Развитие математического мышления у младших школьников в процессе обучения

Тема:развития математического мышления у младших школьников в процессе обучения

Глава 1. Теоретические основы развития математического мышления учащихся в процессе обучения

Математическое мышление как категория научного

знания

Мышление является предметом комплексных, междисциплинарных исследований. В философии изучается соотношение материи и мышления, возможности и пути познания мира с помощью мышления. Основные формы мышления (понятия, суждения, умозаключение) рассматриваются логикой. Социологический аспект мышления характеризуется анализом процесса его исторического в зависимости от социальной структуры различных обществ. Физиология изучает мозговые механизмы, с помощью которых реализуются акты мышления. Кибернетика рассматривает мышление как информационный процесс, фиксируя общее и различное в работе ЭВМ и в мыслительной деятельности человека. Психологи изучают мышление как познавательную деятельность, дифференцируя ее на виды в зависимости от уровней обобщения и характера используемых средств, их новизны для субъекта степени его активности, адекватности мыслительной действительности.

«Мышление дает знания о существенных свойствах, связях и отношениях объективной реальности, осуществляет в процессе познания переход «от явления к сущности», - пишет А.Н.Леонтьев[25,60]. Под мышлением понимается «опосредованное и обобщенное познание человеком предметов и явлений объективной действительности в их существенных свойствах, связях и отношениях. Это процесс отражения объективной реальности, составляющий высшую ступень человеческого познания» [37].

По Ж.Пиаже, младший школьный возраст представляет собой развертывание очередной стадии в развитии интеллекта, но не переход от одной стадии к другой. Он рассматривает развитие мышления как естественный процесс созревания структур интеллекта, как независимый от обучения и противопоставленный последнему [38, 213].

В отличие от этого подхода к изучению развития мышления детей, в русской психологии реализуется иная исследовательская стратегия. Она опирается на положение Л.С.Выготского о том, что источником развития мышления, научных понятий в школьном возрасте является школьное обучение[5, 254], а также на положение С.Л.Рубинштейна по поводу того, что единственно правильный подход в познании психологии детей, в частности их мышления, требует «изучать детей, воспитывая и обучая их»[41, 183].

Наиболее значительные исследования мышления младших школьников, по количеству охватываемых в нем аспектов, развертывались в рамках экспериментальных систем обучения, направленных на выделение в обучении условий, способствующих достижению детьми относительно высокого уровня сформированности мыслительной деятельности по сравнению с тем, что считалось типичным для детей данного возраста.

Такова, например, система экспериментального обучения младших школьников, построенная под руководством Л.В.Занкова [16]. Цель этой системы состояла в установлении условий общего психического развития детей, в частности развития у них наблюдательности, практических действий и мышления. Эксперимент показал, что обучение, построенное на принципах дидактики, сформулированных Л.В.Занковым, формирует у младших школьников мышление, которое характеризуется сознательным рассмотрением предметов в разных аспектах и изменением выделенного аспекта.

Целью изучения мышления младших школьников в другой системе экспериментального обучения в начальных классах было установление условий для более высокого, чем обычно, уровня мышления у детей этого возраста в рамках программированного обучения. Эта система была организована под руководством А.И.Раева [39]. Согласно его представлениям, основными показателями мышления выступают, во – первых, особенности и границы переноса умственных действий и, во – вторых, глубина и полнота осознания совершаемых умственных действий»[40,19]

Под руководством Д.Б.Эльконина и В.В.Давыдова были разработаны экспериментальные учебные программы для начальных классов средней школы. В основе этих программ лежат представления о ведущих типах деятельности, характерных для каждого периода психического развития. При этом цель изучения мышления состояла в том, чтобы установить возможности его развития у младших школьников. Предполагалось, что уже в этом возрасте дети способны выделять не только внешние связи и отношения предметов и явлений, но и их внутреннее закономерное устойчивое единство, т.е. что у младших школьников развитие мышления состоит в переходе от эмпирического мышления к теоретическому, постигающему сущность.

Р.Атаханов, занимаясь проблемой изучения мышления, указывает на то, что оно функционирует, имея в своей основе некоторое конкретное предметное содержание. В ситуации школьного обучения предметом изучения является некоторым образом упорядоченное исходное содержание учебного предмета. Мышление преобразовывает данный материал, а последовательное преобразование объекта мысли приводит к образованию системы понятий и установлению закономерностей. В результате формируются некоторые умения выполнять мыслительные действия. В связи с этим Атаханов выделяет мышление, функционирующее на математическом материале, и называет его условно «математическим мышлением» [2, 10].

Далее автор раскрывает суть этого понятия. Он пишет: «Математическое мышление имеет своим началом некоторую предметно-содержательную реальность, подлежащую мыслительному изменению и преобразованию, а продуктом является новое математическое знание или решение математической задачи. Становление математического мышления обусловлено специфическими для данной науки особенностями образования и формирования ее содержания.

Обусловленное практическими потребностями человеческого общества и познавательными интересами людей содержание математического знания есть отражение объективно существующих отношений, которые зафиксированы как продукт мышления человека, направленного на глубокое познание действительности. Такое мышление в качестве своей содержательной основы имеет систему знаний о математических отношениях в объектах действительности. Математическое мышление осуществляется на материале, формализуемом при помощи математических способов ориентации в количественных отношениях действительного мира» [2, 14].

Формирование мышления человека, в том числе и математического, является составляющим его психического развития. Особенность математики как учебного предмета проявляется в том, что наряду с усвоением системы математических знаний и овладением математическими умениями и навыками, специальной задачей обучения становится работа по формированию мышления детей. Путь формирования математического мышления учащихся заключается в вооружении их способами осуществления мыслительных действий на математическом материале. Математическое мышление удовлетворяет требованиям научного мышления, характеризующими признаками которого являются такие известные общие качества мышления как гибкость, оригинальность, целенаправленность, критичность, широта (обобщенность) ума и т.д.[22,144 – 147; 31, 108 – 116; 34, 57 – 61].

Формирование и развитие математического мышления связывается методистами-математиками (Бантова М.А., Зак А.З., Максимов Л. К. и др.) прежде всего с необходимостью «операционного» обеспечения мышления: процесс преподавания математики (на данном материале) создает возможности обучения учащихся анализированию, синтезированию, обобщению и так далее и как мыслительным действиям, и как специфическим для преподавания математики методам обучения[26, 14].

В основном, во всех изложенных суждениях вопрос о математическом мышлении рассматривается безотносительно к типу мышления, т.е. их теоретической предпосылкой является рассудочно - эмпирическая теория мышления.

Развитие мышления учащихся на уроках математики непосредственно соотносится с формированием логического мышления, которое обуславливается усвоением математических понятий, закономерностей. Формированию логического мышления способствует работа учителя по образованию понятий, соблюдению учащимися логических правил, уяснению смысла логических связок («необходимо», «достаточно», «если…,то», «или») и выполнению логических операций, а также усвоение различных способов доказательства, использование математической символики, обучение решению математических задач. Именно в математике, «в силу ее специфических особенностей, содержатся большие потенциальные возможности для развития логического мышления (рассуждать, анализировать, абстрагировать, обобщать, применять и т.д.» [7, 27].

«Математическое мышление в познании – это системное мышление с такими разновидностями его проявления, как пространственное и функциональное мышление, а отмеченные качества ума наиболее ярко выражены у человека, занимающегося математикой» [13, 33].

Таким образом,факторами, влияющими на развитие математического мышления, являются глубокий анализ учебного материала и методически оправданный подход к преподаванию.

В ряде работ методистов (Пичурин Л.Ф., Кольман Э., Семушин А.Д. и др.) высказано положение, что математическое мышление является логическиммышлением, и что оно формируется в процессе и в результате обучения учащихся оперированию понятиями, высказыванию суждений, доказательству математических предложений, использованию соответствующих символов, знаков и т.д.

Тенденция к такому объяснению особенностей математического мышления характерна и для ученых-математиков (Эрдниев П.М., Колмогоров А.Н., Виленкина Н.Я. и др.), затрагивающих вопросы математического образования, и специалистов по методике преподавания математики. Такая позиция встречается и у представителей других наук, в частности, психологии.

В группе работ, принадлежащих ученым-математикам, обсуждающим вопросы математического образования, выражается мысль о том, что к особенностям лиц, владеющих математикой, они относят умение правильно логически мыслить, подразумевая под этим четкость, последовательность и расчлененность рассуждений, умение выводить логические следствия, их аргументированность и т.д.[7, 21]. Причем местами, как отмечает П.М. Эрдниев, «высшую цель обучения математике сводят к развитию логического (математического) мышления»[3, 195].

Математическое мышление характеризуется рядом умений, указанных А.И. Маркушевичем. Это умения:

- абстрагироваться от несущественных деталей и выделять сущность вопроса;

- определять характер математических отношений:

а) порядка

б) принадлежности

в) количества

г) меры

д) пространственного расположения [29, 9]

А.Н.Колмогоров и С.И. Шварцбург высказывают мысли о важности умения работать с материалом: перевод жизненной ситуации на математический язык, систематизация накапливаемого математического материала (информации) и их преобразование.

Мышление человека, как и любое психическое явление, обладает индивидуальными характеристиками, которые являются результатом реализации человеком своих возможностей.

В своей работе «Психология математических способностей школьников» В.А.Крутецкий говорит о наблюдениях, которые показывают, что у весьма одаренных в математическом отношении школьников приобретает заметное развитие своеобразная организация психики, которую он называет «математической направленностью ума». Часто эта особенность начинает проявляться у школьников уже в возрасте 7- 8 лет и в дальнейшем приобретает весьма широкий характер.

Имеются также ученые-математики (например, Л.С. Трегуб, Г. Фрейндеталь и др.), которые выражают скептическое отношение к вопросу о математическом мышлении. Такое отношение проявляется в том, что математическому мышлению не придается содержательная роль, и поэтому оно не имеет силу понятия. Наиболее явно эту мысль высказывает Л.С. Трегуб: «нет особых методов математического мышления» [46, 7], а Г.Фрейндеталь с оттенком сомнения пишет, что «пока не возможно дать убедительный ответ о том, в чем суть математического мышления» [47, 9].

Исследованиями математического мышления занимались зарубежные и отечественные психологи. Данной проблеме посвящена серия исследований Л.И.Ланды. В одной из первых работ этой серии – «О некоторых недостатках изучения мышления учащихся» - Л.И.Ланда ставит вопрос о необходимости раскрыть психологическую природу, внутренний механизм «умения думать». В.А. Крутецким выявлены способные к математике дети и изучены проявления их мышления на математическом материале. В данном исследовании в качестве основной способности в структуре математических способностей выступала «способность к обобщению математических объектов, отношений и действий», являющихся, по его мнению, специфической способностью относительно математического материала [22, 103].

Чем объясняется такая специфичность обобщения математических объектов? В.А. Крутецкий замечает свернутый характер аналитико-синтетической ориентации способных к математике учащихся, в котором не улавливаются особенности анализа и синтеза как мыслительных действий, предшествовавших обобщению. В исследованиях В.А. Крутецкого было также установлено, что способные учащиеся, по сравнению с другими, «при прочих равных условиях быстрее и шире… обобщают учебный материал» [22, 323]. Такая способность к обобщению проявляется в том, что некоторым учащимся удается достичь обобщения сразу после решения одной задачи, относительно легко находя способ решения, применимый для решения других, внешне различных, но по сути совпадающих задач. В.А. Крутецкий подчеркивает, что «каждая конкретная задача сразу же осознается ими как представитель некоторого класса однотипных задач» [22, 125].

Таким образом, в исследовании данного ученого были обнаружены два способа обобщения: постепенное обобщение, когда учащийся приходит к обобщению в результате длительного решения однотипных задач, а также обобщение «с места», когда учащийся обобщает способ решения на основе анализа решения одной задачи. Первый способ решения, как показал В.В.Давыдов, есть не что иное, как эмпирическое обобщение, а второй способ – теоретическое обобщение. Эти виды обобщения обуславливают особенности двух типов мышления – эмпирического и теоретического[10].

В ходе эмпирического мышления познаваемый объект отражается со стороны его внешних связей и свойств. «Это означает, что в процессе познания человек ориентируется на условия, случайные для существования объекта, и на то содержание в последнем, которое прямо доступно восприятию и наблюдению» [15, 8]. Результатом эмпирического мышления выступает, как отмечает Л.К.Науменко, «знания непосредственного в действительности»[32]. В таком знании отражаются внешне сходные черты познаваемых объектов, т.е. это знание формально общего. В соответствии с отмеченным характером формального обобщения эмпирическое мышление вполне достаточно там, где нужно выделять классы предметов по сходным чертам.

Таким образом, основными чертами эмпирического мышления являются его направленность на чувственно воспринимаемые свойства и связи познаваемых объектов, формальный характер обобщения этих объектов (выявление любого общего им свойства), рассудочность как оперирование готовыми определениями, общими представлениями. Эти черты обеспечивают решение главной задачи эмпирического мышления – классифицировать и упорядочивать познаваемые объекты.

Принципиально иная задача стоит в ходе познания перед теоретическим мышлением. В процессе теоретического мышления человек отражает познаваемый объект со стороны внутренних связей и отношений с другими объектами, необходимых для его существования, т.е. связей и отношений, существенно общих. Это единство, скрытое от непосредственного наблюдения, нельзя обнаружить путем сравнивания воспринимаемых свойств познаваемых объектов, с помощью формальной абстракции, т.е. за счет отвлечения сходных свойств от несовпадающих. «Здесь, - как пишет Э.В.Ильенков, - требуется не абстракция, а анализ»[18, 253]. Анализ как исследование познаваемых объектов, направленное на выделение законов их существования, есть специфический метод теоретического мышления. Его основная задача «состоит в сведении различий внутри целого к единой порождающей их основе, к сущности» [11]. Это выступает первым этапом теоретического мышления. Следующий этап состоит в движении мысли человека от абстрактного определения к мысленно конкретному. В результате формируется содержательное знание о познаваемых объектах, в котором отражен закономерный характер их наблюдаемого существования. Следует отметить, что оба эти этапа, оба направления движения мысли человека взаимосвязаны и пронизывают друг друга в ходе теоретического познания.

Аналитические и синтетические моменты теоретического мышления осуществляются в ходе познания с помощью специфических средств. К их числу относится особая предметность, которая создается специально для того, чтобы можно было представить, воспроизвести во внешней форме внутренние связи и отношения, закономерности познаваемых объектов. «В качестве указанной предметности выступают особые теоретические объекты, которые строятся путем мысленного видоизменения наблюдаемых свойств и отношений: их уменьшения, усиления, отсечения, отожествления, упрощения и т.п., чтобы изучать познаваемые явления в чистом виде, изолируя влияние случайных обстоятельств, маскирующих природу исследуемых явлений»[14, 10]. Познаваемый объект, таким образом, замещается системой абстракций, которая выступает идеализированным объектом.

Таким образом, теоретическое мышление предполагает в ходе своего осуществления акты самопознания, самоотражения человеком своей мыслительной деятельности, направленные на ее анализ, уточнение и расчленение, т.е. акты рефлексии. Как отмечает В.С.Швырев, «источником содержательности теоретического знания является интенсивность деятельности мышления по дифференциации, конкретизации самих определений мысли, т.е. интенсивность рефлексивной деятельности мышления»[49, 268].

Проявление теоретического типа мышления, предметным содержанием которого являются математические объекты, является собственно математическим мышлением и имеет такую же последовательность становления – от эмпирического уровня к аналитическому, а затем к планирующему и рефлексирующему уровням развития математического мышления.

В отличие от эмпирического мышления, которое включает такие мыслительные операции как:классификация, сравнение, эмпирическийанализ,формальное обобщение,теоретическое мышление включает три основных компонента:теоретический анализ, связанный с выделением в некотором целых его единиц, с выделением существенных отношений. Содержательный анализ, направленный на поиски в некотором целостном объекте существенного отношения от привходящих и частных его особенностях; внутренний план действия (планирование) – способность человека разработать программу выполнения действий для достижения поставленной цели; рефлексия – контрольно-оценочное, критическое рассматривание человеком особенностей своих мыслительных действий, направленных на поиск решения задач[28].

Выход за рамки эмпирического мышления – это качественное изменение типа мышления, достигающее своей развитой формы по своим внутренним законам. Его генетическое начало – содержательный анализ. Ребенок, умеющий осуществлять содержательный анализ, выходит за сферу эмпирического мышления и становится на первую ступень теоретического мышления и аналитический уровень математического мышления.

Умение осуществлять содержательный анализ и планирование означает переход на вторую ступень теоретического мышления и планирующий уровень математического. Наличие содержательного анализа, планирования и рефлексии – рефлексирующий уровень математического мышления свидетельствует, по мнению В.В.Давыдова, о сформировавшемся теоретическом мышлении.

Таким образом, математическое мышление имеет четыре уровня развития. Согласно В.В.Давыдову, младший школьный возраст есть период перехода от способов эмпирической ориентации в условиях задач при их решении к способам теоретической ориентации, так как дети в данном возрасте способны выделить не только внешние связи и отношения предметов и явлений, но и их устойчивое внутреннее закономерное единство. Поэтому обучение должно происходить в форме учебной деятельности.

Аналогичной точки зрения придерживается и Р. Атаханов, который говорит о том, что математическое мышление имеет те же четыре проявления в уровнях развития мышления – от эмпирического до теоретико - рефлексирующего уровня мышления, и в этом же направлении заключается его развитие.

Эмпирический уровень мышления вообще проявляют те школьники, которые не могут выполнить задание на содержательный анализ. « Число учащихся с эмпирическим мышлением остается значительным. Например, по данным различных исследований от 40% до 83,3% третьеклассников»[2, 66].

Учащиеся сэмпирическим математическиммышлением образуют четыре группы. Первую, и самую многочисленную, группу составляют учащиеся, проявляющие эмпирический уровень мышления и на неучебном, и на математическом материале. Поскольку такие ученики составляют большинство учащихся класса, то обычно деятельность учителей бывает ориентирована на них. В такой группе могут быть представлены все категории учащихся: от обычных неуспевающих и отстающих до лучших учащихся данного класса.

Такие учащиеся характеризуются следующими особенностями:

«1) поскольку они по уровню «мышления вообще» также представляют группу эмпириков, то выполнение содержательного анализа математического материала оказывается им не доступным в широком возрастном диапазоне;

2) отсутствие ориентации на поиск закономерности и неумении «видеть» некоторое правило даже там, где его доступность очевидна;

3) отсутствие умения формализации описываемых ситуаций и заданных текстом математических символов и последующего их использования как материала мысли;

4) отсутствие возможности принятия не прямой подсказки в процессе решения задач, что говорит об ограниченности возможности выхода за рамки актуальных знаний;

5) ограниченность возможности учащихся усвоением типовых действий и их приложений;

6) важной характеристикой детей эмпирического уровня развития мышления становится диагностика качества усвоения знаний в диапазоне школьной успеваемости, «что они знают и умеют»[2, 77 -78].

Вторую группу составляют учащиеся, проявившиеаналитический уровень развития мышления на неучебном материале и не подтвердившие этот уровень на математическом материале. Происходит отставание развития математического мышления от существующего темпа обучения математике как учебному предмету. Поскольку такие учащиеся могут выполнять содержательный анализ на определенном уровне трудности, то их интеллектуальные возможности обычно остаются не реализованными в ходе обучения математике. Но в целом учеба им дается легче, по сравнению с учащимися первой группы, они могут решать сравнительно простые типовые учебные задания и воспроизводить их, более аккуратно выполнять учебные и внеучебные требования школьной жизни.

Третья группа состоит из учащихся, проявившихпланирующий уровень мышления на неучебном материале. Способом диагностики этого уровня является предъявление заданий, адекватных более раннему возрасту. Таким образом, для учащихся этой группы характерно наличие возможности проявления аналитического уровня, адекватного более младшим возрастом с достаточно большим диапазоном колебаний. Эти дети доаналитики, ставшие такими в силу обстоятельств, связанных с процессом обучения математике в школе, который не способствовал реализации их интеллектуальных возможностей.

В четвертую группу входят учащиеся, проявляющие рефлексирующий уровень развития мышления на неучебном материале. Таких школьников обычно 10 – 20%. О таких учащихся говорят как о потерявщих интерес к учебе; как о способных, но ленивых; как об эрудитах, но непослушных; как о тех, кто не признает авторитет учителей и ищет себя вне школы. Но самое важное то, что среди них много таких, которых просто плохо учили.

Следующий уровень мышления – аналитический.Аналитический уровень математического мышления проявляют те учащиеся, которые находятся на аналитическом, планирующем и рефлексирующем уровнях теоретического мышления. Поэтому можно выделить три группы школьников с аналитическим уровнем математического мышления.

Первую группу образуют дети, проявляющие аналитический уровень мышления и на неучебном материале, и на математическом материале. Таких детей приблизительно 1 – 2 %.

Вторую группу образуют учащиеся, проявляющие планирующий уровень мышления на неучебном и аналитический уровень мышления на математическом материале. Такие учащиеся успешно выполняют адекватные возрасту задания математического содержания, но не справляются с адекватными своему возрасту заданиями математической серии на планировании.

Третью группу образуют учащиеся, проявляющие рефлексирующий уровень развития мышления на неучебном материале.

К представителямпланирующего уровня развития мышления относятся те, кто может выполнить задания на содержательный анализ и на планирование, но не выполняют задание на рефлексию. Таких учащихся может быть до 18%. Но здесь можно выделить вторую группу учащихся, которые проявляют рефлексирующий уровень мышления на неучебном и планирующий уровень развития мышления на математическом материале. Рефлексирующийуровень математического мышления может быть только у тех, кто проявляет рефлексирующий уровень развития мышления на неучебном материале. Среди учащихся эмпирического, аналитического и планирующего уровней мышления вообще представители этого уровня математического мышления отсутствуют.

Рефлексирующий уровень математического, будучи развитым его уровнем, характеризуется теоретическим типом ориентации в математическом материале:

ориентированностью на выявление исходного отношения, которая выражается в содержательном анализе первых задач и в использовании выявленного отношения;

установлением существенных отношений и соответствующих закономерностей;

свернутостью выполнения действий в уме и их соответствием с условием задачи;

построением системы рассуждений в соответствии со способом решения задачи; осуществлением самоконтроля и оценки по выявленному способу решения задачи.

Эти особенности рефлексирующего мышления учащихся в целом проявляются в самостоятельном и правильном выполнении мыслительных действий содержательного анализа, планирования и рефлексии на математическом материале.

Внутри установленной последовательности уровней развития мышления вообще и математического мышления имеются возможности для перевода ученика с одного уровня на другой уровень развития мышления. Одна из возможностей реализации идеи зоны ближайшего развития – это способствование именно такому переходу. При этом сформированность того или иного уровня развития мышления выражается в его рефлексивности, т.е. в умении учитывать все необходимые условия, сопровождающие решение задачи. Развитая рефлексия осуществляется без вмешательства взрослого, самостоятельно.

Если говорить о компонентах математических способностей, вытекающих из основных характеристикматематического мышления, то сюда следует отнести:

Способность к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей.

Способность обобщать математический материал, выделять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном.

Способность к оперированию числовой и знаковой символикой.

Способность к «последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению»[20, 10], связанному с потребностью в доказательствах, обосновании, выводах.

Способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами.

Способность к обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход мысли).

Гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой, свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов. Эта особенность мышления важна в творческой работе математика.

Математическая память. Можно предположить, что ее характерные особенности также вытекают из особенностей математической науки, что это память обобщения, формализованные структуры, логические схемы.

Способность к пространственным представлениям, которая прямым образом связана с наличием такой отрасли математики, как геометрия[22, 103].

Таким образом, анализ исследований и взглядов, касающихся математического мышления, позволил выявить и определить наш подход к специфике математического мышления. В частности, математическое мышление на своих теоретических уровнях не представляет собой «естественное» продолжение развития эмпирического мышления, а базируется на соответствующих уровнях теоретического мышления. Определенной основой для принятия такого тезиса служит факт существования эмпирического математического мышления, который основывается на этом же уровне мышления вообще. Эмпирический уровень математического мышления проявляется во всех возрастах, может оставаться неизменным во всех возрастных этапах развития школьника, а у значительного числа людей – в течение всей жизни.

Эмпирическое математическое мышление может иметь разные ступени становления, обусловленные, прежде всего, ориентированностью на формирование умений и навыков, запоминанием и сохранением в памяти математических фактов. Математическое мышление, ориентированное на нахождение существенного в изучаемых явлениях, также опирается на усвоение и запоминание математических знаний, формирование соответствующих умений и навыков. Они, прежде всего, используются в качестве исходного материала мысли для выявления существенных отношений в данных объектах, что затем можно применить для решения новых задач. Развитие мышления в этом смысле заключается в непосредственном или опосредствованном переходе от эмпирического мышления к теоретическому – как в последовательности уровней мышления вообще, так в последовательности уровней математического мышления.

Теоретическое мышление на рефлексирующем уровне развития становится как бы свойством личности и поэтому, при условии владения человеком материалом мысли и наличия у него интереса, может быть реализовано на максимально доступном уровне в любомпредметном виде мышления. Умение выполнять мыслительные действия применительно к разному материалу характеризует сформированность мышления вообще, а широкий диапазон такой универсалии свидетельствует о высокой культуре мышления человека.

В современных условиях обучения математическое мышление формируется в основном на эмпирическом уровне, а на теоретических уровнях – стихийно. Вместе с тем в специально организованных условиях начального обучения, ориентированных на формирование учебной деятельности, в формировании математического мышления преобладает теоретический тип [13, 26].

Специальное исследование математического мышления в русле учения В.В. Давыдова о типах мышления проведено Л.К. Максимовым. С его точки зрения «…показателем развитияматематического мышления у школьников…служит наличие у них возможности ориентироваться в его содержании путем его анализа, опирающегося на рефлексию и внутренний план действия». Иными словами, «собственно математическоемышление предполагает такой тип ориентации, который характерен для теоретического мышления»[26, 56 – 57].

Л.К.Максимовым разработаны методики, позволяющие выявить особенности проявления на метематическом материале в единстве таких мыслительных действий, как анализ, рефлексия и планирование. Он приходит к выводу, что вопрос о развитии математического мышления решается выявлением особенностей развития (наличие или отсутствие) основных компонентов теоретического мышления – рефлексии, анализа, планирования [27, 56].

Особенности типов мышления, как было показано ранее, обусловлены эмпирическим или теоретическим видами обобщения. Обобщение математического материала тоже может быть осуществлено на эмпирическом или теоретическом уровнях. Отсюда следует, что математическое мышление имеет эмпирический и теоретический уровни функционирования. Данные, полученные Л.К.Максимовым, свидетельствуют, что эмпирический уровень математического мышления имеет более раннее, а теоретический уровень более позднее возрастное проявление [27, 28].

В условиях модернизации образования математическое образование выступает условием становления мышления как продукта культуры. В частности интеллектуальная культура проявляется в степени сформированности математического мышления.

Математическое мышление – предельно абстрактное, теоретическое мышление, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интерпретироваться самым произвольным образом, лишь бы при этом сохранялись заданные между ними отношения.

Характеристики математического мышления:

- рациональность;

- критичность;

- доказательность;

- ясность, точность, лаконичность речи и записи.

Компонентами математического мышления являются абстрактное, конкретное, функциональное, интуитивное.

Абстрактное мышление – характеризуется умением мысленно отвлечься от конкретного содержания изучаемого объекта. Проявляется в явном виде (рассматривается геометрическое тело, мы отвлекаемся от всех свойств реальных тел, кроме формы, размеров, положения) и в неявном виде (при счете предметов конкретного множества мы отвлекаемся от свойств каждого предмета, полагая, что все они одинаковы).

Делится на:

а) аналитическое мышление;

Проявляется через:

- решение задач методом уравнений;

- аналитический способ доказательства и решения задач;

- исследование результата решения некоторой задачи.

б) логическое мышление;

Проявляется через:

- различные математические выводы: индуктивные и дедуктивные;

- в ходе доказательства теорем;

- обоснования решения задач.

в) пространственное мышление.

Конкретное мышление – мышление, которое проявляется в тесной связи с конкретной моделью объекта. Играет большую роль в образовании абстрактных понятий. В целях развития этого типа мышления рекомендуется учить школьников общим рассуждениям на конкретных примерах. В старших классах мера конкретного убывает, на его смену приходит абстрактное.

Делится на:

а) неоперативное мышление;

б) оперативное мышление.

Функциональное мышление – характеризуется осознанием динамики соотношений между математическими объектами и их свойствами, умением использовать свойства в новой ситуации.

Черты функционального мышления:

- представление математических объектов в движении, изменении;

- операционально – действенный подход к математическим фактам, оперирование причинно – следственными связями;

- склонность к содержательной интерпретации математических фактов.

Интуитивное мышление характеризуется отсутствием четко – определенных этапов в рассуждениях. Проявляется способность к свертыванию рассуждений, охватыванию всей проблемы сразу. Проявляется в процессе заключений по неполной индукции и по аналогии. Нужно обращать внимание на то, что каждая гипотеза должна быть доказана или опровергнута [27, 29, 48].

Таким образом, можно сделать вывод, что существуют разные мнения относительно определения вида мышления; более того, нет единого толкования сути математического мышления.

1.2. Условия и средства развития математическогомышления в процессе обучения

Становление математического мышления зависит от характера,содержания и организации обучения математике в школе. Это обстоятельство является фактором формирования и становления особенностей мышления, проявляющегося на математическом материале, т.е. математического мышления.

Можно выделить два подхода к оценке особенностей формирования и становления математического мышления:

Математическое мышление – продукт традиционного обучения, приводящее в зависимости от воздействия тех или иных факторов к формированию или эмпирического, или теоретического мышления.

Математическое мышление – продукт организованного обучения, ориентированного на формирование учебной деятельности учащихся и приводящего к становлению математического мышления [2, 27].

Чтобы глубже разобраться в особенностях формирования математического мышления младших школьников в ходе обучения, надо прежде всего более четко представить различные уровни усвоения знаний, требующиеся от учащихся, и различных мыслительных усилий. Учитель должен всегда помнить о четырех уровнях усвоения знаний учащимися.

Первый уровень – репродуктивный. Он предполагает выполнение заданий, требующих воспроизведения знаний без существенных изменений: факты, понятия, правила, законы, готовые выводы. На практике большинство учащихся без затруднений воспроизводят такой материал.

Второй уровень – уровень стандартных операций, предполагающий оперирование знаниями в стандартных условиях (по образцу, правилу, указаниям, стандартам). В среднем более половины учащихся легко выполняют задания этого уровня.

Третий уровень – аналитико – синтетический, предполагающий наличие умений анализировать, синтезировать и обобщать. Для выполнения заданий на таком уровне необходимы существенные преобразования в структуре приобретенных школьниками знаний, умения в применении навыков логической обработки материала (объяснения внутренней сути изучаемого, выделения главного, умения давать оценку, сравнивать, доказывать, обобщать и конкретизировать). Выполнение этих действий требует уже более высокого уровня развития мышления. Оно на данном уровне представляет значительную трудность для многих школьников: как правило, только треть учащихся из класса без особых затруднений выполняют подобные задания, а это убедительно доказывает необходимость выработки специальных умений усвоения знаний. Следовательно, каждый учитель должен вести целенаправленную работу по обучению школьников приемам умственной деятельности.

Четвертый уровень – творческий, при котором необходимо уметь применять знания в значительно измененных условиях. В практике встречаются случаи, когда лишь один из десяти учащихся выполняет задания на должном уровне [35, 5 – 6].

Исходя из приведенных данных, можно утверждать, что необходима планомерная работа по формированию оперативных основ мышления в процессе обучения, способствующих активизации процесса общего развития младших школьников.

Школьник учится думать и думает учась: там, где нужно что – то понять, найти ответ на вопрос, и начинается мышление. Но мыслит каждый ученик по – своему. Поэтому, изучая характер мышления ученика, надо обращать внимание прежде всего на то, как мыслит ученик: понятиями или образами.

Также необходимоучитывать возрастные особенности мышления младших школьников, т.к. это преимущественно наглядно – образное мышление или образно – речевое. И только при планомерном и целенаправленном развитии оно может перейти к понятийному и теоретическому уровню. Возможности развития такого уровня интеллекта могут успешно реализоваться при условии, если в младшем школьном возрасте дети активно на практике овладевают важнейшими и доступными им приемами умственной деятельности и учебной работы и осознают основные из них.

На какой бы возрастной ступени ни стояли наши ученики, ведущая роль в их умственном развитии принадлежит содержанию образования, системе научных знаний, которой они овладевают. Поэтому, предлагая детям ту или иную задачу, учитель, прежде всего, должен учитывать наличие знаний по данному вопросу, т.к. «пустая» голова не рассуждает. Однако известно, что не каждая «полная» голова умеет мыслить: если ребенок не приучен к самостоятельному принятию решений и действует только по шаблону, то в новой ситуации он оказывается беспомощным. Вместе с тем приучить ребенка к самостоятельному решению различных задач удается не всегда: если нет у ребенка желания, интереса к знаниям, к методам их освоения, то навряд ли удастся воспитать из него думающего человека. Вот почему в процессе формирования мышления младших школьников необходимо учитывать три его компонента: содержательный, операционный и мотивационный.

Содержательная сторона обучения, заключающаяся в формировании у школьников системы научных понятий, основательно раскрыта в многочисленных методических пособиях. Но вряд ли возможно дать человеку хорошее образование и обеспечить соответствующее развитие ума без вооружения его основными приемами умственной деятельности, которые составляют операционный компонент мышления. Однако, как уже упоминалось, умственная деятельность не ограничивается содержанием знаний и овладением методами и приемами их усвоения. С какой целью, для чего надо учиться, для чего нужны те или иные умения, навыки, какое значение им придает учащийся – эти вопросы составляют мотивационный аспект учения, без учета которого нельзя успешно развивать мышление у детей [35, 9].

Все сказанное выше еще раз подтверждает, что формирование у школьников основных приемов умственной деятельности должно быть целью процесса обучения, каждый прием и его правила должны осмысливаться учащимися, а составляющие его операции усваиваться практически.

Педагогической наукой и практикой доказано, что для успешного решения учебных задач, активно развивающих мышление, школьникам необходимо овладеть как минимум такой системой общих приемов умственной деятельности:

определение, объяснение понятий;

анализ и выделение главного;

сравнение;

обобщение и систематизация;

конкретизация;

доказательство и опровержение [35, 13].

Названные выше приемы умственной деятельности не являются равноценными для решения разных задач – одни из них могут быть главными, другие – вспомогательными. При решении задач на доказательство («Докажите, почему») главным будет прием доказательства, остальные, в том числе выделение главного, сравнение, будут играть вспомогательную роль. Во многих случаях одни приемы могут включать в себя другие приемы. Так, обобщение требует выделения главного, сравнения, группировки, систематизации.

В связи с тем, что главным показателем усвоения того или иного приема является умение пользоваться им в новых условиях, важно в процессе выработки этих приемов учитывать этапы их формирования: констатация, мотивация, осмысление, применение, перенос, которые определяются основными закономерностями процесса обучения и, установленной в психологии, структурой познавательной деятельности: цель – мотив – объект – образец – операция – результат – коррекция [35, 14].

На этапе констатации выясняется наличный уровень сформированности того или иного приема мыслительной деятельности. На этапе мотивации должна создаться атмосфера заинтересованности учащихся в овладении приемами умственной деятельности. Работа по осмыслению приема и правил его реализации предполагает выяснение сути приема и рассмотрения правила пользования им. Применение приема практикуется в классной и домашней работе, при решении стандартных и творческих задач, коллективной и индивидуальной работе. Перенос приемов на другие темы и предметы, на внеклассную и внешкольную деятельность является заключительным этапом их формирования.

Формирование мышления связано с формированием иусвоениеммножества понятий. «Понятие – это форма мысли, в которой отражаются существенные отличительные свойства предметов и отношения между ними. Источником понятий является объективная реальность, а сами они не что иное, как осмысление отображения реально – существующих вещей[9, 41]. Понятия можно вводить двумя путями: в «готовом» виде и путем открытий.

Вторым важным направлением при формировании мышления является формирование умения выделять главное. Для того чтобы умение самостоятельно и рационально работать с учебным материалом развивалось успешно, необходимо, прежде всего, научить школьников выделять главное в любом информационном материале, которым они пользуются. Выработка этого приема умственной деятельности зависит от целого ряда факторов.

Во – первых, надо учитывать то, что любое знание включает в себя фундаментальные положения, которые нужно усвоить основательно, прочно, и прикладные, выводимые при необходимости из основных.

Во – вторых, необходимо руководствоваться той закономерностью, что запоминание может протекать на уровне кратковременной и долговременной памяти.

В – третьих, запоминая главное в одном предмете, ученик сможет приобрести больше знаний по другим предметам, что значительно облегчает установление межпредметных связей.

В – четвертых, схематизация, основанная на осмыслении главного в учебном материале с его последующим сознательным уплотнением, воспитывает качество научного мышления [35, 42 – 43].

«Выделение главного – это сложное умственное действие, которое состоит из анализа и синтеза, абстрагирования и конкретизации, обобщения» [41, 33].

Невозможен процесс мышления и без сравнения. Сравнение всегда имеет свой предмет. Преследует определенную цель и предполагает свои пути реализации в процессе обучения. При этом необходимо учитывать логико – дидактические требования к объектам сравнения:

Сравнивать можно только однородные объекты.

Общее между объектами сравнения можно устанавливать лишь тогда, когда между ними есть какое – то отличие. Устанавливать же разницу можно только при наличии определенного сходства.

Несложные объекты, факты сравнивать легче, чем качества, признаки, процессы или категории [35, 49].

Сравнение всегда целенаправленно, и как логический прием учебного познания особенно значительную роль играет на этапе осмысления информации.

Определение мышления как обобщенного опосредованного отражения действительности указываетна ведущую роль обобщения в познавательной деятельности человека. Дидактическая суть обобщения состоит в выделении наиболее общих, существенных признаков, характеристик, в формировании и формулировании понятий, законов, ведущих идей изучаемого предмета. «Обобщение – сложный прием умственной деятельности, который предполагает умение анализировать явления, выделять главное, абстрагировать, сравнивать» [35, 65]. Объектом обобщения в обучении могут быть свойства предметов, факты, события, явления, качества и признаки, отношения, связи, процессы. Дидактической целью обобщения является полное усвоение и применение полученных знаний. Умение обобщать материал формируется с начальных классов, где оно отрабатывается поэтапно: ученики обучаются умению анализировать, выделять главное, классифицировать, сравнивать, делать несложные выводы.

Таким образом, без знания и учета перечисленных выше особенностей нельзя осуществить главную задачу обучения – развитие мышления.

Математика обычно считается самым трудным предметом школьного обучения. Причину этого видят, прежде всего, в абстракции ее содержания. Такое объяснение выглядит особенно убедительно, когда речь идет об обучении в начальной школе. Известно, «что интеллект детей этого возраста находится, как правило, на сенсомоторной стадии. Это означает, что действия с абстрактными объектами для них, действительно, весьма затруднительны» [48, 3]. Рассмотримнекоторые приемы формирования математического мышления, которые помогают младшим школьникам в усвоении материала по математике.

Как было сказано выше, понятия являются одной из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе – и предметов математического цикла. Одно из первых математических понятий, с которым ребенок встречается в школе – понятие о числе. Если это понятие не будет усвоено адекватно – у обучаемых возникнут серьезные трудности при дальнейшем движении в системе счисления, в том числе – и в понимании самого понятия «система счисления».

Освоение понятия «система счисления» включает формирование целого ряда умений, часть из которых должна стать предметом усвоения уже в пропедевтическом курсе, где предусмотрено предварительное знакомство с отдельными составляющими данное понятие. В качестве составляющих понятие «система счисления» включены следующие умения:

Выделение меры и образование групп объектов.

а) Выделение меры счета. Определение системы счисления по указанию отдельных составляющих.

б) Образование групп объектов в соответствии с мерой. Догруппировка в соответствии с мерой.

в) Закон образования старшего разряда в любой системе, соотношения между разрядами.

2. Запись полученного числа.

а) Построение разрядной сетки в соответствии с выбранной мерой.

б) Выделение количества цифр в системе.

в) Построение числового ряда.

г) Запись числа.

3. Восстановление групп и отдельных элементов по записи в разрядной сетке и указанию меры. Раздробление сгруппированных объектов.

4. Сравнение чисел при группировке одинакового количества предметов разными мерами[48, 42].

После усвоения этих умений, осуществляется постепенный переход к десятичной системе счисления. Десяток рассматривается как новая мера, в которой десять раз уложилась прежняя мера (имея в виду одно и то же основание единицы). Аналогично понимаются и другие разрядные единицы. Выделение единого принципа построения системы и связанных с ней действий весьма облегчает обучение и усвоение действий с многозначными числами, снимает трудности при переходе к изучению десятичных и обыкновенных дробей и действий с ними и дает возможность широкого переноса принципа.

Логика в любом понятии различает объем и содержание. Под объемом понимается тот класс объектов, которые относятся к этому понятию, объединяются им. Под содержанием понятий понимается та система существенных свойств, по которой происходит объединение данных объектов в единый класс. Совокупность свойств, по которым объединяются объекты в единый класс, называются необходимыми и достаточными признаками. Важно отметить, что отношение между этими признаками в разных понятиях разные. В одних понятиях эти признаки дополняют друг друга, образуя вместе то содержание, по которому и объединяются объекты в единый класс. В логике понятия с такой связью признаков называются конъюктивными. В других понятиях отношение между необходимыми и достаточными признаками другое: они не дополняют друг друга, а заменяют. Это означает, что один признак эквивалентен другому. Такие понятия называют дизъюктивными.

Важно также учитывать деление понятий на абсолютные и относительные. Абсолютные понятия объединяют предметы в классы по определенным признакам, характеризующим суть этих предметов. В случае относительных понятий объекты объединяются в классы по свойствам, характеризующим их отношение к другим объектам. Опыт показывает, что относительные понятия вызывают у школьников более серьезные трудности, чем понятия абсолютные.

Не анализируя других аспектов математических понятий, отметим лишь, что все они выступают перед учащимися как элементы социального опыта. В них зафиксированы достижения предыдущих поколений в области математики. Учащиеся должны этот социальный опыт сделать своим индивидуальным опытом, элементами своего умственного развития.

Важно уже на первых этапах обучения математике вводить те теоретические положения, которые в дальнейшем обеспечивают учащимся ориентировку в курсе математики и способствуют формированию математического мышления. Это логические знания и операции, т.е. логическая пропедевтика. К ним можно отнести сериацию – упорядочивание объектов по выделенному основанию. Эта операция включает ряд умений:

Выделение признака (одного или нескольких) при изменении его в ряду предметов, фигур.

Выстраивание ряда объектов по изменяющемуся признаку (в том числе и числа).

Построение фигуры в соответствии с выделенным принципом изменения фигур в рядах.

Классификация включает в себя более сложную систему действий, освоение каждого из которых представляет нелегкую задачу для учащихся, что предполагает выстраивание усложнения заданий по разным направлениям. При этом у детей вырабатывается умение образовывать классы объектов:

Выделение основания для объединения объектов в группы.

Нахождение обобщающего понятия для групп объектов и обозначение его символом.

Выделение существенных и несущественных признаков объектов и основания классификации.

Смена основания группировки, т.е. образование из одних объектов разных классов (по одному признаку).

Дихотомическая классификация, отрицание понятия.

Классификация по двум и более признакам.

Родово – видовые отношения: ограничение понятия (нахождение видового понятия для родового), обобщение понятия, решение задач на включение классов, исключение элементов, не относящихся к классу, перечисление понятий.

Выполнениематематических заданий уже с самого начала по любым действующим программам требует использования разных знаково – символических средств. Поэтому при формировании математического мышления у младших школьников значительную роль играет и символическая пропедевтика. Она направлена на освоение умений создавать знаки и символы для обозначения объектов, признаков, оперировать системами знаковых средств, отделять содержание от формы представления. Символическая пропедевтика и отработка определенных закономерностей дает в дальнейшем возможность сознательно ею пользоваться, видеть за символикой реальность, математические отношения.

Для формирования математического мышления у младших школьников была разработана целая программа обучения математике (начальная школа 1 – 4) под редакцией Н.Г.Салминой, Н.А.Кубасовой, которая составлена с учетом всего вышесказанного. Программа в разных ее вариантах проходила экспериментальную проверку в течение многих лет в школах г. Москвы, Ижевска, Симферополя, Коломны и др. Неоднократная реализация описанной программы обучения математике в практике показала высокий уровень ее эффективности.

Логическая пропедевтика при реализации ее на первом году обучения позволяет учащимся не только правильно выполнять задания на логические операции с обоснованием выделяемых критериев, признаков, но и на хорошем уровне выполнять все задания, связанные с понятием числа, систем счисления с разным основанием.

Реализация символической пропедевтики в практике обучения показала, что у детей формируются полноценные математические знания с четким разделением плана содержания и формы его представления, с умением оперировать знаками и символическими средствами, выражать одно содержание разными языками.

Реализация основного курса показала, что данная программа формирует у младших школьников на высоком уровне как теоретические знания, так и вычислительную технику. У детей возникает стойкий интерес к выполнению заданий. Большая активность учащихся на уроке, высокая продуктивность работы, самостоятельное придумывание заданий вне уроков являются свидетельством появления познавательного интереса учащихся к математике, следовательно, напрямую способствует развитию математического мышления.

Данная программа представлена в приложении 1.

Говоря о формировании математического мышления у младшихшкольников, нельзя не затронуть еще один аспект. Это умение действовать «в уме». Традиционно математическое образование ребенка связывалось в основном с формированием конкретных предметных знаний и умений содержательного характера. Но в последнее время теоретические взгляды на цели, задачи и роль математического образования в развитии личности ребенка меняются. В принципе, на сегодня можно считать, что неоспоримое значимое влияние математического образования на развитие когнитивных процессов у ребенка общепризнанно. Менее явно просматривается мысль о значимом влиянии математического образования на общее личностное развитие ребенка.

Целенаправленных работ, рассматривающих взаимовлияние математического образования ребенка и его личностного развития, пока нет. Поэтому рассмотрим исследования, посвященные анализу возможности формирования и развития новых свойств личности, проведенные на математическом содержании.

В исследовании Р.И. Суннатовой [43] рассматривается возможная систематизация индивидуально – типологических особенностей мыслительной деятельности человека в различных областях знаний. Среди определяющих особенностей мыслительной деятельности автором выделены: конструктивная самооценка, независимое самостоятельное принятие решений и логичность. Отмечается, что выделенные характеристики – основополагающие, поскольку пронизывают все уровни деятельности по принятию решения индивидом.

В исследованиях Н.А. Пастернак [36] «способность действовать в уме», которая в других работах часто именуется«внутренним планом действий», рассматривается в качестве системообразующего фактора, объединяющего в себе когнитивные и личностные особенности в их неразрывном единстве. Результаты экспериментальной работы автора показали, что с ростом уровня «способности действовать в уме» возрастает успешность выполнения задач интеллектуального теста, возрастает мера обобщенности в формировании образов. В ходе исследования мышления младших школьников было показано, что, имея относительно развернутую способность действовать «в уме», ребенок может вернее ориентироваться в задаче и анализировать ее условие, выделяя и обозначая отношения ее исходных данных; точнее планировать ее решение, легко представляя и удерживая «в уме» возможные промежуточные результаты своих действий при соотнесении этих результатов с конечной целью; яснее осознавать способы ее решения, корректируя и оценивая их разные варианты по оптимальности и обобщенности.

Согласно данным возрастной психологии, наиболее интенсивно способность действовать «в уме» развивается именно в младшем школьном возрасте, когда формируются основные навыки учебной работы.

Возвращаясь к связи способности действовать «в уме» с математическим мышлением, можно конкретизировать ее следующим образом. Выполнение анализа предполагает высокий уровень сформированности указанной способности, поскольку в противном случае ребенку не удастся мысленно изменять условия задачи, абстрагировать искомые данные из условия задачи, выделяя мысленно существенные отношения.

Не менее интенсивная умственная работа требуется и для выполнения рефлексии, поскольку последняя связана с размышлением человека о способах анализа условий и действиях при решении задачи с целью обобщения последних.

Далее более детально рассмотрим организацию обучения математике вначальной школе, которая влияет на становление математического мышления младших школьников.

Под обучением математике понимается обучение определенной математической деятельности. Это соответствует концепциям как деятельностного, так и информационного подхода к обучению, так как процесс обучения в этом случае становится процессом управления учебной математической деятельностью школьников.

Математическая деятельность способствует развитию средствами математики особенностейинтеллектуальной сферы личности во всех ее компонентах, что привело к появлению понятия «математическое развитие». Так, геометрия помогает обрести многомерность восприятия, умение мыслить в иных плоскостях и пространствах, постигать скрытое и запредельное; она демонстрирует соразмерность и гармонию мира, связь человека с ним. Алгебра развивает способность к анализу, дает представление о формуле как концентрированном знании, о соподчинении отдельных элементов в природе.

Существуют различные подходы к определению структуры математической деятельности. Так Т.А.Иванова на основе теоретического исследования представляет следующую модель математической деятельности, отражающую гносеологический процесс познания в математике:

накопление фактов с помощью общенаучных эмпирических методов (наблюдение, сравнение, анализ) и частных методов математики (вычисление, построение, измерение, моделирование);

выдвижение гипотез с помощью гипотетико –дедуктивных методов (анализ, синтез, аналогия, неполная дедукция, обобщение, абстрагирование, интуиция, конкретизация, дедукция);

проверка истинности доказательством с помощью дедуктивных методов доказательств и опровержений (синтетический, аналитический, от противного, полная индукция, исчерпывающих проб, математическая индукция, контрапозиция, привидение контпримера) и специальных методов;

построение теории с помощью аксиоматического метода;

выход в практику с помощью математического моделирования[17];

Для математической деятельности справедливы все общие закономерности мыслительной деятельности, но специфика содержания и методов математики накладывает на них некоторые особенности. Прежде всего, для математического мышления характерно доминирование его логического компонента (понятийного, структурного, дедуктивного) над наглядно – образным и практически – действенным мышлением, имеющим место наряду с индуктивным и интуитивным лишь на первом этапе математической деятельности.

«Уровень мышления связан и с отмеченными психологами ступенями понимания математического материала:

1 ступень – это фрагментарное понимание (отдельных свойств понятий,

отдельных мест доказательства или решения задачи) без умения

связать эти умения воедино;

2 ступень – логически необобщенное понимание (условие определения

понятия, но без умения определить его место в общей теории;

понимание всего доказательства или решения, но без умения

выделить его идею или метод);

3 ступень – логически обобщенное понимание (умение включить новое

понятие в систему понятий, умение выделить идею доказательства

и провести его в любых условиях, усвоение общего метода

решения задачи и его применение в любых ситуациях»[13, 33].

Обучение приемам учебной деятельности нельзя начинать с произвольных приемов, так как внутри каждой системы знаний есть своя логика и система их усвоения, определенная последовательность, в которой один из них строится на другом, входит в состав другого.

В своей работе О.Б.Епишева предлагает следующуютехнологическую цепочку формирования обобщенных приемов учебной деятельности в процессе обучения математике:

- диагностика сформированности необходимых приемов учебной деятельности – анализ существующего положения, готовности учащихся к выполнению необходимой для усвоения нового материала учебной деятельности;

- постановка целей учебной деятельности и принятия их учащимися – мотивация той ее стороны, которая направлена на овладение необходимыми приемами этой деятельности, возбуждение интереса к ней;

- введение приема (нескольких приемов) – инструктаж о способах учебной деятельности, направленный на усвоение учащимися состава приема. Для этого он должен быть сформулирован и представлен в качестве предмета специального усвоения;

- отработка введенного приема, в процессе которой на основе его осознания формируется умение;

- оперативный (текущий) контроль и коррекция процесса формирования приема – выявление пробелов и организация необходимой помощи учащимся в их устранении, уточнение задач учебной деятельности и средств их решения;

- использование нового приема в стандартных ситуациях, отчего умение становится все более автоматизированным, т.е. превращается в навык;

- обобщение и перенос усвоенного приема, к которому учащиеся, по существу, постепенно подводятся на предыдущих этапах. Формулировка каждого приема учебной деятельности есть обобщение (первичное) способа решения нескольких конкретных учебных задач в результате анализа составляющих действий. Дальнейший анализ самих приемов позволяет выделить общее содержание деятельности по решению учебных задач и сформулировать обобщенный прием;

- закрепление обобщенного приема; этот этап сливается с повседневной учебной деятельностью учащихся;

- обучение нахождению новых приемов учебной деятельности на основе изученного материала, необходимых для использования обобщенного приема в новых (незнакомых, нестандартных) ситуациях [13, 65];

Выделенные здесь этапы формирования приемов учебной деятельности в реальном учебном процессе не отделены четко друг от друга и взаимодействуют не только в указанной последовательности, они переплетаются в самых различных сочетаниях.

Важно помнить, что развитие мышления идет воедино с развитием речи. Поэтому целесообразно включать в работу с учащимися обобщенные типы учебных задач, обеспечивающих достижение развивающих целей учебной деятельности, направленные на развитие математического мышления иматематической речи. Например:

Сформулировать основные определения, свойства, правила по данной теме.

Заполнить пропуски в данном предложении так, чтобы оно было верным.

Записать данные определения, правила, свойства символически, прочитать запись.

Сформулировать прием классификации объектов.

Исключить лишнее понятие среди данных.

Дополнить данное понятия (свойства) недостающими.

Найти закономерность и продолжить ряд чисел, фигур, выражений.

Назвать признак, по которому данные объекты разделены на группы.

Распределить данные объекты по группам на основании какого – либо признака и дать название каждой группе.

Найти ошибку в определении.

Выявить структуру данной задачи, установить зависимость, полноту данных задачи.

Дать рецензию на ответ или решение задачи товарища, ответить на его вопросы, задать ему вопросы.

Таким образом, анализ психолого – педагогической литературы позволил выявить и определить важнейшие условия и средства развития математического мышления.

Выводы по главеI

Рассмотрев и проанализировав материал, касающийся исследования формирования мышления у детей вообще и формирования математического мышления у младших школьников, можно с твердой уверенностью сказать, чтоматематическое мышление имеет четыре уровня развития: эмпирический, аналитический, планирующий, рефлексирующий. Для учащихся начальных классов характерен эмпирический уровень развития математического мышления на разных стадиях его проявления. Поэтому главной задачей педагогов является создание таких условий формирования математического мышления, которые бы дали толчок к развитию следующих уровней математического мышления у детей. На основе проведенного анализа можно выделить общие условия, которые способствуют формированиюматематического мышления и дальнейшего его развития:

Развитие познавательных мотивов, желание ребенка учиться.

Создание для учащихся ситуации успеха в процессе усвоения математического материала.

Добрые, доверительные, насыщенные положительными эмоциями отношения между учителем и учащимися.

Учет возрастных и индивидуальных особенностей младших школьников.

Осознанное применение младшими школьниками мыслительных операций (синтез, анализ, сравнение, обобщение, классификация и др.) в процессе учебной деятельности.

Целенаправленное формирование теоретического типа мышления у детей младшего школьного возраста.

Реализация принципов систематичности и последовательности обучения при формировании у детей мышления теоретического типа.

Соблюдение этапности в развитии математического мышления.

Введение элементов проблемного обучения.

Использование коллективных форм работы, организация коллективно – распорядительной деятельности.

Развитие математической речи учащихся.

Развитие действий контроля и самооценки учеником результатов своей деятельности.

Таким образом, соблюдение данный условий будет способствовать формированию математического мышления у младших школьников и дальнейшему его развитию.

Глава II. Организационно – методические особенности развития математического мышления на уроках – тренингах в начальной школе

2.1. Организация и проведение уроков – тренингов по математике

К окончанию обучения в начальной школе учащиеся должны уметь устанавливать иерархию понятий, вычленять более широкие и более узкие понятия, находить связи между родовыми и видовыми понятиями, уметь дать обоснованное доказательство, развернуть аргументацию. Учащиеся должны научиться и таким элементам анализа как порядок следования, противоположность, наличие тех или иных функциональных отношений, часть и целое.

Развитиематематического мышления способствует возникновению к концу младшего школьного возраста рефлексии, которая является новообразованием подросткового возраста, преображает познавательную деятельность и характер их отношений к другим людям и самим себе.

Но не только ученые и методисты работают над проблемой развития математического мышления, учителя начальных классов также пытаются найти рациональные пути развития математического мышления. В этом плане интересен опыт работы в данном направлении учителя начальных классов МОУ «СОШ № 9» г. Чернушка Пермской области Л.Г.Шайхиевой. В своей опытно – экспериментальной работе по формированиюматематического мышления младших школьников она опирается на дидактические принципы системы обучения Л.В.Занкова:

- обучение на высоком уровне трудности;

- ведущая роль теоретических знаний;

- прохождение материала быстрым темпом;

- осознание школьниками процесса учения;

- целенаправленная и систематическая работа над общим развитием как сильных, так и слабых учащихся [19, 41].

При создании проблемной ситуации она руководствуется правилами, разработанными В.В.Давыдовым:

Учебная задача (цель, которая ставится учениками в форме проблемной ситуации) должна быть личностно значима для ученика и ориентироваться на поиск нового способа действия.

Учебная задача должна содержать новизну, которая может быть разрешена в результате творческого применения известных способов действия.

Работу по формированию геометрических понятий учитель проводила по плану, предложенному Н.Ф.Талызиной:

Обучение учащихся умению выделять общие и существенные свойства понятий.

Выделение только существенных признаков.

Распознавание фигуры по существенным признакам.

Практическое применение знаний, включение в систему ранее изученных.

Теоретическое и экспериментальное исследование проблемы развития математического мышления у детей младшего школьного возраста позволило ей подойти к выводу, что развитие математического мышления осуществляется наиболее эффективно, если усвоение учебного материала осуществляется на научно – теоретическом уровне, позволяющем поднимать структуру обобщения на качественно новый уровень и формировать мыслительные операции, интеллектуальные приемы и навыки познавательной деятельности при соблюдении общих и специфических условий, которые, в свою очередь, тесно взаимосвязаны между собой и образуют систему, определяющую рациональное сочетание средств и форм организации учебной деятельности на уроке математики в начальной школе.

Чтобы процесс развития математического мышления был более полный и целенаправленный, логично использовать уроки – тренинги, направленные конкретно на развитие математического мышления учащихся. Особенно их целесообразно использовать при обобщении и систематизации знаний учащихся.

Проведение тренинга – дело непростое. От учителя требуется особое мастерство. На таком занятии учитель должен умело переключать и концентрировать внимание учащихся. Главным действующим лицом на занятии – тренинге является ученик.

Рассмотрим поэтапноструктуру уроков – тренингов.

1. Постановка цели.

Учитель вместе с учащимися определяет основные цели занятия, включая и социокультурную позицию, которая неразрывно связана с «раскрытием тайны слов». Дело в том, что каждое занятие имеет эпиграф, слова которого раскрывают свой особый смысл для каждого только в конце урока. Чтобы понять их, нужно «прожить» это занятие. Мотивация на работу подкрепляется в ресурсном круге. Дети встают в круг, берутся за руки. Задача учителя, чтобы каждый ребенок почувствовал поддержку, доброе отношение к нему. Чувством единения с классом учитель помогает создать атмосферу доверия, взаимопонимания.

Приведем примеры некоторых эпиграфов, которые можно использовать на уроках – тренингах.

« Из всех языков мира самый лучший – это искусственный, весьма сжатый язык математики…» Н.И.Лобачевский

« Счет и внимание – основы порядка в голове». И.Г.Песталоцци

« Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает в себе настойчивость и упорство в достижении цели». А.И.Маркушевич

« Ни один человек еще не научился думать, читая в готовом виде записанные мысли другого человека. Научиться думать можно, лишь размышляя самостоятельно». М.Эминеску

2. Самостоятельная работа.

Этап принятия собственного решения. Каждый ученик получает карточку с заданием. На начальном этапе это могут быть элементарные задания, которые закладывают основу мыслительных операций. Например:

Задание: расскажи о форме, цвете, вкусе ЯБЛОКА, АРБУЗА.

Цель: научить ребенка находить признаки предметов.

Задание: из каких цифр состоят числа?

27 39 45

Цель: научить ребенка находить признаки чисел.

«Анаграммы» (спрятанное слово).

Задание: составь слова, переставив буквы.

ОТЛЕ - …

АЛИГ - …

ЕОСЛ - …

Цель: развить у ребенка мыслительные операции анализа и синтеза.

Задание: назови признаки квадрата.

Цель: научить ребенка находить признаки геометрических фигур.

Задание: выделить два слова, наиболее существенные для слова, стоящего перед скобками.

ПЕНИЕ (звон, голос, искусство, мелодия, зрители).

Цель: научить ребенка находить существенные признаки предметов.

Задание: даны числа. Раздели их на две группы:

1) однозначные; 2) двузначные;

2, 13, 3, 43, 6, 55, 18, 7, 9, 31.

Цель: научить ребенка классифицировать.

Далее задания усложняются. Детям предлагается задание и варианты ответов. Правильным может быть один, два, а могут быть и все три варианта. Выбор скрывает типичные ошибки учащихся. Но на первых порах лучше давать только один правильный ответ. Например:

Задание: числа 2, 15, 8, 5, 11, 13, 19, 7, 14, 16, 10 разбиты на две группы: четные и нечетные. Выбери тот вариант из 3 предложенных, где классификация проведена правильно.

1) 8, 14, 16, 10; 15, 5, 11, 13, 19, 7, 2;

2) 2, 8, 7, 14, 16, 10; 15, 5, 11, 13, 19, 7;

3) 2, 8, 14, 16, 10; 15, 5, 11, 13, 19, 7;

Цель: научить ребенка классифицировать, отследить умение наблюдать, анализировать, ориентироваться в учебном материале.

На данном этапе самостоятельной работы ученик должен продумать ответ, сделать выбор и подготовиться к объяснению своего ответа: почему он считает так, а не иначе. Знания, полученные учащимися на уроках, выстраиваются в систему и становятся средством для доказательства ответа. Ребенок учится осуществлять систематический перебор вариантов, сравнивать их, находить оптимальный вариант. Это все способствует развитию мышления ребенка.

3. Работа в парах.

При работе в парах каждый ученик должен объяснить, какой ответ он выбрал и почему. Здесь целесообразно повторить «правила» работы, которые помогут детям организовать диалог. Например, «Умей высказаться и выслушать другого».

Таким образом, такая работа требует от каждого ученика активной речевой деятельности, развивает умение слушать и слышать. Психологи утверждают: учащиеся удерживают в памяти 90% от того, что проговаривают вслух, и 95% от того, чему обучаются сами. В процессе тренинга ребенок и проговаривает и объясняет. А речь непосредственно связана с мышлением. Знания, полученные учащимися на уроках, становятся востребованными.

В момент логического осмысления, структурирования речи происходит корректировка понятий, систематизации знаний. Важным моментом этого этапа является принятие группового решения. Сам процесс принятия такого решения способствует корректировке личностных качеств, создает условия для развития личности и группы.

В последующем, на данном этапе можно работать не в парах, а группами.

4. Выслушивание классом различных мнений.

Предоставляя слово для высказывания различным группам учащихся, учитель имеет прекрасную возможность отследить, насколько верно сформированы понятия, прочны знания, насколько хорошо дети овладели терминологией, включают ли ее в свою речь. Важно так организовать работу, чтобы учащиеся сами смогли услышать и выделить образец наиболее доказательной речи.

5.Экспертная оценка.

Озвучиваем верный вариант или сравниваем ответы с эталоном.

6.Самооценка.

Ребенок учится сам оценивать результат своей деятельности. Можно предложить систему вопросов:

- Внимательно ли ты слушал другого ученика?

- Смог ли доказать правильность своего выбора?

- Если нет, то почему?

- Что получилось, что было трудно? Почему?

- Что нужно сделать, чтобы работа была успешной?

Таким образом, ребенок учится оценивать свои действия, планировать их, осознавать свое понимание или непонимание, свое продвижение вперед. Далее учащиеся получают новое задание, и работа вновь идет по этапам от 2 до 6.

Всего тренинги включают 4 задания. В последующем количество заданий может быть увеличено, при хорошей подготовке учащихся.

7. Подведение итогов.

Подведение итогов проходит в ресурсном круге. Каждый имеет возможность высказать свое отношение к эпиграфу, как он его понял. На этом этапе происходит раскрытие «тайны слов» эпиграфа. Этот прием позволяет выйти на проблему нравственности, взаимосвязи учебной деятельности с реальными проблемами окружающего мира, позволяет учащимся воспринимать учебную деятельность как свой социальный опыт.

Чтобы уроки – тренинги способствовали развитию математического мышления, мало придерживаться логики построения урока. Необходимо четко и продуманно подбирать задания, которые направлены на развитиематематического мышления учащихся. Например:

1.Классификация:

Цель:сформировать у ребенка умение выбирать основание для классификации.

а) Найди лишнее слово:

Условие, ответ, треугольник, вопрос, решение.

Скорость, цена, площадь, задача, длина.

б) Найди лишнее число:

30, 5, 90, 17, 20.

35, 45, 84, 65, 95.

85, 63, 96, 72, 41.

Степень сложности задания повышается постепенно.

2. Способность выделять существенное.

Важно объяснить детям, что каждый предмет обладает признаками существенными (важными) и несущественными (неважными). Несущественные признаки могут изменяться, при этом объект остается тем же самым. Существенный признак – это такой признак, который принадлежит предмету при всех условиях, без которого данный предмет существовать не может и который выражает коренную природу предмета и тем самым отличает его от других предметов.

Цель: развитие умения выделять существенное, способность к абстрагированию.

ДЕЛЕНИЕ (класс, делимое, карандаш, делитель, бумага).

КУБ (углы, чертеж, сторона, камень, дерево).

Задание: перед скобками слово, а в скобках – еще 5 слов. Найди 2 из них, которые являются наиболее существенными для слова, стоящего перед скобками.

3. Сравнение.

Цель: установить уровень развития у учащихся умения сравнивать предметы понятия.

Чем отличаются?

ЛИНЕЙКА – ТРЕУГОЛЬНИК

КВАДРАТ – ПРЯМОУГОЛЬНИК

КНИГА – ТЕТРАДЬ

В данном задании целесообразно использовать наглядность, геометрические фигуры.

4. Обобщение.

Цель: научить ребенка обобщать.

Что общего?

СУММА – ПРОИЗВЕДЕНИЕ

7 – 2 и 9 – 4

Назови общим словом.

ТРЕУГОЛЬНИК, КВАДРАТ - …

ДЕНЬ, НОЧЬ - …

РУЧКА, КАРАНДАШ - …

5.Анаграмма .

Цель: развить у ребенка мыслительные операции анализа и синтеза, выявление у учащихся теоретического анализа.

Задание: Слова спрятались. Составь слова, переставив буквы.

ИСЛА - …

ЕСОН - …

КОПСЕ - …

Игра «Эхо»: составь слова, отделив первые буквы от данных слов.

ПЛУГ - …

КЛАД - …

ЛОСЬ - …

6. Аналогия.

Цель: позволяет у учащихся выявить и развить умение определять отношения между понятиями или связи между понятиями:

причина – следствие

род – вид

противоположность

часть – целое

функциональные отношения.

а) Задание: Даны три слова, первые два находятся в определенной связи. Между третьим и одним из предложенных пяти слов существуют такие же отношения. Надо найти это четвертое слово.

Слагаемое : сумма = множитель : ?

Разность, делитель, произведение, умножение, деление.

Часы : время = градусник : ?

Стекло, больной, кровать, температура, врач.

б) Задание: Найди закономерность и вставь пропущенное число.

45 – 15 – 33 57 – 13 - ?

Лучше давать такой материал в сочетании с геометрическими фигурами или в игровой форме. Например, в «домике» сумма чисел в окнах равна сумме чисел в крыше и в двери; в «паровозе» разность чисел в колесах равна числу в трубе.

в) Упражнение на поиск закономерностей числового ряда.

Задание: Отметь особенность составления числового ряда и продолжи его.

6, 9, 12, 15, 18, 21…

16, 14, 13, 11, 10…

16, 12, 15, 11, 14, 10…

Данное задание усложняется постепенно. Рассматриваются все возможные закономерности, по которым учащиеся продолжают числовой ряд. Важно чтобы педагог сам владел техникой вариативности решения данных заданий, во время подготовки к уроку необходимо четко продумывать данные упражнения.

7.Логические задачи.

Работа над логической задачей требует активизации всей психической деятельности ребенка. Стимулирует развитие познавательных способностей, сообразительности, любознательности. Развиваются мышление, память, воображение, совершенствуется умственная деятельность, включающая в себя проведение различных операций в единстве. Например,

Задача. Сколько есть способов разместить по – разному три игрушки?

На большом диване в ряд

Куклы Танины сидят:

Плюшевый зайчишка, Буратино

И веселый Чиполлино.

Помогите Танюшке

Разместить игрушки.

Решение. Есть 6 способов решения.

З – Б – Ч Б – Ч – З Ч – Б – З

З – Ч – Б Б – З – Ч Ч – З – Б

Обозначили зайчишку буквой З, Буратино – буквой Б, Чиполлино – буквой Ч.

Решение логических задач на упорядочивание. Например:

Петя старше Маши, а Маша старше Коли. Кто самый старший?

Ваня худее Миши, но толще Андрея. Кто самый худой?

Прс веселее, чем Лвд. Прс печальнее, чем Ксн. Кто веселее всех?

Лошадь ниже, чем муха. Лошадь выше, чем жираф. Кто выше всех?

При решении «таинственных» задач (с непонятными словами) дети нередко вначале пытаются выяснить, расшифровать, что значат эти слова. Важно показать им, что для нахождения ответа это не нужно.

Последняя задача – «ловушка»: в ней логические выводы вступают в противоречие с реальностью. При решении подобных задач следует давать два ответа: один – формально логический, вытекающий из условия; и второй – показывающий ошибочность первого ответа с позиции здравого смысла.

Задача: Чтобы сварить одно яйцо, требуется 15 минут. Сколько времени потребуется, чтобы сварить 2 яйца?

Работа с логическими задачами должна быть систематической. Текст должен быть занимательным и доступным для понимания, должна создаваться атмосфера, возбуждающая активную мыслительную деятельность.

Суть уроков – тренингов – в выработке единого понятийного аппарата, в осознании учащимися своих достижений и пробелов. Успешность и эффективность этой работы возможны при высокой организации урока, необходимыми условиями которой являются четкая продуманность всего занятия, опыт совместной работы учащихся. Желательно пары или группы формировать из детей с различным типом восприятия (зрительный, слуховой, кинестетический), с учетом их активности. В этом случае совместная деятельность будет способствовать целостному восприятию материала и саморазвитию каждого ребенка.

Уроки – тренинги связаны с тематическим планированием по математике и проводятся за счет резервных уроков. Предлагаемые уроки – тренинги составлены в соответствии с требованиями, которые рассматривались в пункте 1.2. Тематика уроков – тренингов: нумерация, смысл арифметических действий, способы вычислений, порядок действий, величины, решение задач, решение уравнений. За учебный год проводится от 5 до 10 занятий в зависимости от класса. Так, во 2 классе можно провести 10 уроков – тренингов. Рассмотрим некоторые уроки – тренинги по математике во 2 классе. Подробная структура уроков – тренингов была рассмотрена выше, поэтому данные разработки будут касаться основного этапа работы. Предлагаемые задания могут быть оформлены:

- на карточке записано отдельно каждое задание, индивидуальные ответы и ответы при работе в парах могут записываться здесь же или на отдельном листке;

- задания могут быть предложены в тестовом варианте;

- с использованием мультимедийного проектора или интерактивной доски.

Занятие 1.

Тема: Решение задач.

Цель: Формирование умения осуществлять содержательный анализ.

Эпиграф: «Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать на лыжах. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения». Д.Пойа

Задание 1. Разминка.

Чебурашка купил 7 ящиков с апельсинами. Сколько потребуется сделать рейсов Крокодилу Гене, чтобы перевести все ящики? На одну машину можно погрузить не более 3 ящиков.

Эталон: Гене придется сделать 3 рейса. Если перевозить по три ящика, то один ящик останется, его Гена перевезет третьим рейсом.

Задание 2.

Нина нарвала 12 васильков и 16 ромашек. Она сделала букетик из 19 цветов. Вошли ли в букетик васильки?

Эталон: Да, вошли, так как если бы букетик состоял из одних ромашек, то в нем было бы не 19, а 16 цветов.

Задание 3.

Выбери выражение, которое соответствует решению задачи.

В букете было 31 гвоздика. Из них 15 красных, 7 белых, а остальные розовые. Сколько розовых гвоздик было в букете?

а) 31 – 15 – 7 б) (31 – 15) + 7 в) 31 – (15 + 7)

Эталон: выражения а и в.

Задание 4. Блиц – турнир от Мудрой Совы.

Запишите выражения, которые являются решением к данным задачам.

а) У Дениса в марок, а у Жени на 6 марок больше. Сколько марок у Жени?

б) У Дениса в марок. Это на 6 марок больше, чем у Коли. Сколько марок у Коли?

в) Таня сделала а закладок, а Тамара – на 8 закладок меньше. Сколько закладок сделала Тамара?

г) Таня сделала а закладок. Их на 8 меньше, чем сделала Оля. Сколько закладок сделала Оля?

Эталон:

а) в + 6

б) в – 6

в) а – 8

г) а + 8

Занятие 2.

Тема: Сложение и вычитание в пределах 100.

Цель: Развитие вариативности мышления, сообразительности, зрительного внимания, умения действовать «в уме».

Эпиграф: «Счет и вычисления – основа порядка в голове». И.Г.Песталоцци

Задание 1. Разминка.

Дан ряд чисел. Отметьте особенность составления ряда и продолжите его двумя числами.

26, 21, 28, 23, 30,…, … .

Эталон: 26, 21, 28, 23, 30, 25, 32.

Задание 2. Собираем бусы.

Из разных чисел мы сделали бусы,

А в тех кружках, где чисел нет,

Расставьте минусы и плюсы,

Чтоб данный получить ответ.

4 * 6 * 10 * 26 * 1 = 45

Эталон: 4 + 6 + 10 + 26 – 1 = 45

Задание 3.На уроке в лесной школе.

В лесной школе был урок математики. Звери учились из круглых десятков вычитать двузначные числа. Им предложили найти значение выражения 80 – 35. У Белочки получился ответ 50, у Зайчика – 55, у Лисы – 45. Кто решил верно?

Эталон: Лиса.

Задание 4. Мир сказок.

Расшифруй название сказки.

М 52 + 8 = Я 63 + 7 = В 25 + 5 = Р 14 + 6 =

И 52 + 28 = Д 63 + 27 = Т 25 + 25 = Е 14 + 26 =

50 20 80 60 40 90 30 40 90 70

… … … … … … … … … …

Эталон: 50 20 80 60 40 90 30 40 90 70

Т Р И М Е Д В Е Д Я

В данном задании целесообразно обратить внимание детей на то, что было интересного в выражениях каждого столбика.

Занятие 3.

Тема: Уравнение.

Цель: Формирование умений оперировать понятиями и классифицировать.

Эпиграф: «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит». М.В.Ломоносов

Задание 1. Прогнать Числоеда.

В каком выражении Числоед съел число 35?

1) 25 + … = 60

2) 60 - … = 15

3) … - 10 = 45

Эталон: 1.

Задание 2.

Какое выражение можем назвать уравнением?

а) 70 + 18 = 88 б) у – 20 = 40 в) а + в = с

Эталон: б.

Задание 3. В лесной школе.

В лесной школе зверята решали уравнения. Мышонок решил три уравнения, но он допустил ошибку. Помогите Мышонку найти ошибку.

1) х + 18 = 32 2) у – 30 = 20 3) 90 – х = 65

х = 14 у = 50 х = 35

Эталон: 3, так как х = 25.

Задание 4. Помощь Паучку.

Между высокими травинками паучок сплел паутинку, чтобы ловит мух. Сам он спрятался недалеко от своей сети, а конец паутинки держал в лапках. Но подул ветерок, и паутинка выскользнула из его лапок. Чтобы помочь Паучку отыскать паутинку, мы должны внимательно посмотреть на группы чисел, найти закономерность, по которой числа объединены в группы, и в последней группе добавить число.

9 – 17 – 8 21 – 35 – 14 18 - ? – 9

Эталон: 27.

Занятие 4.

Тема: Решение логических задач.

Цель: Формирование математического мышления и умения рассуждать на неучебном материале.

Эпиграф: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий». Т.Эдисон

Задание 1. Разминка.

Где же гость?

Дед Арбуз на чай с закуской

Пригласил Кочан Капусты:

- Раздевайся, землячок!

Вот скамейка, вот крючок.

Дед Арбуз расставил чашки,

Обернулся к гостю дед:

На крючке висят рубашки,

на скамье лежат рубашки,

на полу лежат рубашки…

Где же гость? А гостя…нет. (И.Бурсов)

-Куда делся гость?

Эталон: Капуста состоит из «рубашек» и маленькой кочерыжки, в которой после «раздевания» Арбуз не узнал своего гостя. Для проверки можно предложить гостю снова «одеться».

Задание 2.

Коля старше Пети на 5 лет и старше Вани на 2 года. Кто старше: Петя или Ваня? И на сколько лет? Выбери правильный ответ.

а) Петя, на 3 года. б) Ваня, на 3 года. в) Петя, на 2 года.

Эталон: б.

Задание 3. Идем за покупками.

Мальчик пришел в магазин купить грушу. Там были маленькие по 5 рублей и большие по 10 рублей. У мальчика было только 5 рублей, он купил маленькую грушу и пошел домой. По дороге он остановился и задумался:

- Я уже заплатил в магазине 5 рублей за эту грушу, и у меня есть груша, которая стоит 5 рублей. Значит, если я эту грушу отдам продавцу – то всего он от меня получит 10 рублей. И тогда я смогу взять большую грушу!

И мальчик побежал обратно в магазин. Сбылись ли его мечты о дорогой груше?

Эталон: Нет, так как 5 рублей, уплаченные за маленькую грушу, уже принадлежат продавцу, а не мальчику. (В ответе на карточке дети пишут только «да» или «нет». Все остальные рассуждения приводятся вслух при обсуждении.)

Задание 4. Идем на стадион.

В соревнованиях по бегу Сережа, Гриша и Коля заняли три первых места. Какое место занял каждый, если известно, что Гриша занял не второе и не третье место, а Сережа не третье? Найди верный ответ.

1) С – Г – К 2) Г – С – К 3) К – С – Г

Эталон: 2.

Занятие 5.

Тема: Путешествие в страну Геометрия.

Цель: Формирование умений делать выводы по результатам наблюдений.

Эпиграф: В геометрию тропинку одолеем без запинки.

Задание 1.

Жители страны Геометрия решили посадить елочки. Попробуйте определить, из скольких треугольников состоит каждая елочка.

а) 3 б) 5

Эталон: б.

Задание 2. В гостях у Точки.

Мы с вами подошли к домику Точки и любуемся его красотой. Посмотрите внимательно на окно в домике. Оно сделано из цветных квадратных стеклышек. Точка предлагает нам посчитать, сколько всего различных квадратов образуется в окне.

а) 6

б) 8

Эталон: б.

Задание 3.

Точка решила построить вокруг домика красивый невысокий забор. Участок земли, огороженный забором, имеет квадратную форму. Длина одной стороны равна 15 метрам. Помогите Точке посчитать, какой длины у нее получился забор вокруг домика.

1) 30 м 2) 45 м 3) 60 м

Эталон: 3.

Задание 4. Практическое упражнение.

Как по двум прямым линиям разрезать квадрат, чтобы из полученных частей можно было сложить два новых квадрата?

Эталон: Практически показываем, разрезая квадрат по диагоналям и складывая два новых квадрата.

Таким образом, в каждом тренинге последовательность заданий выстраивается поэтапно соответственно вышеизложенному алгоритму действий, формирующему знания, умения и навыки учащихся. На уроках – тренингах создается благоприятная обстановка для сотрудничества между учащимися, а также между учителем и учениками. Так как работа на уроках – тренингах не предусматривает постановку оценок по результатам выполнения заданий, то дети не боятся ошибиться или высказать ошибочное мнение. Все это позитивно влияет на работоспособность учащихся. Данные уроки – тренинги и упражнения помогают развивать математическое мышление у младших школьников. А также используются для диагностики мыслительных операций и коррекции их развития.

Но количество уроков – тренингов ограничено, поэтому целесообразно включать в тематические уроки фрагменты, где используются данные упражнения, направленные на формирование математического мышления. Фрагмент 1:

На уроке по формированию навыков сложения и вычитания в пределах 100 на этапе актуализации знаний можно предложить детям следующую ситуацию.

- Путь наш далек, едем прямо на восток. На нашем пути появились Уральские горы. Чтобы продолжить путь, мы должны отыскать тропинку в горах. Для этого необходимо разбить математические выражения, данные на экране, на группы (используется мультимедийный проектор).

10 + 5 16 – 4 с + а 27 – 12

а – в 47 – 20 73 + 5 к + в

После этого обсуждаются полученные варианты. В заключении детям предлагается еще раз сравнить ответы с эталонами.

1 вариант группировки: буквенные и числовые.

10 + 5 а – в

16 – 4 с + а

47 – 20 к + в

73 + 5

27 – 12

2 вариант: действия сложения и вычитания.

10 + 5 а – в

с + а 16 – 4

73 + 5 47 – 20

к + в 27 – 12

Данные выражения обязательно прочитываются в разных вариантах чтения. После этого предлагается найти значения числовых выражений. Описанный фрагмент иллюстрирует один из вариантов формирования математического мышления на таком приеме как классификация и обобщение. Также идет развитие математической речи учащихся. Все это в целом развивает интеллект детей.

Отправляясь в путешествие в страну Геометрия, лучше использовать другие приемы.

Фрагмент 2:

Детям предлагается расчистить тропинку от снега, изобразив снежинки у себя в тетради. Снежинки имеют определенную графическую закономерность. Можно предложить детям выложить дорожку определенными геометрическими фигурами в какой – либо последовательности. Эти приемы тоже требуют определенной мыслительной деятельности и развивают внимание.

При работе над задачами важно развивать вариативность мышления. Фрагмент 3:

На этапе первичного закрепления мы попадаем в «Дремучий лес». Пробираемся через непроходимые заросли и выходим на поляну. Смотрим, а вокруг поляны растет 70 деревьев. Из них 40 елей, 15 берез, остальные осины. Сколько же растет на поляне осин? Дети самостоятельно составляют схему к задаче, решают ее. Затем сверяют решение в парах. После этого обсуждаем варианты решения.

1 вариант: 70 – 40 – 15 = 15(осин)

2 вариант: 70 – (40 + 15) = 15(осин)

Половину леса мы прошли, но чтобы выбраться из него, необходимо справиться со следующей задачей. «В лесу мы увидели а белок и в зайцев. Сколько всего зверьков мы увидели?» Эту задачу можно предложить сразу же обсудить в парах на листочках. Затем выслушать возможные варианты.

Выделение существенных признаков, формирование умения обобщать также идет через занимательные моменты.

Фрагмент 4:

Жители страны Математика, как и мы с вами, используют для передвижения самолеты, лодки, велосипеды и т.д. Как все это можно назвать одним словом? (Транспорт).

- Что у этих предметов есть общее, позволяющее объединить их в одну группу? (Это не материал, т.к. самолет – из металла, а лодка – из дерева; это и не среда, по которой они перемещаются; это и не количество пассажиров. Общий признак: цель, назначение. Они служат для перемещения жителей и грузов.)

Далее ищем общие признаки у разных групп предметов.

Бабочка, муравей, жук – это…

Сковорода, чашка, вилка – это…

Апельсин, банан, груша – это…

Сосна, яблоня, береза – это…

Сабля, пистолет, пушка это…

Жители страны Математика удивительны. Показываем треугольник и прямоугольник.

- Что их объединяет?

- Чем отличаются?

- Жители этой страны готовились к нашему приходу и расставили 12 стульев в прямоугольной комнате так, чтобы было по 4 стула с каждой стороны комнаты. Возьмите листочки с планом комнаты. Попробуйте показать как стоят стулья в комнате, изображая их точкой.

Так мы плавно переходим на решение нестандартных задач.

Нестандартные задачи можно использовать и в другом варианте. Например, мы идем в гости к Точке. Кроме нас к ней еще пришли гости. Треугольник пришел раньше круга, квадрат позже ромба, круг раньше ромба, овал прилетел позже квадрата.

- Кто пришел раньше всех?

-Кто позже?

Данная задача присутствует на экране в процессе всего решения ее детьми. После этого обсуждаем полученные результаты работы в парах. Затем сверяем решение с эталоном, который появляется на экране.

Работая над аналогиями, ища закономерности числового ряда, дети выполняют задания Мудрой Совы. Фрагмент 5:

3 6 9 12 …

1 2 4 8 …

2 6 3 7 4 …

При условии, что задания выполнены верно, мы сможем вернуться из путешествия домой. Здесь самое главное, рассмотреть все найденные детьми варианты закономерностей.

Таким образом, уроки – тренинги проходят в неразрывной связи с уроками математики и способствуют системному формированию математического мышления у младших школьников.

2.2. Опытно – экспериментальная работа по развитию математического мышления младших школьников и анализ ее результатов

Работа по развитию математического мышления была проведена в двух 2 классах «Лицея №3» г. Перми: 2 Г – экспериментальный, 2 Д – контрольный. Учащиеся обоих классов обучаются по математике по традиционной программе, авторы М.И. Моро и др.

Работа над экспериментом состояла из 3 этапов. Первый этап проходил в октябре 2006 г. Цель данного этапа: выявить уровень развития математического мышления учащихся вторых классов. На данном этапе были использованы тесты с заданиями, с помощью которых определялись уровни общего развития мышления и математического мышления учащихся начальных классов.

Тест 1 состоял из 4 субтестов. Он представляет собой методику исследования когнитивной сферы младшего школьника. Эта методика используется для определения уровня умственного развития детей 7 – 9 лет (по Э.Ф. Замбицявичене), т.е. определяется уровень развития мышления учащихся начальных классов. Субтесты включают в себя вербальные задания, подобранные с учетом программного материала начальных классов. 1 субтест направлен на исследование способности к дифференциации существенных признаков предметов и явлений от несущественных. 2 субтест направлен на исследование операций обобщения и абстрагирования, способности выделить существенные признаки предметов и явлений, на проведение классификации. 3 субтест направлен на исследование способности обобщать. 4 субтест направлен на исследование сформированности логического действия «умозаключение по аналогии», способность устанавливать логические связи и отношения между понятиями. Каждый субтест включает 10 заданий. На выполнение теста было отведено 45 минут. Перед работой проведен инструктаж по выполнению теста. Каждый ребенок выполнял работу самостоятельно. Тест был проведен в обоих классах и направлен на определение общего уровня развития мышления учащихся. Вариант теста представлен в приложении 2.

При обработке результатов исследования для каждого ребенка подсчитывалась сумма баллов, полученных за выполнение отдельных субтестов и общая бальная оценка за все четыре субтеста. Максимальное количество баллов за решение всех 4 субтестов – 40 баллов (100% успешности). Оценка успешности определяется по формуле:

ОУ = (Х *100%) : 40, где Х – сумма баллов по всем тестам (по Л.И. Переслени, 1990).

Анализ результатов 1 этапа приведен в таблице 1 и 2. Из анализа таблиц видно, что на начало эксперимента учащиеся экспериментального класса имеют средний и низкий уровни развития мышления. В то время как учащиеся контрольного класса имеют еще и высокий уровень развития общего мышления.

Для определения сформированности уровня математического мышления были проведены специальные дополнительные исследования. Из всего многообразия характеристик математического мышления, описанных в пункте 1.1 был, выбран критерий, который определяет уровень сформированности содержательного анализа, в силу возрастных особенностей учащихся вторых классов. Проявление данного критерия выявилось как на неучебном материале, так и на математическом материале, что позволило установить уровни соответствия общего мышления и математического мышления.

Исследование 1.

Цель: Выявление наличия или отсутствия ориентации на содержательный анализ задачи на неучебном материале.

Оборудование: Бланк задания с инструкцией и анаграммами.

Задание 1.

Анаграмма получается, если в слове поменять местами буквы.

По данным ниже анаграммам найди слова, из которых они образованы.

1. УПКС 2. ОКЕЛОС

ЛПГУ РКСЕОЛ

АШФР БЯОЛОК

Выводы: Если испытуемый выделяет общий принцип при решении первых двух – трех задач, а затем сразу и безошибочно использует его при решении всех других – это значит, что он проанализировал первые задачи и при решении остальных опирается на найденное исходное отношение их условия. Это говорит о сформированности у него содержательного анализа. Если испытуемый решает каждую задачу как новую, не выделяя общего принципа их построения, то это свидетельствует об ориентации на внешние, несущественные признаки, об эмпирическом способе анализа ситуации.

Исследование 2.

Цель: Установление сформированности содержательного анализа на математическом материале.

Оборудование: Бланк с арифметической задачей в тесктовом варианте и на обороте с текстом и рисунком.

Задание 1.

За книгу, ручку и блокнот вместе заплатили 35 рублей. Книга и ручка стоят 25 рублей, за ручку и блокнот нужно заплатить 15 рублей. Сколько стоят в отдельности книга, блокнот и ручка?

На обороте бланка рисунок и данные:

книга книга ручка

ручка ручка блокнот

блокнот

35 рублей 25 рублей 15 рублей

Вывод: Если задача решена верно, то это свидетельствует о сформированности содержательного анализа на метематическом материале.

Задание 2.

Представить число 3 в виде суммы двух разных чисел, число 6 в виде суммы трех разных чисел и т.д.

3 = … + …

6 = … + … + …

10 = … +… + … + …

15 = … + … + … + … + …

28 = … + … + … + … + … + …

Вывод: Если задание выполнено с соблюдением условия и с учетом связи между данными числами, то это свидетельствует о проявлении содержательного анализа на математическом материале.

Анализ результатов исследований представлен в таблицах 3 и 4. По данным таблиц можно составить соответствующие диаграммы.

Неучебный материал. Математический материал.

На основании полученных данных видно, что 64% учащихся экспериментального 2 Г класса на неучебном материале проявили эмпирический способ анализа и только 36% учащихся обладают содержательным анализом задачи. В контрольном 2 Д классе 48% учащихся проявили эмпирический способ анализа и 52% - содержательный анализ. На математическом материале учащиеся экспериментального класса проявили только эмпирический способ анализа, в то время как 80% учащихся контрольного класса проявили эмпирический способ анализа, а 20% - содержательный анализ.

Исходя из полученных результатов, можно сделать вывод, что необходимо проведение специальной системной работы по повышению уровня развития математического мышления детей экспериментального класса, а, следовательно, и общего уровня развития мышления у большинства детей.

На втором этапе главной целью являлась разработка и опробирование уроков – тренингов, направленных на формирование и развитие математического мышления учащихся 2 класса. При разработке уроков – тренингов учитывались возрастные и индивидуальные возможности детей, доступность излагаемого материала, соответствие материала учебной тематике. Система применялась только на уроках – тренингах в экспериментальном классе. В контрольном классе никаких специальных занятий не проводилось. Система уроков – тренингов и система заданий к ним изложены выше.

В конце второго этапа работы по развитию математического мышления учащихся 2 Г класса заметно повысилась мотивация к урокам по математике, возросла самостоятельность и активность детей при выполнении заданий, наблюдается заметный скачок в развитии математической речи учащихся. Дети свободнее и увереннее выдвигают свои версии при нахождении решения заданий, повысилась вариативность решения заданий.

Таким образом, цель второго этапа была реализована. Поэтому эксперимент перешел в заключительную стадию. Целью 3 этапа является выявление повышения уровня математического мышления учащихся экспериментального класса в результате проведенной работы. Для этого учащимся обоих классов был предложен новый тест с аналогичными заданиями на определение уровня общего мышления. Но количество заданий в каждом субтесте сокращено до пяти; два субтеста проведены на математическом материале; введен субтест на анаграммы для выявления способностей к теоретическому анализу. Условия выполнения теста остались прежними, что и на первом этапе. Оценка успешности определялась по той же формуле, но изменились некоторые коэффициенты, т.к. изменилось число заданий:

ОУ = (Х*100%) : 26

Вариант теста представлен в приложении 2.

Анализ результатов приведен в таблицах 5 и 6. Анализируя данные по первому и заключительному этапам, можно сделать вывод, что уровень общего мышления учащихся экспериментального класса значительно повысился. Так учащихся с низким уровнем на начало эксперимента было 22% от всего числа учащихся класса, стало – 13%; ниже среднего было 36%, стало – 18%; средний уровень развития мышления был у 40% учащихся, стал – 54%. На начало эксперимента никто из учащихся экспериментального класса не обладал высоким уровнем мышления, но к концу эксперимента высокий уровень развития мышления имели 13% учащихся данного класса.

В контрольном классе ситуация существенно не изменилась. С низким уровнем развития мышления было 13% учащихся, стало – 9%; с уровнем ниже среднего было 9%, столько же и осталось; со средним уровнем было 45%, стало – 72%; с высоким уровнем было 31%, стало – 9%.

Также провели дополнительное исследование по определению наличия содержательного анализа на данном этапе. Задания были аналогичны заданиям первого этапа исследования.

Исследование 3.

Задание 1. Анаграммы.

1) УМАК 2) ЛАБЬМО

ОКШВ АМИЛАН

ЕПОР ОРНДКИ

Исследование 4.

Задание 1.

За ручку, тетрадь и цветные карандаши вместе заплатили 52 рубля. Тетрадь и ручка стоят 22 рубля, за тетрадь и цветные карандаши нужно заплатить 45 рублей. Сколько стоят в отдельности ручка, тетрадь и цветные карандаши?

ручка тетрадь тетрадь

тетрадь ручка цв. карандаши

цв. кар.

52 руб. 22 руб. 45 руб.

Задание 2.

6 = … + …

12 = … + … + …

20 = … + … + … + …

30 = … + … + … + … + …

42 = … + … + … + … + … + …

Анализ результатов исследований представлен в таблицах 7 и 8. На основании данных исследований можно составить диаграммы.

Неучебный материал. Математический материал.

Анализируя полученные данные, можно заметить, что на неучебном материале только у 32% учащихся экспериментального класса преобладает эмпирический способ анализа задачи, а у 68% учащихся – содержательный анализ. В то время как у учащихся контрольного класса практически никаких изменений в формировании содержательного анализа на неучебном материале не произошло. На математическом материале также заметны изменения у учащихся экспериментального класса по формированию содержательного анализа задачи. Так у 54% учащихся остались на эмпирическом способе анализа, но у 46% учащихся к концу эксперимента сформировался содержательный анализ. В то время как у учащихся контрольного класса произошли незначительные изменения.

Таким образом, можно сопоставить данные, полученные в ходе эксперимента.

Неучебный материал. Математический материал.

Обобщая результаты эксперимента можно сделать следующиевывод:

Анализ итогов показывает, что уровень развития математического мышления учащихся экспериментального класса значительно повысился в результате системной и последовательной работы по развитию математического мышления на уроках – тренингах.

Выводы к главеII

Анализируя данные, полученные в ходе экспериментальной работы, можно сделать следующие выводы:

Для формирования и развития математического мышления у младших школьников необходимо систематическое проведение уроков – тренингов.

Данные уроки – тренинги должны соответствовать определенной структуре и опираться на специальные упражнения, которые способствуют формированию и развитию математического мышления у детей.

Уроки – тренинги проводятся в соответствии с тематическим планированием по математике.

Вся работа проводится с учетом возрастных и индивидуальных особенностей учащихся.

Создание на уроках – тренингах комфортной и доброжелательной атмосферы для учащихся.

Таким образом, работа по формированию математического мышления и дальнейшему его развитию требует от учителя определенных знаний по данной проблеме и творческого подхода к делу.

Заключение

В данной работе математическое мышление было рассмотрено в разных аспектах. Во – первых, как способ познания, необходимый для отражения сущности предметов. Во – вторых, как тип мышления, в ходе которого формируется подлинное понятие как единство всеобщего, особенного и единичного. В – третьих, как сложное действие человека, выполняемое им при решении задач в ходе ориентации в их условиях. Оно осуществляется аналитическим, рефлексивным и синтезирующим способами по мере исследования сущности содержания решаемой задачи. При этом отмеченные способы имеют единое операционное ядро: взаимосвязанное выполнение анализа и рефлексии.

Анализ теоретической литературы, который был проведен в ходе работы, показал важность развития математического мышления у младших школьников, т.к. этот период является синзитивным для развития разных видов умственной деятельности и составляет основу развития познавательного процесса обучения, что способствует всестороннему развитию ребенка как личности.

Исследование существующих систем обучения отразил их опору на теории деятельности. Полученные результаты практического исследования дают основание сделать вывод о том, что применение уроков – тренингов по математике способствует развитию у младших школьников способности к обнаружению и постановке проблем, умения высказать свои идеи, слышать мнения других учащихся, доводить дело до конца; развивает гибкость и быстроту математического мышления, уверенность в своих силах; формирует нестандартное мышление, учить мыслить вариативно; повышает общий уровень развития ребенка.

Таким образом, гипотеза о том, что проведение уроков – тренингов по математике с использованием специально подобранных упражнений способствует формированию математического мышления у младших школьников.

Для развития математического мышления существуют различные средства обучения. Большинство психологов, методистов, педагогов придерживаются мысли о том, что наиболее эффективными средствами развития мышления является математический материал. Различные математические задания способствуют совершенствованию мыслительных операций, учат детей делать вывод из предложенных суждений, сравнивать, сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать, рассуждать. Тем самым при решении математических заданий активизируется вся мыслительная деятельность у младших школьников, развивается математическая речь.

Таким образом, данный продуктивный способ развития математического мышления учащихся, описанный в эксперименте, способствует максимально полному раскрытию потенциальных возможностей и природных задатков детей. А учитель должен создать такую полноценную развивающую деятельность для учащихся, чтобы потенциал не остался не востребованным.

Итак, при проведении регулярных развивающих уроков – тренингов по математике в начальной школе создает благоприятные условия для формирования математического мышления и способствует развитию такого ценного качества мышления, как самостоятельность, проявляющаяся в активном и инициативном поиске решения различных заданий по математике. При решении задач, это проявляется в глубоком и всестороннем анализе их условий, в планировании и проигрывании разных вариантов осуществляемых решений. Что способствует развитию вариативности математического мышления.

Введение

Развитие активности, самостоятельности, инициативы – это требования самой жизни, определяющие во многом то направление, в котором следует совершенствовать учебно – воспитательный процесс.

Реализация данного направления нашла свое практическое отражение в осуществлении развивающего обучения, где ведущим методом является деятельностный метод, а основными характеристиками активность и самостоятельность школьников. Современный учитель, по какой бы программе не работал, должен владеть технологией деятельностного метода обучения, использовать ее в педагогической практике, т.к. именно она соответствует всем требованиям в свете модернизации российского образования.

«В реальной жизни учебный процесс развивается так или иначе как целостное, непрерывно изменяющееся и в тоже время сохраняющее свои устойчивые черты педагогическое явление, результат которого во многом зависит именно от характерных черт этого целого», - писал советский дидакт М.А. Данилов. Но и сейчас эта мысль актуальна.

Школа должна воспитывать человека познающего и действующего в любых ситуациях. Поведение ребенка напрямую связано с уровнем развития его мышления. Однако традиционные программы обучения развивают мышление детей хаотично, в них нет определенной закономерности по формированию мышления младших школьников. Учитель формирует мышление школьников в тесной взаимосвязи с решением всех других задач обучения и воспитания. Воспитываются и развиваются не отдельные психические функции, а личность в целом.

Большие возможности в развитии школьников заложены в уроках математики. Каждый урок математики должен быть развивающим: развивающиммышление, внимание, память, наблюдательность, находчивость, инициативу, самостоятельность, настойчивость, четкость, точность и многие другие качества. В решении этих сложных задач предметом особой заботы каждого учителя должно быть применение таких методов обучения, которые бы развивали данные качества личности.

Успешно работающая образовательная система сегодня обязана создавать условия для формирования мышления (в том числе и математического) у младших школьников, что способствует в целом развитию интеллекта ребенка, его успешной социализации в обществе, что подтверждаетактуальность проблемы исследования.

Цель исследования: разработать и апробировать в педагогической практике уроки – тренинги по математике, направленные на развитие математического мышления учащихся начальной школы.

Объектом исследования является учебная деятельность младших школьников на уроках – тренингах по математике. В качестве предмета исследования выступают педагогические условия проведения уроков – тренингов и средства развития математического мышления младших школьников.

Гипотеза исследования: предполагаем, что систематическое проведение уроков – тренингов по математике, использование специальных упражнений будет способствовать развитию математического мышления младших школьников.

Для достижения цели исследования и проверки выдвинутой гипотизы нами предполагается решить задачи:

Выполнить анализ психолого – педагогической литературы по проблеме исследования.

Разработать уроки – тренинги по математике для 2 класса.

Определить критерии развития математического мышления.

Провести опытно – экспериментальную работу и анализ результатов исследования.

Методы исследования:

Анализ теоретической и методической литературы по обозначенной проблеме.

Педагогический эксперимент.

Методы сравнения и наблюдения.

Беседы с детьми и учителями, школьными психологами.

Диагностика уровня развития математического мышления.

Практическая значимость исследования состоит в том, что материалы данной работы могут быть полезны педагогам начальных классов для диагностики уровня развития математического мышления у детей, а также для коррекции работы по формированию данного мышления у детей в начальной школе.

Структура исследования: работа состоит из введения, двух глав – теоретической и практической, заключения, библиографического списка.

В первой главе проведен теоретический анализ исследований о мышлении вообще и конкретно о математическом мышлении.

Во второй главе предоставлено описание практического опыта по конструированию уроков- тренингов, которые способствуют формированию математического мышления у младших школьников.

Таблица 1

Результаты 2 Г (экспериментального) класса

Таблица 5

Результаты 2 Г (экспериментального) класса

Таблица 6

Результаты 2 Д (контрольного) класса

Таблица 2

Результаты 2 Д (контрольного) класса

Библиография

1.Амонов Н.К. Психологические особенности развития математического мышления у учащихся. Дис. на соиск. уч. ст. канд. психол. наук. М., 1993 г.

2.Атаханов Р. Математическое мышление и методики определения уровня его развития. Москва – Рига, 2000 г.

3. Виленкина Н.Я. М., Просвещение, 1982 г.

4. Винокурова Н. Подумаем вместе. М., РОСТ, 1992 г.

5.Выготский Л.С. Собрание сочинений. т. 2, М., Просвещение, 1982 г.

6. Гин С. Мир логики. М., Вита Пресс, 2001 г.

7. Глас Дж. Статистические методы в педагогике и психологии. М., Прогресс, 1976 г.

8. Гончаров В.С. Типы мышления и учебная деятельность: Пособие к спецкурсу. Свердловск, 1988 г.

9. Горский Д.П. Логика. М., Просвещение, 1963 г.

10. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М., Просвещение, 1972 г.

11. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М., ИНТОР, 1996 г.

12. Давыдов В.В. Периодизация психического развития детей // Возрастная и педагогическая психология. М., 1975 г.

13.Епишева О.Б. Технология обучения математике на основе деятельностного подхода. М., Просвещение, 2003 г.

14. Зак А.З. Развитие теоретического мышления у младших школьников. М., Педагогика, 1984 г.

15. Зак А.З. Развитие умственных способностей младших школьников. М., Просвещение, 1994 г.

16. Занков Л.В. Проблемы обучения и развития и ее исследование. – В книге Развитие учащихся в процессе обучения. М., Просвещение, 1963 г.

17.Иванова Т.А. Гуманитаризация математического образования: Монография. Н.Новгород, НГПУ, 1998 г.

18. Ильенков Э.В. Дидактическая логика. М., Просвещение,1974 г.

19. Инновационные системы, процессы и технологии в начальном общем образовании. Сборник материалов региональной научно – практической конференции. Пермь, 2006 г

20. Колмогоров А.Н. Математика. БЭС, т.2.

21. Колмогоров А.Н. О профессии математика. М., МГУ, 1959 г.

22. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М., Просвещение, 1968 г.

23. Лавриненко Т.А. Задания развивающего характера по математике. Саратов, ОАО Издательство Лицей, 2003 г.

24. Ланда Л.Н. О некоторых недостатках изучения мышления учащихся.// Советская педагогика, № 11, 1954 г.

25.Леонтьев А.Н. Мышление // Хрестоматия по психологии. Психология мышления. М.,МГУ, 1981 г.

26.Максимов Л.К. Развитие основных компонентов теоретического мышления школьников. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. психол. наук. М., 1979 г.

27. Максимов Л.К. О развитии рефлексии как основы творческого мышления школьников при обучении математике в условиях учебной деятельности // Формирование творческого мышления школьников в учебной деятельности: Межвузовский сборник научных трудов. Уфа, 1985 г.

28. Максимов Л.К. Формирование математического мышления у младших школьников: Учебное пособие по спецкурсу. М., МОПИ им. Н.К. Крупской, 1987 г.

29. Маркушевич А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе.// Математика в школе, № 2, 1962 г.

30. Менчинская Н.А. Психология обучения математике. М., Учпедгиз, 1955 г.

31. Менчинская Н.А. Развитие логического мышления на уроках математики. Развитие мышления в процессе обучения в начальной школе. М., Учпедгиз, 1959 г.

32. Науменко Л.К., Монизм как принцип диалектической логики. Алма – Ата, 1968 г.

33. Нежинская О.Ю. Логика. Волгоград, Учитель – АСТ, 2004 г.

34. Носатов В.Т. Психологические особенности анализа как основы теоретического обобщения. М., Педагогика, 1978 г.

35. Паламарчук В.Ф. Школа учит мыслить. М., просвещение, 1979 г.

36. Пастернак Н.А. Способность действовать «в уме» как механизм произвольной регуляции поведения личности. Автореф. дисс… канд.псих. наук. М., 2001 г.

37. Педагогическая энциклопедия. т.2. М., 1965 г.

38. Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М., Просвещение, 1969 г.

39. Раев А.И. Умственное развитие школьников в условиях программного обучения. Ленинград, 1977 г.

40. Раев А.И. Управление умственной деятельностью младших школьников. Ленинград, 1976 г.

41. Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования. М., АН СССР, 1958 г.

42. Рубинштейн С.Л. Проблемы общей психологии. М., Просвещение, 1976 г.

43. Суннатова Р.И. Индивидуально – типологические особенности мыслительной деятельности. Автореф.дисс…докт.психол. наук. Ташкент, 2001

44. Тихомирова Л.Ф. Развитие мышления детей. Ярославль, Гринго, 1995 г.

45.Тихомирова Л.Ф. Упражнения на каждый день: Логика для младших школьников. Ярославль, Академия развития, 2001 г.

46. Трегуб Л.С. Элементы современного введения в математику. Ташкент, 1973

47. Фрейнденталь Г. Математика в науке и вокруг нас. М., Мир, 1977 г.

48. Формирование приемов математического мышления. Под редакцией Талызиной Н.Ф. М., ТОО «Вентана – Граф», 1995 г.

49. Швырев В.С. Теоретическое и эмпирическое в научном познании. М., Просвещение, 1978 г.

Приложение 1

1 класс (170 часов, 5 часов в неделю).

1. Выделение признаков объектов и их кодирование.

Описание объектов по совокупности признаков с фиксацией их в символике. Сравнение объектов по признакам. Выделение существенных и несущественных признаков. Кодирование операций с признаками.

Отношения между объектами, множествами объектов.

Установление отношений эквивалентности между объектами, множествами объектов (по 1 или нескольким признакам): качественные признаки, отношения «больше», «меньше», «равно», «неравно». Установление эквивалентности между числами (3=2+1). Ориентировка в матрице. Обозначение положения объекта в ней. Выстраивание последовательных цепей отношений между объектами. Установление отношений порядка между числами.

Соотнесение элементов множеств как один из способов установления эквивалентности.

Соотнесение элементов множеств, операция расстановки элементов разных множеств для определения соответствия, их упорядочивания. Сравнение множеств. Уравнивание количества элементов разных множеств 2 – мя способами: удаление лишних элементов или добавление недостающих.

Сериация.

Выделение признака (одного или нескольких) при изменении его в ряду предметов, фигур. Выстраивание ряда объектов по изменяющемуся признаку. Построение фигуры в соответствии с выделенным принципом изменения фигур в рядах.

Классификация.

Умение образовывать классы объектов, выделение основания для образования групп, нахождение обобщающего понятия для групп объектов и обозначение его символом; выделение существенных и несущественных признаков предметов и оснований классификации; смена основания группировки; отрицание понятия; классификация по 2 и более признакам; ограничение понятия, обобщение понятия.

Измерение величин.

Выбор величины для измерения; выбор меры, соответствующий измеряемой величине: адекватность, удобство; процесс отмеривания. Сравнение величин. Зависимость между величиной, мерой и количеством меток, полученных в результате измерения. Введение числа 1 как отношение величины к мере; нуль как начало измерения.

Системы счисления.

Выделение меры счета. Образование групп объектов в соответствии с мерой и запись полученного числа в разрядной сетке. Догруппировка в соответствии с мерой. Выделение количества цифр в системе. Определение системы счисления по указанию отдельных составляющих.

2 класс (170 часов, 5 часов в неделю).

1. Логические отношения между объектами, множествами.

Описание объектов по совокупности признаков с фиксацией их в символике. Сравнение объектов по признакам. Выделение существенных и несущественных.

Понимание и использование аксиом:

Если А = В, то В = А.

Если А = В и В = С, то А = С.

Если А > В, то В < А.

Если А > В и В > С, то А > С.

Решение задач на включение классов, исключение элементов, не относящихся к классу, пересечение классов. Решение задач на сериацию и классификацию одновременно. Переход от одних средств изображения к другим (схемы). Сравнение чисел при группировке одинакового количества предметов с разными мерами.

2. Число.

Нуль как характеристика пустого множества. Правило образования натурального ряда чисел. Сложение и вычитание с 0. Образование чисел 4 – 10. Установление отношений между новым и ранее известным числом. Счет порядковый и количественный, прямой и обратный. Свойства числового ряда. Единичный отрезок (мера). Числовой луч.

Состав числа. Умножение и деление в пределах изучаемого числа. Переместительный и сочетательный законы сложения и умножения. Понятие о четных и нечетных числах. Соотношение величины, меры и числа.

Закон образования старшего разряда в любой системе счисления. Принцип десятичной системы счисления. Десяток как новая мера счета. Позиционное значение цифры и введение разрядной сетки. Разъяснение названия «одно - , двух - , трехзначное число».

Сложение и вычитание. Запись в строчку. Название компонентов сложения и вычитания. Устное сложение и вычитание двузначных и трехзначных чисел. Приемы округления при устном счете. Сложение и вычитание с переходом через разряд на многозначных числах первого класса. Выражение зависимости между компонентами сложения и вычитания. Сложение и вычитание именованных чисел, выраженных метрическими мерами.

3. Задачи.

Восстановление предметной ситуации. Анализ текста. Выделение компонентов задачи. Установление отношений между компонентами задачи.

4. Пропедевтика геометрии. Выделение пространственных отношений между объектами, направления в системе координат: влево, вправо; вверх, вниз; симметрия; направление. Обозначение положения: в системе координат, в прямоугольной матрице. Движение в матрице и в системе координат (прямые и обратные задачи).

Прямая. Отрезок. Длина отрезка. Единицы длины. Соотношение единиц длины. Ломаная. Длина ломаной. Треугольник, периметр треугольника. Прямоугольник. Многоугольник. Разрезание на части геометрических фигур. Равносоставленные фигуры. Нестандартные задачи (танграм), конструирование объектов по образцу.

3 класс (170 часов).

1. Логические отношения между объектами, множествами.

Эквивалентность, отношения: равно, не равно. Неравенства. Симметрия между элементами множества, между множествами. Транзитивность: равенства, неравенства. Использование симметрии и транзетивности при решении текстовых задач на отношения между объектами. Сериация и классификация в текстовых задачах. Применение логических отношений.

2. Число.

Число как отношение величины к мере. Образование натурального ряда чисел. Свойства числового ряда. Системы счисления. Введение в теорию множеств: объединение, пересечение, разность, дополнение. Округление. Аппроксимация. Предварительная оценка результатов действий.

Правила чтения и записи любых чисел Состав числа. Умножение и деление на единицу с нулями. Письменное и устное умножение и деление. Название действий компонентов при умножении и делении. Таблица умножения и деления. Письменное внетабличное умножение и деление. Законы умножения и их выражение в общем виде.

Простые уравнения и неравенства.

3. Задачи.

Перевод текста на математический язык. Установление отношений между компонентами задачи, последовательности действий. Составление простых уравнений. Формирование обобщенного способа решения задач. Умение классифицировать задачи по способу решения.

4. Пропедевтика геометрии.

Положение в системе координат и в прямоугольной матрице, движение по ним. Симметрия: осевая, центральная. Раскрашивание плоскости (карта, объем). Нестандартные задачи. Периметр геометрических фигур. Представление об объемных фигурах. Развертка. Построение прямоугольника по заданным сторонам, периметру и стороне. Окружность, круг, кольцо, овал.

4 класс (204 часа).

1. Логические отношения между объектами и множествами.

Установление отношений: эквивалентности, неравенства, симметричности, транзитивности. Решение текстовых задач на установление этих отношений. Задачи на сериацию и классификацию. Нестандартные задачи.

2. Число.

Системы счисления. Сложение и вычитание в различных системах. Умножение и деление в десятичной системе. Свойства числового ряда. Отрицательные числа. Решение уравнений и неравенств. Задачи с использованием понятий теории множеств. Десятичные дроби. Обыкновенные дроби. Метрическая система мер. Меры веса, длины, площади, объема, времени. Раздробление и превращение именованных чисел.

3. Задачи. Формирование обобщенного способа решения задач.

4. Пропедевтика геометрии.

Диктанты в системе координат. Нестандартные задачи на конструирование. Представление о площади. Единицы площади. Площадь квадрата, прямоугольника. Равновеликие фигуры. Площадь равносоставленных фигур. Развертка. Построение прямоугольника по периметру и одной стороне, по площади и одной стороне [48, 58 – 67].

Приложение 2.

1 тест по выявлению уровня общего мышления.

1 субтест.

Инструкция: «Закончи предложение. Выбери из 5 слов в скобках одно, которым было бы правильно закончить начатое предложение».

Пример: «Вода всегда…(холодная, прозрачная,жидкая, вкусная, светлая)».

У сапога всегда есть…(шнурок, пряжка, подошва, ремешки, пуговица).

В теплых краях живет… (медведь, олень, пингвин, волк, верблюд).

В году…(24 мес., 3 мес., 12 мес., 4 мес., 7 мес.).

Месяц зимы…(сентябрь, октябрь, февраль, ноябрь, март).

В нашей стране не живет…(соловей, аист, синица, страус, скворец).

Отец старше своего сына…(редко, всегда, часто, никогда, иногда).

У дерева всегда есть…(листья, цветы, плоды, корень, тень).

Время суток…(год, месяц, неделя, день, понедельник).

Время года…(август, осень, суббота, утро, каникулы).

Пассажирский транспорт…(комбайн, самосвал, автобус, экскаватор, тепловоз).

2 субтест.

Инструкция: «В каждой строчке написано пять слов, четыре из которых можно объединить в одну группу, а пятое к этой группе не относится, оно лишнее. Найди и исключи лишнее слово».

Пример: «Яблоко, лимон, апельсин, огурец, груша».

Тюльпан, лилия, фасоль, ромашка, фиалка.

Река, озеро, море, мост, пруд.

Кукла, скакалка, песок, мяч, юла.

Стол, ковер, кресло, кровать, табурет.

Тополь, береза, орешник, липа, осина.

Курица, петух, орел, гусь, индюк.

Окружность, треугольник, четырехугольник, указка, квадрат.

Саша, Витя, Стасик, Петров, Коля.

Число, деление, сложение, вычитание, умножение.

Веселый, быстрый, грустный, вкусный, осторожный.

3 субтест.

Инструкция:«Эти пары слов можно объединить в одну группу и дать ей название».

Пример: брюки, платье… - одежда.

Треугольник, квадрат… - геометрические фигуры.

Окунь, карась…

Метла, лопата…

Лето, зима…

Огурец, помидор…

Сирень, орешник…

Шкаф, диван…

Июнь, июль…

День, ночь…

Слон, муравей…

Дерево, цветок…

4 субтест.

Инструкция: « В каждой строчке слева написана пара слов. Слова в паре находятся в определенной связи друг с другом (например: лес – дерево). Справа одно слово написано, а пять в скобках. Из пяти слов, написанных в скобках, выбери одно, которое подходило бы к слову перед скобкой так же, как подходят друг другу слова в первой паре».

Пример: «Лес : дерево = Библиотека : (сад, двор,книга, театр, город)».

1.Огурец : овощ = гвоздика : (сорняк, роса, садик, цветок, земля).

2. Огород : морковь = Сад : (забор, грибы, яблоня, колодец, скамейка).

3. Учитель : ученик = Врач 6 (очки, больница, палата, больной, лекарства).

4. Цветок : ваза = Птица : (клюв, чайка, гнездо, перья, хвост).

5. Перчатка : рука = Сапог : (чулки, подошва, кожа, нога, щетка).

6. Темный : светлый = Мокрый : (солнечный, скользкий, сухой, теплый, холодный).

7. Часы : время = Градусник : (стекло, больной, кровать, температура, врач).

8. Машина : мотор = Лодка : (река, маяк, парус, волна, берег).

9. Стол : скатерть = Пол : (мебель, ковер, пыль, доски, гвозди).

10. Стул : деревянный = Игла : (острая, тонкая, блестящая, короткая, стальная).

2 тест по выявлению уровня общего мышления.

1 субтест.

Задание: Переставь буквы, чтобы получилось слово и запиши его.

1) ВЦТЕКО 2) УПКС 3) ВАЛПИН 4) УРДГ 5) АТМЬ

2 субтест.

Задание: Найди два слова, из написанных в скобках, которые наиболее существенны для слова, стоящего перед скобками. Подчеркни эти слова.

Сад (растение, садовник, собака, забор, земля).

Река (берег, тина, вода, рыболов, рыба).

Лес (лист, яблоня, охотник, дерево, кустарник).

Любовь (розы, чувство, человек, город, природа).

Война (самолет, пушки, сражение, солдаты, ружья).

3 субтест.

Задание: Зачеркни лишнее слово.

Дуб, дерево, ольха, ясень.

Горький, горячий, кислый, соленый, сладкий.

Дождь, снег, осадки, иней, град.

Темный, светлый, голубой, яркий, тусклый.

Сложение, умножение, деление, слагаемое, вычитаемое.

4 субтест.

Задание: Найди лишнее число и зачеркни.

30, 5, 90, 17, 20.

60, 80, 13, 20,70.

3, 7, 9, 15, 8.

35, 45, 84, 65, 95.

85, 63, 96, 72, 41.

47, 62, 38, 77, 25.

5 субтест.

Задание: Продолжи ряд на два числа.

1, 4, 7, 10, 13, …, … .

15, 12, 9, 6, …, … .

1, 4, 9, 16, 25, …, … .

30, 21, 26, 17, 22, …, … .

5, 10, 7, 12, 9, 14, …, … .

Таблица 3

Результаты 2 Г (экспериментального) класса

Таблица 7

Результаты 2 Г (экспериментального) класса

Таблица 4

Результаты 2 Д (контрольного) класса

Таблица 8

Результаты 2 Д (контрольного) класса

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Пермский государственный педагогический университет

Факультет педагогики и методики начального образования

Кафедра методики начального обучения

Сурковой Светланы Николаевны

Развитие математического мышления младших школьников

на уроках – тренингах по математике

Допущена к защите: Выпускная квалификационная

___________ 2007 г. работа студентки 5 курса

Зав. кафедрой заочного отделения

________________ факультета педагогики

Боровская Л.А. и методики начального

образования

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук,

доцент

Худякова Марина Алексеевна

Пермь 2007

Содержание

Введение………………………………………………………………………3 стр.

Глава I. Теоретические основы развития математического

мышления учащихся в процессе обучения

Математическое мышление как категория научного

знания.……………………………………………………………………5 стр.

Условия и средства развития математического мышления

в процессе обучения……………………………………………………18 стр.

Глава II. Организационно – методические особенности развития

математического мышления на уроках – тренингах в

начальной школе.

2.1. Организация и проведение уроков – тренингов по математике………30 стр.

2.2. Опытно – экспериментальная работа по развитию

математического мышления младших школьников и

анализ ее результатов…………………………………………………….46 стр.

Заключение…………………………………………………………………….61 стр.

Приложение 1………………………………………………………………….63 стр.

Приложение 2………………………………………………………………… 67 стр.

Библиография………………………………………………………………….70 стр.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/97875-razvitie-matematicheskogo-myshlenija-u-mladsh