Урок Тема: Формулы дифференцирования

Тема: Формулы дифференцирования

Дисциплина: Математика
Курс: 1
Цели занятия

Образовательная цель:
Сформировать у обучающихся систематическое представление о правилах и формулах дифференцирования элементарных функций, научить применять их для нахождения производных сложных функций.

Развивающая цель:
Развивать логическое мышление, умение анализировать структуру функций, выделять составляющие элементы и применять соответствующие правила дифференцирования.

Воспитательная цель:
Воспитывать аккуратность при выполнении математических преобразований, уважение к математической строгости и стремление к пониманию внутренней логики математических операций.

Задачи занятия

1. Повторить определение производной и её геометрический смысл.

2. Изучить таблицу производных основных элементарных функций.

3. Освоить основные правила дифференцирования (суммы, произведения, частного, сложной функции).

4. Научить применять формулы и правила для нахождения производных различных функций.

5. Развивать навыки проверки правильности найденных производных.

План:

1.Основные понятия

2.Примеры

3.Самопроверка.

4.Домашняя работа.

1. Изучение материала. Теоретическая основа.

1.1. Что такое производная?

Определение:
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

Геометрический смысл:
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Физический смысл:
Если — закон движения тела, то — мгновенная скорость движения в момент времени .

1.2. Таблица производных основных элементарных функций

1.3. Основные правила дифференцирования

Правило 1. Производная суммы (разности)

Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных:

Правило 2. Производная произведения

Производная произведения двух функций равна:

Правило 3. Производная частного

Производная частного двух функций равна:

Правило 4. Производная сложной функции (цепное правило)

Еслии, то:

Правило 5. Производная произведения на константу

Если— постоянная, то:

1.4. Методы нахождения производных

Метод 1. Непосредственное дифференцирование

Применение таблицы производных и основных правил без дополнительных преобразований.

Метод 2. Логарифмическое дифференцирование

Применяется для функций вида . Сначала логарифмируют обе части, затем дифференцируют.

Метод 3. Дифференцирование неявных функций

Если функция задана уравнением , то дифференцируют обе части по , считая функцией от .

1.5. Производные высших порядков

Вторая производная — это производная от первой производной:

Третья производная:

Производнаяn-го порядка:

1.6. Геометрический и физический смысл производной

Геометрический смысл:

—угловой коэффициент касательной к графику в точке .

Уравнение касательной: .

Физический смысл:

Если— путь, то — скорость, — ускорение.

2. Примеры

Пример 1. Производная многочлена

Найти:

Решение:
Применим правило суммы и формулу :

Ответ:

Пример 2. Производная дроби

Найти:

Решение:
Сначала упростим функцию:

Теперь дифференцируем:

Ответ:

Пример 3. Производная произведения

Найти:

Решение:
Применим правило произведения :

Пусть ,

Ответ:

Пример 4. Производная частного

Найти:

Решение:
Применим правило частного :

Пусть,

Ответ:

Пример 5. Производная сложной функции

Найти:

Решение:
Применим правило сложной функции :

Пусть, тогда

Ответ:

Пример 6. Производная показательной функции

Найти:

Решение:
Применим правило произведения:

Пусть,

Ответ:

Пример 7. Производная тригонометрической функции

Найти:

Решение:
Запишем как и применим правило сложной функции:

Пусть, тогда

Ответ:

Пример 8. Производная обратной тригонометрической функции

Найти:

Решение:
Применим правило сложной функции:

Пусть, тогда

Ответ:

Пример 9. Производная логарифмической функции

Найти:

Решение:
Применим правило сложной функции:

Пусть, тогда

Ответ:

Пример 10. Вторая производная

Найти:

Решение:
Сначала найдём первую производную:

Теперь найдём вторую производную:

Ответ:

3. Самопроверка.

Задания для самостоятельного решения

Задание 1.
Найдите производную функции .

Задание 2.
Вычислите: (при).

Задание 3.
Найдите производную: .

Задание 4.
Вычислите: .

Задание 5.
Найдите производную: .

Задание 6.
Вычислите: .

Задание 7.
Найдите производную: .

Задание 8.
Вычислите вторую производную: .

Задание 9.
Что означает геометрически производная функции в точке?

Задание 10.
Почему производная константы равна нулю?

Ключи к самопроверке

Задание 1:

Задание 2:

Задание 3:

Задание 4:

Задание 5:

Задание 6:

Задание 7:

Задание 8:

Задание 9:
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Задание 10:
Константа не изменяется при изменении аргумента, поэтому её скорость изменения (производная) равна нулю.

4. Домашняя работа

Задание 1 (обязательное)

Найдите производные следующих функций:

(при)

Объяснение выполнения:

Для Задания 1:

В первом примере примените правило суммы и формулу .

Во втором примере сначала упростите дробь (разложите числитель на множители), затем дифференцируйте.

В третьем примере примените правило произведения.

Формат сдачи:
Решения оформите в тетради для практических работ или в электронном виде (PDF).
Срок сдачи: до следующего занятия.

Заключение:
Формулы дифференцирования — это фундаментальный инструмент математического анализа. Освоив таблицу производных и основные правила, вы сможете находить производные практически любых элементарных функций. Помните: практика — ключ к успеху! Чем больше задач вы решите, тем увереннее будете чувствовать себя при работе с производными.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/634343-urok-tema-formuly-differencirovanija