только одно соседнее решение – (2, 1, 1). Второе сингулярное решение (2, 1, 1) имеет два соседних: одно из них – (1, 1, 1), другое, соседнее по координате 1, получается из уравнения 2² + y² + 1² = 3*2*y*1 и имеет вид (2, 5, 1). Решение (2, 5, 1) имеет три соседних: (2, 1, 1) и два новых – (13, 5, 1) и (2, 5, 29).Каждое несингулярное решение (a,b,c) порождает три соседних (a^/,b,c), (a,b^/,c), (a,b,c^/), где a^/ = 3bc–a,b^/ = 3ac – b,c^/ = 3ab–c.

Если решение (a,b,c) несингулярно, то одно из его соседних решений имеет меньшую максимальную координату, а две других – большую.

Т аким образом, отправляясь от сингулярного решения (1, 1, 1), и последовательно переходя к соседним решениям с большим максимумом координат, мы получим все решения Маркова. При этом получается таблица – родословное дерево. Эта таблица позволяет для данного N (N ≥ 1) конечным числом действий найти все решения уравнения Маркова, координаты которых не превосходят N.

На первый взгляд, такое сложное уравнение с тремя переменными, «пало» перед теоремой Виета. Вот так обычная тема по квадратным уравнениям нашла свое применение.

Не бойтесь придумывать, изобретать, «запускать» мыслительный процесс. Если ваш ученик обнаружит, что математическая задача столь же увлекательна, как кроссворд, и что напряженная умственная работа может быть столь же желанной, что и стремительная спортивная или компьютерная игра, то он будет получать удовольствие от занятия математикой и забудет ее не скоро.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/451873-iz-istorii-odnogo-issledovanija