Развитие математических способностей учащихся 5 – 6 классов путем решения задач на проценты

В программе курса математики 5 – 6 классов большое место уделяется решению задач на проценты. Обучение решению этих задач всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к жизни. Еще в дореволюционной школе изучение процентов было довольно тесно связано с потребностями коммерческих расчетов.

В современной жизни задачи на проценты так же актуальны, так как расширяется сфера практического приложения процентных расчетов. Везде – в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательской способности населения. Коммерческие банки своими объявлениями стремятся привлечь деньги населения на различных условиях, появляются сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, меняются проценты банковского кредита. Все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий.

Изучение темы «Проценты» и решение задач на проценты начинается в 5-ом классе, затем решение задач на проценты продолжается  в 6-ом класса,  в курсе алгебры основной и средней (полной) школы; кроме этого задачи на эту тему решаются на уроках физики, химии, экономики и других учебных дисциплин.

В пятом классе дается определение процента: сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть гектара – аром или соткой. Принято называть сотую часть любой величины или числа процентом.

Процентом называют одну сотую часть.

В пятом классе рассматриваются задачи на нахождение процента от числа, числа по его проценту, на нахождение процентного отношения.

Задача 1. Швейная фабрика выпустила 1200 костюмов. Из них 32% составляют костюмы нового фасона. Сколько костюмов нового фасона выпустила фабрика?

Задача 2. За контрольную работу по математике отметку «5» получили 12 учеников, что составляет 30% всех учащихся, Сколько учеников в классе?

Задача 3. Из 1800 га колхозного поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем?

Решение этих задач рассматривается в пункте 40 учебника «Математика», 5 класс, Н.Я. Виленкин и др, здесь же и далее предлагается большой набор разнообразных задач на проценты. В учебнике «Математика», 6 класс, Н.Я, Виленкина и др. линия задач на проценты продолжается, предложена подборка интересных простых и сложных задач на эту тему. Но для отработки умений и навыков решения задач на проценты в 5 – 6 классах  можно использовать и другие задачи. На пример:

Задача. На сколько процентов 3 меньше 5?

Решение:  

1. На сколько единиц 3 меньше 5?

5 – 3 =2

2. На сколько процентов 3 меньше 5?

2 / 5 *100 = 40(%)

Ответ:  на 40 %.

Задача. На сколько процентов увеличится произведение двух  чисел, если одно из них увеличить на 50%, а другое уменьшить на 20%?

Эту задачу полезно рассмотреть после изучения темы « Свойства сложения и умножения. Упрощение выражений».

Решение:  Пусть а – первое число, в – второе число, ав -  их произведение; тогда  а + 0,5а = 1,5а – первое число после его увеличения на 50%,  в – 0,2в = 0,8в – второе число после его уменьшения на 20%;  1,5а * 0,8в = 1,2ав – новое произведение.

Найдем на сколько второе произведение больше первого:

1,2ав – ав = 0,2ав.

Ответим на главный вопрос задачи:  0,2ав = 0,20ав - это 20% от  ав.

Ответ:  на 20%.

Задача.  Цену товара сначала снизили на 30%, а затем новую цену снизили на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?

Решение: Для лучшего усвоения сути решения этой задачи лучше сначала  решить ее на числовых данных. Пусть первоначальная цена товара 500 рублей.

1. 500 * 0,3 = 150(руб.) – снижена цена товара в первый раз.

2. 500 – 150 = 350(руб.) – цена товара после первого снижения.

3. 350 * 0,1 = 35(руб.) -   снижена цена товара во второй  раз.

4. 350 – 35 = 315(руб.) - цена товара после второго снижения.

5. 500 – 315 = 185(руб.) -  снижена цена товара за два  раза.

6. 185 / 500 *100 = 37(%)

Ответ:  на 37%.

Затем решаем задачу в общем виде.

Пусть первоначальная цена товара х рублей. После первого снижения цена товара  х – 0,3х = 0,7х. После второго снижения цена товара 0,7х – 0,1 * 0,7х = 0,7х – 0,07х = 0,63х. Итак, цена товара всего снижена на х -0,63х = 0,37х.          0,37 от первоначальной цены – 37%.

Ответ:  на 37%.

Интересными и полезными будут задачи:

• Зарплату увеличили на 80%.Верно ли, что она увеличилась в 1,8 раза?

Ответ: да.

• Если цену увеличить в 2 раза, то на сколько процентов она увеличилась?

Ответ: на 100%.

• Служащая банка объяснила клиенту, что вложенная им сумма увеличится на 200%, то есть в 2 раза. В чем ошиблась служащая и как нужно исправить сказанное, если проценты указаны верно?

Ответ: первоначальная сумма составляет 100%, она увеличена на 200% и теперь составляет 300%. 300% больше 100% в 3 раза.

В дальнейшем есть смысл решить и другие задачи:

• Цену товара сначала снизили на 20%, затем новую цену снизили на 15%, и еще раз снизили на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара? 

Ответ: на 38.8%.

• Мука подорожала на 10%, а через месяц подешевела на 10%. Сравнить новую цену с первоначальной.

Ответ: цена муки снизилась на 1%.

• Цена товара была понижена на 20%. На сколько процентов теперь надо ее повысить, чтобы получить первоначальную цену?

Ответ: на 25%.

• Цена товара повысилась на 25%, а затем еще на 25%. На сколько процентов необходимо снизить новую цену, чтобы она сравнялась с первоначальной?

Ответ: на 36%.

• Цена товара снизилась на 20%, а затем еще на 20%. На сколько процентов необходимо повысить новую цену, чтобы она сравнялась с первоначальной?

Ответ: на 56,25%.

Эти задачи и предложенные способы их решения помогут учащимся старших классов осмысленно решать аналогичные, но более сложные задачи по формуле сложных процентов.   

Задачи на проценты занимают большое место в теме «Отношения и пропорция»:

• Сплав содержит 34% олова. Сколько граммов олова содержится в 240 г сплава? Какова масса сплава, содержащего 85 г олова?

Ответ: 81,6 г олова. 250 г сплава. 

• В семенах льна содержится 42% масла. Сколько килограммов масла получится из 120 кг семян? Сколько килограммов семян необходимо для получения 105 кг масла?

Ответ: 50,4кг.  250 кг.

• Для выполнения плана в срок цех должен задействовать 60% производственной мощности. Сколько процентов производственной мощности должен задействовать цех, что бы к тому же сроку перевыполнить план на 10%?

Ответ: 66%.

• Для выполнения плана в срок цех должен задействовать 60% производственной мощности. Сколько процентов производственной мощности достаточно задействовать цеху, что бы к тому же сроку выполнить план на 90%?

Ответ: 50%.

• Для стада коров фермер заготовил корма на 30 дней. На сколько дней хватит этих кормов, если поголовье сократится на 40%, а дневная норма расхода кормов увеличится на 25%?

Ответ: на 40 дней.

• Для стада коров фермер заготовил корма на 30 дней. На сколько дней хватит этих кормов, если поголовье увеличится на 25%, а дневная норма расхода кормов снизится на 20%?

Ответ: на 30 дней.

Если при решении первых задач учащиеся чаще всего составляют пропорцию, то при решении последних двух задач есть смысл использовать определение прямо пропорциональной и обратно пропорциональной  зависимостей. При увеличении значений одной величины в несколько раз  значение другой величины  увеличивается во столько же раз – прямо пропорциональная зависимость,  при увеличении значений одной величины в несколько раз значение другой величины уменьшается во столько же раз – обратно пропорциональная зависимость и наоборот.

Имея определенный резерв времени на уроке или на занятиях кружка можно рассмотреть решение более сложных задач  практической  направленности:

• Производительность труда повысилась на 25%. На сколько процентов уменьшится время выполнения задания?

Решение:  пусть производительность труда х, время выполнения задания у. Производительность труда повысилась на 25%, то есть х + 0,25х = 1,25х = 5/4х. Чтобы выполненная работа не изменилась, надо 5/4х умножить на 4/5у = 0,8у, то есть время выполнения задания уменьшится, у – 0,8у = 0,2у, или на 20%.

Ответ: на 20%.

• Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20% дохода. За сколько лет вложенная сумма удвоится?

Решение: для более глубокого понимания смысла условия задачи лучше решать эту задачу, находя последовательно процент от процента:

Пусть х – первоначальная сумма

х + 0,2х = 1,2х  -  сумма через год

1,2х + 0,2 * 1,2х = 1,2х + 0,24х = 1,44х  -  сумма через два года

1,44х + 0,2 * 1,44х = 1,44х + 0,288х = 1,728х  -  сумма через три года

1,728х + 0,2 * 1,728х = 1.728х + 0,3456х = 2,0736х  -  сумма через четыре года

Ответ:  менее, чем через 4 года.

• В автоинспекции города А подсчитали, что число легковых автомобилей увеличивалось в последние годы на 15% ежегодно. Во сколько раз увеличится число легковых автомобилей за пять лет, если эта тенденция сохранится?

Ответ: примерно в 2 раза.

Большой интерес представляют задачи на смеси и сплавы. Вот одна из них:

• Из 40 т руды выплавили 20 т металла, содержащего 6% примесей. Сколько процентов примесей в руде?

Решение:  20 * 0,06 = 1,2(т)  -  примесей в металле

40 – 20 + 1,2 = 21,2(т)  -  примесей в руде

21,2 / 40 = 0,53, что составляет 53%

Ответ: 53%.

Мир задач на проценты бесконечен, эти задачи интересны, увлекательны, развивают логику, сообразительность, побуждают учащихся мыслить, но время,  отводимое в учебном плане на математику, катастрофически  падает, и этому подтверждение последняя задача:

• В некотором царстве, в некотором государстве пятиклассники стали изучать математику не 6, а 5 уроков в неделю. Кроме того, урок у них стал длиться  не 45, а 40 минут. Сколько процентов учебного времени потеряли пятиклассники? Ответ округлите до десятых.

Решение:  учебное время теперь составляет   5 / 6 * 40 / 45 = 20 / 27 от прежнего.

Потеря составила 1 – 20 / 27 = 7 /27 = 0,2592…, или примерно 25,9%.

Ответ:  25,9%.

Но школьный учитель – всегда оптимист, используя эффективные технологии обучения, он найдет время для развития математических способностей своих учеников путем решения задач на проценты.